高考数学考试易错题易错点2 常用逻辑用语（含解析）（新高考专用）

专题02常用逻辑用语

常用贫7辑用语

易错知识

多

知A

1.有关充分必要条件的判断中，搞彳已;谁是经•论,导致判断错误。

类

件

西

淆

不

昆

置词命题对一是要改写蜀否定结论f己知命往往顾此失已知命

吴

参

件

求

题■

类

命

一题真假题真假

结

围

全

范

理已知条完参数范围的市-间端点值如to

-a求参数求参数

致

定

视

忽

仑

笔

否

一题真假上:方程交汇的京判别式7是大范围中于等于零的攵范围中错.

取

号

吴

.培

忽视判忽视对

错

又如余颗百佃一架件卷刑求叁为致m中，忽相，对片j论致错

别式等高次项

号取舍系数讨

一、混淆条件与结论致误致错论致错

1.“ln(x+l)〈O”的一个必要不充分条件是()

A.—KX—E.x>0

e

C.-KXO一D.KO

【错解】ln(x+l)<0等价于0<x+l<l,即一l<x〈O,因为一l<x<0可以推出一1〈求一L故选B。

e

【错因】本题中ln(x+l)<0,即一l<x(。是结论，而选项是条件，错解是把一l<x<0当条件，选项当结论。

【正解】

【答案】D

【正解】ln(x+l)<0等价于0<x+l<l,即一这是结论，因为一可以推出x〈0,而x<0不能

推出一1〈求0,所以；K0是一1〈求0的必要不充分条件，所以“ln(x+l)<0"的一个必要不充分条件是

“x<0”.

二、不对命题完全否定致误

1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数B.任意一个无理数，它的平方是有理数

C.存在一个无理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

【错解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方是有理数”，

选B。

【错因】没有否定结论，

【正解】

【答案】A

【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，

2.命题“Vx<0,x?+ax-l20”的否定是()

A2B2

-Vx<O,x+ax-]<0-3x>0,x+ax-l>0

C.Bx<0,x2+ax—1<0D.Bx<0,x2+ax-\>0

【错解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“Vx<0,x2+dx-l>0"的否定是

“Vx<0,/+ax-l<0"，选人。

【错因】没有改量词。

【正解】

【答案】C

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“Vx<Or?+ax-1±0"的否定是

u3x<0,x2+ax-1<0.

三、已知条件类型求参数范围中忽视等号取舍致错

1.若不等式l<x<3的必要不充分条件是加—2<x<m+2,则实数优的取值范围是（）

A.[1,2]B.[1,3]C.（-1,2）D.（1,3）

【错解】设4={幻1<》<3},B={x\m-2<x<m+2],因为不等式1<x<3的必要不充分条件是

m-2<x<m+2,可得4是8的真子集，所以（〃7_2<]，解得1<切<3,所以实数机的取值范围是

m+2>3

1<7W<3,选D.

【错因】忽略了对端点值加=1和m=3的判断。

【正解】

【答案】B

【解析】设力={》|1<》<3},B={x\m-2<x<m+2\,因为不等式1<x<3的必要不充分条件是

m-2<\

m-2<x<m+2,可得4是8的真子集，所以，,解得：1《机43,经检验加=1和加=3符

m+2>3

合题意，所以14，”43。

四、已知命题真假求参数范围中忽视判别式等号取舍致错

2

1.已知命题x-x+a>0^若「。是真命题，则实数。的取值范围是（）

【错解】由题意知不等式Y—x+aWO有解，.•.△=i_4a>0,解得].因此，实数。的取值范围是

a<—

4

［，选B.

(.co,/

【错因】不等式—x+a<0有解,则△=]—4a»0,而不是△=l-4a〉0。

【正解】

【答案】A

【解析】已知命题p：VxeR,》2一》+4>0,若「0是真命题，则不等式/一x+a<0有解,

.-.A=l-4«>0,解得。4工.因此，实数a的取值范围是1—8，!.

4I4」

五、已知命题真假求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错

1.已知命题？Yx^R,ax2+2x+3>0.若命题。为假命题，则实数a的取值范围是()

A.1B.]a|O<a«]}

a>01

【错解】由已知得VxeR,4-+2》+3>0为真命题，所以《，，八，解得a>—,

[△=4一12。<03

命题P为真命题的a的取值范围为<a\a>->,

I3j

命题。为假命题的。的取值范围是，al>.

【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。

【正解】

【答案】C

【解析】由已知得VxeH,。/+2》+3>0为真命题，

(1)若a=0,则不等式等价为2x+3>0,对于VxeR不成立，

fcr>01f,1

⑵若。不为0,则《，…八，解得。>一，...命题。为真命题的。的取值范围为楠

A=4-12a<03I3

命题P为假命题的a的取值范围是《司a<|>.

六、已知条件类型求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错

1.（多选题）已知p：X2+X-6=0;q：ar+l=O.若P是q的必要不充分条件，则实数a的值是（）

1

A.-2B.——C.0D.1

21

3

【错解】由题意得P：力={-3,2},q：8={一1}，因为P是9的必要不充分条件，所以8A,所以当

一工=—3或—1=2时，也满足题意，解得〃=1或4=—'，选BD。

aa32

【错因】没有对x的系数a分情况讨论。

【正解】

【答案】BCD

【解析】由题意得p'.A={一3,2},当。=0时，q：B=0,当时,

因为P是g的必要不充分条件，所以BA,所以。=0时满足题意，当-工=-3或-'=2时，也满足题

aa

意，解得4=,或。=一4.

32

2.“关于x的不等式aV+ad<0的解集为的一个必要不充分条件是（）

A.44后0B.4＜后0

C.4Wa＜0D.4＜水0

Q<0

【错解】若关于、的不等式小小。的解集为凡则』'"O'解得一4<皿，

观察选项要找范围大的，可得-4<a<0的一个必要不充分条件是-4<a<0.

【错因】没有对二次项系数a分情况讨论。

【正解】

【答案】A

【解析】关于x的不等式aV+axl<0的解集为R,

（1）当a=0时，-1<0,解集为此

a<0

（2）当时，《2,八，解得-4<a<0,综合可得-4〈a£0,观察选项要找范围大的,

A=a+4a<0

可得-4<a40的一个必要不充分条件是-4<a<0.

易错题通关

1.命题“Va,6〉0,a+』>2和6+工）2至少有一个成立”的否定为（）

ha

A.Va,b>0,a+，〈2和6+,<2至少有一个成立

ba

B.Va,b>0,a+!22和)2都不成立

ba

C.3a,6>0,2+,<2和6+,<2至少有一个成立

ba

D.3a,6>0,ad—22和都不成立

ba

【答案】D

【解析】'7a,b>0,a+，22和。+L22至少有一个成立”的否定为：3a,6〉0,

ba

11

a+~b>2和b+a22都不成立.

2.使“。>分”成立的一个充分不必要条件是()

A.a>b+1B.—>1C.a2>b2D.a}>b}

b

【答案】A

【解析】对于A选项，若a>b+l,则成立，即充分性成立，反之，若a>b,则

a>b+l不一定成立，所以。>6+1是“a>b”成立的一个充分不必要条件，对于B选项，当b<0时，

由色>1得a<6,则a>6不成立，即@>1不是充分条件，不满足条件;对于C选项，由/>/,若a=-2,

hh

h=\,则a<b,则a>b不一定成立，所以a?不是a>b的充分条件，不满足条件，对于D选项，由

/可得。>，，则/>/是a>b成立的充要条件，不满足题意。

3.下列命题的否定是真命题的是()

A.VaeR,一元二次方程x?—ar-1=0有实根B.每个正方形都是平行四边形

C.3meN,yJm2+\&ND.存在一个四边形48CD,其内角和不等于360°

【答案】D

【解析】对A,VaeR,一元二次方程X?-ax-1=0有实根，其否定为：3aeR,一元二次方程

x?-ax-1=0无实根，由△=片+4>0,可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；对B,每个正方

形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题；对

c,3/MeTV,J-+1eN，其否定为：VmGN>Qm2+1eN，由旭=0时，Jo+1=1eN，则原命题

为真命题，其否定为假命题；对D,存在一个四边形488,其内角和不等于360°,其否定为任意四边

形力8CD,其内角和等于360°,连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360°,

可得原命题为假命题，其否定为真命题.

4.“直线w垂直于平面a内的无数条直线”是“加，。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为当直线勿垂直于平面。内的所有直线时.，才能得到勿_L。，所以由直线小垂直于平面a内的

无数条直线不一定能推出心a，但是由心。一定能推出直线m垂直于平面。内的无数条直线，所以“直

线加垂直于平面。内的无数条直线”是“k。”的必要不充分条件.

5.设x>0,y>0,则“x+y=l”是“小，”的（）

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当x+y=l时，但在土发=工当且仅当时取等号，

442

故"x+y=l”是“打的充分条件；当但［时，x=L满足孙W』，

44444

但不满足x+y=l,故"x+y=l”不是的必要条件.

4

综上，“x+y=l”是“xjwL'的充分不必要条件，故选A.

6.（多选）下列命题的否定中，真命题的是（）

A.BxeR,x2-x+-<0B.所有正方形既是矩形也是菱形

4

C.3a>0，x2+2x+2+a=QD.所有三角形都有外接圆

【答案】AC

【详解】选项A,》2-x+；=>0,所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项

A满足条件；选项B,所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选

项B不满足条件；选项C,当。〉0时，x2+2x+2+a=（x+iy+l+a〉0,所以原命题为假命题，原

命题的否定为真命题，所以选项C满足条件：选项D,所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题

的否定为假命题，所以选项D不满足条件.

7.（多选）下列选项中p是g的充分不必要条件的是（）

A.p:l<x<2,q:1<x<2B.p:xy>19q\x>\,y>1

C.q-.x<\D.P-.两直线平行，q：内错角相等

X

【答案】AC

【解析】A:集合（1,2）是集合［1,2］的真子集，所以p是q的充分不必要条件；8:；'4>1,故。不能推出以

由x>l/>1=>孙>1,4=P，所以P是夕的必要不充分条件.C:夕：；>1可得0<x<l,集合（0,1）

是集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件；D:根据平面几何中平行直线的判定定理和性质

定理可知，是充要条件.故选：AC,

8.已知命题p：A2—3x+2W0,命题（7：4x+4一是g的充分不必要条件，则卬的取值范围是（）

A.(—8,0]B.[1,+°0)

C.{0}D.(一8,-1]u[1,4-oo)

【答案】D

【解析】由¥—3x+2W0,得1WXW2,由x?—4x+4—/W0,得2—I加WxW2+|w|,

R-I勿IW1,,

若P是q的充分不必要条件，贝小或，解得|勿|所以—1或021.

2+1/心212+|/»|22,

9.己知p:a20；qVxeR,f—av+a>0，则?是夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件1）.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】qZxsR,x2-ax+a>0>即△=（一4）?一4。<0,解得：0<a<4,设

Z=［0,+oo）,8=（0,4）,•.■8=/,故P是夕的必要不充分条件.

2

10.（多选）已知命题a-5a+3<m+2,若。是假命题，则实数a的取值范

围是（）

A.a<0B.a>5C.a>0D.a<5

【答案】AB

【解析】因为命题“0勺加€｛嗣一14加<1｝,M_5a+3〈加+2"且命题〃是假命题，可得命题

-^p:Vme{ml-l<m<l},a2-5a+3>m+2r，为真命题，即Vme{嗣-1WmW1},小一5°+32〃?+2

恒成立，可得a2_5a+3N3,即/_5a20,解得“40或即实数a的取值范围是｛a|a<0或

a>5）.

11.（多选）下列命题正确的是（）

A.“a>l”是“乂1”的充分不必要条件

a

B.命题'勺*6(0,+8),gx=x-1"的否定是"Vxe(0,+°°),In1”

C.设x,yGR,贝(!“x22且y22”是“夕+/24”的必要不充分条件

D.设a,6CR,则“aWO”是“a后0”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】若11,则a>l或a<0,则“a>l”是“41”的充分不必要条件，故A正确；根据存在量词命题的

aa

否定为全称量词命题，得“mxG(O,+8),InX=X-1”的否定是“Vxe(o,+8),In挣X—1”，故

B正确；当x22且y》2时，x+y>4,当x2+/>4时去|J不一定有xN2且y22,如x=5,y=0,因此"x》2

且y》2”是“/+/24”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab=O”是“a=0”的必要不充分条件，

所以“aWO”是“ab手0”的必要不充分条件，故D正确.故选A、B、D.

12.命题“Vx〉O，4+221"的否定是.

X

【答案】"mc〉o,V^+-<iM

X

【详解】命题“Wx>0,五+121”的否定为“mx>0,«

XX

13.若F(x)=f—2x,g(x)=ax+2(a>0),—1,2],[—1,2],使/为)=”氏)，则实数a的

取值范围是.

[o,-

【答案】I2」

【解析】设f(x)=*—2x,g(x)=ax+2(a>0)在[―1,2]上的值域分别为4,B,则4=[-1,3],B=1-a

—a+22—1,11

+2,2a+2],由题意可知，・・・@4-，又・・,&>0,：.0<a^-

[2d+2W3,22

14.已知p：—2WxW10,q-A-m<x<l+m(m>0),且g是p的必要不充分条件，则实数〃的取值范

围是.

【答案】[9,48)

【详解】•；“0是P的必要不充分条件”的等价命题是：P是夕的充分不必要条件.设

/="|一24》410},3=*|1-机4工41+〃7,〃7〉0}.；夕是夕的充分不必要条件，所以/UB.

m>0,

二<1一%-2,(两个等号不能同时取到)，29.

1+加…10.

15.命题“*eR,犬+x+i40”的否定是.

【答案】VxeR,x2+x+1>0

【详解】•.•命题"小reR,x2+x+l«0”的否定是：VxeR,x2+x+l>0.

16.已知命题“VxeR,ax2—ox+l>0”为真命题，则实数。的取值范围是

【答案】[0,4）

【详解】由题意得不等式o？-ax+i〉。对xeR恒成立.①当。=0时，不等式1〉0在R上恒成立，

,a>0

符合题意.②当时，若不等式"2一公+1>。对xeR恒成立，则〈，2,八，解得

△=矿一4。<0

0<a<4.综上可得：0«。<4,所以实数。的取值范围是[0,4）.

17.设a:m-lWxW2m,/?：2<x<4,mwR,a是"的必要条件，但a不是月的充分条件，则实

数加的取值范围为.