2024年部编版初中九年级下册数学复习资料

第二十六章反比例函数

一、反比例函数的概念

k

1.X（内0）可以写成叶k«.0）的形式，注意自变量

x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数自。这

一限制条件；

k

y=­

2.x（疋wO）也可以写成刈=卜的形式，用它可以迅速地求

出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；

k

V——

3.反比例函数.x的自变量NO,故函数图像与x轴、y轴无

交占

二、反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位

于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例

函数中自变量函数中自变量XHO,函数值y#0,所以它的图像与X

轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远

达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；（3旋线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑

的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴

相交。

三、反比例函数及其图像的性质

y=-

1.函数解析式：x(»。)

2.自变量的取值范围：xwO

3.图像:

(1)图像的形状：双曲线，板।越大，图像的弯曲度越小，曲线越

平直。卜।越小，图像的弯曲度越大。

(2)图像的位置和性质：

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑

的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴

相交。

三、反比例函数及其图像的性质

k

V=­

1.函数解析式：X

2.自变量的取值范围：xwO

3.图像:

(1)图像的形状：双曲线，恸越大，图像的弯曲度越小，曲线越

平直。板।越小，图像的弯曲度越大。

(2)图像的位置和性质：

y=­

如图1,设点P(a,b)是双曲线x上任意一点，作PAJx轴

于A点，PBJy轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|(三角形PAO

和三角形PBO的面积都是V2|k|)。

如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双

曲线上，作QC.PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为2|k|。

-B

0x

5.说明：

(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时,

要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

=坛

(2)直线7=和与双曲线'-I的关系:

当左他＜0时，两图像没有交点；当玲玲＞0时，两图像必有两个

交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

四、实际问题与反比例函数

1.求函数解析式的方法：

(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式。

2.注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上.

五、充分利用数形结合的思想解决问题

第二十七章相似三角形

一、图形的相似

1.图形的相似：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么

这两个图形相似。(相似的符号：S)

性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

2.判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那

么这两个多边形相似。

3.相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，

相似的两个图形全等。

二、相似三角形

1.性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,

所构成的三角形与原三角形相似。

2.判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个

三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相

应的夹角相等，那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两

个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

三边对应成先例②两厶三角彩的两个角对回柜等；③两边对应或比冽，且夹角性

等：④相似三角形妁一切对应线段（对应高、对应中线、对叵角三分线、外接至半程、

内切园半役等）的比等于相以比.）

3.相似三角形应用

视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到

的区域°

4.相似三角形的周长与面积：①相似三角形周长的比等于相似比。

②相似多边形周长的比等于相似比.③相似三角形面积的比等于

相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。

三、位似

1.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的

连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，

这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2.性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。

注意

1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，

必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

2、两个位似图形的位似中心只有一个；

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心

的一侧；

4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否

位似；

5.位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心

的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似

可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，

不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

6.根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似

图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。

第二十八章锐角三角函数

一、锐角三角函数

1.正弦：在此厶姐冲，锐角NA的对边a与斜边的比叫做NA的正弦，

记作sinA,即sinA=NA的对边/斜边=a/c；

2.余弦：在斤£△,耽中，锐角NA的邻边b与斜边的比叫做NA的余弦,

记作cosA,即cosA=NA的邻边/斜边=1)/%；

3.正切：在Rt△杷冲,锐角NA的对边与邻边的比叫做NA的正切，

记作tanA,即tanA=NA的对边/NA的邻边=a/b。

①tanA是一个完整的符号，它表示NA的正切，记号里习惯省去角的

6

符号“N"；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中NA

的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以"A"；④tanA的值越

大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越大。

4、余切：定义：在RtZXABC中，锐角NA的邻边与对边的比叫做/A

的余切，记作cotA,即cotA=NA的邻边/NA的对边=b/a；

5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、

正弦、余切、正切。（通常我们称正

n

弦、余弦互为余函数。同样，也称正o3伊4f600W

二角

0並1

切、余切互为余函数，可以概括为:sinaT

丄

cosaI0

一个锐角的三角函数等于它的余角2

tana0j力不存在

立

的余函数）用等式表达:cota不存在10

3

若NA为锐角，则①sinA=cos（90°-NA）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90°。

7、当角度在（T〜90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的増大（或

减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而

减小（或增大）。OWsinaWLOWcosaWl。

同角的三角函数间的关系：tana•cota=1,tana=sina/cosa,

cota=cosa/sina,sin2a+cos2a=1

二、解直角三角形

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。

2.在解直角三角形的过程中用到的关系：(在ZkABC中，NC为直角，

NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,)

(1)三边之间的关系：/+b三c。(勾股定理)

(2)两锐角的关系：ZA+ZB=90°；

(3)边与角之间的关系：

sinA=a/c；(a=csinA)

cosA=b/c；(b=ccosA)

tanA=a/bo

sinA=cosBcosA=sinBsinA=cos(90°-A)

sin:a-cos:a=1

第二十九章投影与视图

一'投影

1.投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)

上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平

面叫做投影面。

2.平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影°(光源特别远)

3.中心投影：由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心

8

投影

4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投

影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

5.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形

状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时，这个面的正投

影变小。当物体的某个面垂直于投影面时，这个面的正投影成为一条

直线。

二'三视图

1.三视图：是观测者从三个不同位置（正面、水平面、侧面）观察同

一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图

的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表

达物体的结构。

2.主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图。

3.俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。

4.左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。

5.三个视图的位置关系：①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；

②主视、俯视表示物体的长，主视、左视表示物体的高，左视、俯视

表示物体的宽。③主视、俯视长对正，主视、左视高平齐，左视、

俯视宽相等o

6.画法：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮档而看

不见的部分的轮廓线画成虚线。

九年级下册反比例函数、相似、锐角三角函数和投影与视图。（1）反比例函数：反比

例函数的图像和性质是中考数学命题的重要内容，试题新颖，题型灵活多样，所占分值

约为3-8分，难易度属于难。考察内容①会画反比例函数的图像，掌握基本性质。②能

根据条件确定反比例函数的表达式。③能用反比例函数解决实际问题。（2）相似：图

形的形似是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中的重点考察内容。一般分值约为

672分，题型以选择，填空，解答综合题目为主，难易度属于难。考察内容①相似三

角形的性质和判别方法，是重点。②相似多边形的认识，黄金分割的应用。③相似形与

三角形，平行四边形的综合性题目是难点。（3）锐角三角函数（4）投影与视图：分值

一般为3-6分，试题以填空，选择，解答的形式出现。考察内容①常见几何体的三视图

②常见几何体的展开和折叠，展开和折叠是考试的热点，值得注意。③利用相似结合平

行投影和中心投影解决实际问题。中考数学题型（不同地区分值不同，可供参考）选择

题：3分一个，共14个，总分42分。填空题：3分一个，共5个，总分15分。解答题：

共7题，总分63分。中考重难点分析

（-）线段、角的计算与证明问题中考中的简答题一般是分为两到三部分的。第一部分

基本上都是简单题和中档题，目的在于考查基础。第二部分第二部分往往就是开始拉分

的中难题了。（二）列方程（组）解决应用问题在中考中，方程是初中数学当屮最重要

的部分，所以也是中考必考内容。从近年来中考来看，结合时事热点考的比较多，所以

还需要考生有一些实际生活经验。（三）阅读理解问题阅读理解问题是中考中的一个亮

点。阅读理解往往是先给一个材料或介绍一个超纲的知识或给出一个针对某一种题目的

解法，然后再给出条件出题。（四）多种函数交叉综合问题初中接触的函数主要有一次

函数、二次函数和反比例函数。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题目出现，一

般都是作为一道中档次题目出现来考查学生对函数的掌握。（五）动态几何从历年的中

考来看，动态几何往往作为压轴的题目出现，得分率也是最低的。动态几何一般分为两

类，一类是代数综合方面，在坐标系中，动直线一般是用多种函数交叉求解。另一类是

几何综合题，在梯形、矩形和三角形中设立动点，考查学生的综合分析能力。（六）图

形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形和正方形及它

们之间的关系。在中考中会包括在函数、坐标系及几何题中，其中最重要的是三角形的

各种问题。

知识点整理

第二十六章、反比例函数

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质

（1）定义：形如y=（后0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系

/.反比例函数的

数，自变量的取值范围是韭雯的一切实数.

概念

（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：

①尸；@y=kx-l;(舒xy=k.(其中k为常数，且k/))

例：函数y=3xm+i,当rn=—2时,则该函数是反比例函数.

k的符号图缪经过象限y随光变化的情况

k>QV

图象经过每个象限内，函数

0X

第一、三y的值随x的增大

象限而减小.

(x、y同

2反比例函数的

号)

图象和性质

V

k<0J

图象经过每个象限内，函数

O

第二、四y的值随x的增大

象限而增大.

(x、y异

号)

(1)由两条曲线组成，叫做双曲线；

3.反比例函数的(2)图象的两个分支置B无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴

图象特征和y轴相交；

(3)图象是中心对称性1形，原点为对称中心；也是轴对称图形，

2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的

角平分线.

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求岀反

4待定系数法比例函数系数氏即可.例：已知反比例函数图象过点(-3,-1),

则它的解析式是y=3/x

知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

(1)意义：从反比例函数>=(厚0)图象上任意一点向x轴和y

轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为国以该点、一个

垂足和原点为顶点的三角形的面积为l/2|k|.

(2)常见的面积类型：

5.系数k的几何

意义

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、

四象限，则k<0.

例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为

3,则该反比例函数解析式为：，彳或"3

(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),

则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(-a,上).【方法二】

联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再

分别代入两个函数解析式中求解

(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字

母系数的关系，可采用假设法，分k>0和k<0两种情况讨论,

看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

6.与一次函数的

(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值

综合

大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定岀解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化

为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求

的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.

IEK.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小

至大的顺序排歹U为：SAA0C=SAOPE>SABOD

知识点三：反比例函数的实际应用

(1题意找岀自变量与因变量之间的乘积关系；

(2设岀函数表达式；

,一般步骤

(3)依题意求解函数表达式；

(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

第二十七章、相似

知识点一：比例线段

在四条线段a,b,c,d中，如果a与匕的比等于。与d的比，

即戸"那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例

比例线段.

线段

⑴基本性质：ad=bc；(b、dWO)

2.比例

,(2)合比性质：冷今麼=等；(b、dWO)

的基本性质

(3)等比性质：r=7=*>e=7=^(/?+t/+-,e+H^O)<=>

•♦一

（b、d、…、nRO）

第二十八章、锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数

一、锐角三角函数

1.正弦：在此厶岱冲，锐角NA的对边a与斜边的比叫做NA的正弦，

记作sinA,即sinA=NA的对边/斜边=a/c；

2.余弦：在斤£△被冲，锐角NA的邻边b与斜边的比叫做NA的余弦,

记作cosA,即cosA=NA的邻边/斜边=b/c；

3.正切：在笈£△板中，锐角NA的对边与邻边的比叫做NA的正切，

记作tanA,即tanA=NA的对边/NA的邻边=a/b。

①tanA是一个完整的符号，它表示NA的正切，记号里习惯省去角的

6

符号“N"；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中NA

的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以"A"；④tanA的值越

大，梯子越陡，NA越大；NA越大，梯子越陡，tanA的值越大。

4、余切：定义：在RtZXABC中，锐角NA的邻边与对边的比叫做NA

的余切，记作cotA,即cotA=NA的邻边/2A的对边=b/a；

5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、

正弦、余切、正切。（通常我们称正

弦、余弦互为余函数。同样，也称正求伊3伊4y600

丄

0亜1

切、余切互为余函数，可以概括为：sina2

包J2丄

cosa10

222

一个锐角的三角函数等于它的余角73

tana01白不存在

的余函数）用等式表达：©ora不希fr.行1皂0

3

若NA为锐角，则①sinA=cos（90°-NA）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90°o

7、当角度在0°〜90。间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而

减小（或增大）。OWsinaWLOWcosaWl。

同角的三角函数间的关系：tana•cota=1,tana=sina/cosa,

cota=cosa/sina,sin2a+cos2a=1

二、解直角三角形

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。

2.在解直角三角形的过程中用到的关系：(在AABC中，NC为直角，