新高考数学（B）人教A版一轮复习单元质检卷八 解析几何

单元质检卷八解析几何

（时间:100分钟满分:150分）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分）

1.已知点尸（2,3）到直线l:ax+y2a=0的距离为d,则d的最大值为（）

A.3B.4C.5D.7

2.（2019云南师范大学附中模拟,8）已知直线/与双曲线蜡=1交于两点，以48为直径的圆C的

方程为x2+y2+2x+4y+"?=0,贝!Jm=（）

A.3B.3C.52V2D.2V2

3.（2019湖南湖北八市十二校一调联考,8）已知抛物线。:产=2*伪＞0）的焦点为F,过点F的直线/与抛

物线C交于48两点,且直线/与圆向"+产力』。交于C、。两点.若幀8|=2|。|,则直线/的斜率为

（）

A.玲B.±yC.±lD.±V2

4.（2019江西名校（临川一中、南昌二中）2019联考,7）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样

一个命题:平面内到两定点距离之比为常数曲Q0,存1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若

平面内两定点“、8间的距离为2,动点P满足儀=&,当尸、A、8不共线时,三角形PN2面积的最

大值是（）

A.2V2B.V2

C.苧谓

5.设八乃是双曲线。一器=1（公＞0,6＞0）的左、右焦点〃为左顶点，点尸为双曲线C右支上一

点仍尸2|=10尸尸2丄尸尸2,干尸2|考,0为坐标原点，则布•祝=（）

.29

A•7C.15D.15

6.（2019山东青岛调研,11）己知抛物线C：y=4x的焦点为£准线为/,P为C上一点,P0垂直/于点

0MN分别为的中点，直线価与x轴相交于点R,若/NRF=60°，则底阳等于（）

1BC24

A.-2

7.（2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9）已知椭圆£?+方=15>6>0）的左,右焦点分别为Fi,3,过Q作垂

直x轴的直线交椭圆E于A,B两点，点A在x轴上方.若的内切圆的面积为相，则直线

力尸2的方程是（)

A.3x+2y3=0B.2r+3y2=0

C.4x+3y4=0D.3x+4y3=0

8.（2019四川南充三模,8）已知直线x+y=l与椭圆务导lgb>0）交于P,。两点，且。尸丄。0（其中。

为坐标原点），若椭圆的离心率e满足苧WeW号则椭圆长轴的取值范围是（）

A.[V5,V6]B.

D.[1,s]

c国]

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为》2+/號=0.若直线y=%（x+l）上存在一点P,使过尸所作的

圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知三个数1,“,9成等比数列，则圆锥曲线1+[=1的离心率为（）

„V10

A.V5C-TD.V3

11.已知双曲线C过点（3,夜）且渐近线为尸土苧V,则下列结论正确的是（）

AC的方程为多2=1

B.C的离心率为百

C.曲线了=/1经过C的一个焦点

D.直线》/力1=0与C有两个公共点

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点/、8的距

离之比为定值2a円）的点的轨迹是圆”,后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称

阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中&2,0）,8（4,0）,点尸满足儀=之设点P的轨迹为C,下列结论正确的

是（）

A.C的方程为（X+4）2+/=9

B.在x轴上存在异于A,B的两定点£>£,使得罂=|

C.当4尻尸三点不共线时，射线PO是N4PB的平分线

D.在。上存在点M使得財O|=2|M4|

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）

13.已知直线/过点尸（3,2）,且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于48两点，当alOB的面积取最

小值时，直线/的方程为.

14.（2019河北唐山摸底）已知直线/:依水+2=0与圆C:x2+y22y7=0相交于A,B两点，则的最小值

为.

15.已知抛物线。/2=2/仍>0）的焦点为F,准线为/,过点尸斜率为旧的直线，与抛物线C交于点/（A/

在x轴的上方），过M作MNLI于点N,连接NF交抛物线C于点。.则黑=.

16.直线/过抛物线C:y2=2pxS>0）的焦点厂（1,0）,且与C交于48两点则

P----------------，丽十面厂---------------

四、解答题（本大题共5小题，共70分）

17.(14分)已知圆0:/+"=八&>0)与直线3x4y+15=0相切.

(1)若直线l:y=2x+5与圆。交于两点，求|WV|;

(2)已知/(9,0),8(1,0),设尸为圆O上任意一点，证明:警为定值.

2y,2、0

18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆r为+方=1(〃>人>0)的离心率e哼，左、右焦点分别为

且尸2与抛物线炉=4x的焦点重合.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过Fi的直线交椭圆于8Q两点，过B的直线交椭圆于/C两点，且ZC丄8C,求|/C|+|8£)|的最小

值.

19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线<?工2=2々。>0)的焦点为F点"(2,加)("?>0)在抛物线上，且

\MF\=2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若点尸(xoyo)为抛物线上任意一点，过该点的切线为瓜过点尸作切线/o的垂线，垂足为0,则点。是

否在定直线上，若是，求定直线的方程;若不是，说明理由.

20.(14分)已知椭圆谆+約伍>b>0)的离心率为。点(得)在椭圆上分别为椭圆C的上、

下顶点，点M(t,2)(#0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,。,证明:直线尸。过定点.

21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆谆+£=1(心/>>0)的左、右焦点分别为尸|岀漓心率为

点尸在椭圆C上，且的面积的最大值为2VI

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知直线/:>=丘+2(原0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM=|GN],求点

G的横坐标的取值范围.

参考答案

单元质检卷八解析几何

1.A直线方程即y=a(x2),据此可知直线恒过定点M(2,0),

当直线/丄时，"有最大值，结合两点之间距离公式可得d的最大值为

,(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.

2.A设/。必),8(X2必卜根据圆的方程可知2)，。为45的中点，根据双曲线中点差法

的结论匕8=勺x包=/X4=1,由点斜式可得直线N8的方程为y=xl,将直线4B方程与

CLy()i-z

双曲线方程联立上马=1，解得凭二或匕二'所以|物=4鱼，由圆的直径

[y=x-i,u=&(y=

\AB\=y/D2+E2-4F=V22+42-4m=4V2,解得加=3,故选A.

3.C由题设可得(x?2+产「2,故圆心在焦点上，故力2p,価=4p,设直线/的方程为

x=W+昜设〃。1)1)8(工2必)代入/=20如>0)得产2°物2=o,所以yi+y2=2p/,yiy2=p2,则

AB=y/(l+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,SP1+於=2,也即看土1.故选C.

4.A以经过48的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系;则

/(1,0),8(1,0),设P(x,y\：黑=企,•••卜+1"+'=方，两边平方并整理得/+f6x+l=0,即

'|PF|J(x-D2+y2

(x3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时，三角形R48的面积最大，此时面积为

；x2x2證=2證，故选A.

a2+b2=25,22

5.D由题得非16...a=3力=4.所以双曲线的方程为5—3=1,所以点尸的坐标

la3'

为(5,甲或(5岁，所以亦加=(3,0>(5,土爭=15.故选D.

6.C:分别是PQ,。/7的中点，,:"N〃/0,且尸0〃x轴，rNM?b=60°,.：/

/。。=60°,由抛物线定义知,|。。|=尸日,.：厶/。。为正三角形,则FM±PQ^QM=p=2,S.

1

三角形边长为4,PQ=4,FgPF=2,又可得以FRN为正三角形，

.:m=2,故选C.

7.D设内切圆半径为尸，则兀戶=瞿,.)=4：历(c,0),.：内切圆圆心为(c+为),由|叫=3知

1O44

/(。,|)，又尸2(c,0),所以方程为3x+4cy3c=0,由内切圆圆心至！］直线AF2距离为外即

|3(c+^)3c|=得C=］，所以4/2方程为3x+4y3=0,故选D.

F+(4C)24

x+y=19

8.A联立図2y2_得(序+为淄嬢+层层"或设pa0/1］?阿,.：

3+庐=1，

A=4a44(a2+b2)(a2a2b2)>0,化为a2+〃>1.

贝”为+、2=占次.〃2b2

加2K产

'.'OPA.OQ,

>----——>

•••OP,OQ=XlX2+yiy2=XbX2+(Xll)(X21)=2xiX2(Xl+X2)+l=0,

Q2.Q2b22Q2

+1=0.

a2+b2a2+b2

化简得a2+b2=2a2b2.

丁椭圆的离心率e满足苧＜e＜f,

2

-<e<包?<-

3--253-a2~2,

磊外化为5W4a2W6,解得花＜2a＜伤满足/＞0..：椭圆长轴的取值范围是

［遍，遅］.故选A.

9.AB：x2+/4x=0,.：(x2)2+/=4.

过P点所作的圆的两条切线相互垂直,.：点P,圆心C,两切点构成正方形，贝I

PC=2V2,SP(x2)2+/=8.

丁点P在直线y=k(x+1)上，则圆心距“昔贵<2V2,

得2/弘W2&.故选AB.

22

10.BC由三个数1,a,9成等比数列，得层=9,即片±3;当a=3,圆锥曲线为号+三=1,曲线

为椭圆，则e=J=圣当a=3时，曲线为^—-^-=1,曲线为双曲线,e=*=—,

则离心率为手或1°.

11.AC对于选项A:由已知》=土茅，可得产专2,从而设所求双曲线方程为|xy=人又由

双曲线C过点(3,/),从而qX32(企)2=4,即41,从而选项A正确；

对于选项B:由双曲线方程可知a=g,b=l,c=2,从而离心率为《奇=京=學所以

B选项错误；

对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足»=/1,从而选项C正确;对于选项D:

x-V2y-l=0,

联立了。整理，得产+2■+2=0,由/=(2&)24x2=0,知直线与双曲线C只有一

3=1,

个交点，选项D错误.

故选AC.

12.BC设点P(x,y),则儀=|=J：+2)什，化简整理得/+产+8k0,即(x+4)2+产16,故

FB2J(x.4)2+y2

A错误；

当。(1,0),8(2,0)时，黑=故B正确；

对于C选项,cosNZPO一厂若；COSN8PO==47P广，要证PO为角平分线,

£/ir'rUZ.Dr'rU

AP2+PO2-AO2BP2+PO2-BO2

・，化简整理即证

只需证明cosNZPO=cosNBPO,即证-2APPO--2BPPO-

。。2=2〃尸28,设P(x,y),则尸。2气2+y,24028=2/+8卄29=(x2+8x+2+(x2+f)=x2+F，则证

cos/ZPO=cosN8PO,故C正确；

对于D选项，设Mxojo),由四。1=2|凶4|可得J耳+禿=J(%o+2尸+说,整理得

3,+3禿+16xo+16=0,而点M在圆上，故满足xZ+V+Sx%联立解得xo=2,yo无实数解，故

D错误.故答案为BC.

13.2x+3yl2=0设直线/的方程为？+齐1(心0力＞0),将点尸(3,2)代入得噂,

Q71

即“6224,当且仅当公=石，即。=6,6=4时等号成立，又SA/oB=2"b,所以当a=6,b=4时

△/。8的面积最小，此时直线/的方程为焉+*1,即2x+3yl2=0.

14.2连任比+2=0,化为y2=%(xl),直线过定点£(1,2),£(1,2)在圆x2+/2^7=0内，当E是

AB中点时,|Z8|最小，由2y7=0得/+什1)2=8,圆心。。1)半径

2何物=2j8-|EC|2=2V§^=2遅，故答案为2V6.

15.2由抛物线定义可得又斜率为旧的直线/倾斜角为*丄/，所以N

NMF/即三角形MNF为正三角形，因此NE倾斜角为解得x=看或

尸3舍)，即硕喙匿=整=2.

16.21由题意知今=1,从而2=2,所以抛物线方程为产4工

11

(方法一)将x=l代入，解得|/口|=|8n=2,从而丽+—=1.

(方法二)设AB的方程为尸左(xl),联立整理，得出x2(2R+4)x+%2=o,设

'_2k2+4

A(X\,y\),B(X2y2)M"1"2-卜2'

、久62=1.

11而丄+丄=]+]_-1+久2+2_X1+&2+2一,

\AF\|BF|巧+1亚+1%I+%2+%I%2+1巧+工2+2

17.(1)解由题意知，圆心。到直线3x4y+15=0的距离d=#==3,

v9+16

:,圆。与直线相切,,)=d=3,・：圆O方程为％2+y2=9.

圆心0到直线/:y=2x+5的距离d\=V5,

.：IMNI=2^9^=4.

(2)证明设尸(xoyo),则耳+讣=9,

.|P._回+9)2+*_183+90_3

2x+10

阿J(Xo+l)2+y2JX2+2x0+l+y2J0，

即㈱为定值3.

18.解(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=l,又因为e=?=~=*所以。=遮,所以

炉=2,所以椭圆的标准方程为9+1=1.

(2)(i)当直线BD的斜率上存在且胖0时，直线8。的方程为夕=依什1),代入椭圆方程

22

y+夕1,并化简得(3层+2)%2+6庐8+336=0.

,(\L2

设8(X141),0(X202),则Xl+X2^^RX2=5Z方

222

|BD|=V1+k-\x\X21=7(1+/c)-[(^i+X2)-4X1X2]=4子第0.易知AC的斜率为去

4双表+1)_46必+1)

所以|/C|

3x4+22k2+31

k2

所以MC|+|8O|=4百(F+1)(春+奈方)塗第瑞

20V3(/c2+I)2

-r(3/c2+2)+(2/c2+3)l2

2

_20乃(22+1)2_16-

25(/C2+1)2—5

4

当标=1,即k=±l时,上式取等号，

故的最小值为喈.

(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得|/。|+逐。|=竽>嚟.

综上,|4C|+出。的最小值为警.

19.解⑴由抛物线的定义可知,財鬥=加+尹2@

又M(2M在抛物线上，所以2Pm=4,②

由①②联立解得p=2,m=l,

所以抛物线C的方程为

(2)①当祝=0,即点尸为原点时,易知点0在直线y=0上；

②当xoWO,即点尸不在原点时，

1

由⑴得炉=4y,则y，=产

所以在点尸处的切线的斜率为夕0,

所以在点尸处的切线/o的方程为»o=|xo(xxo),又说=4伊0,

所以y=|xaxyo.

又过点F与切线/o垂直的方程为贝=马,

XQ

1

y=2%0%少0,

联立方程2

--X,

消去X,得y=j(yl)x^o.(*)

因为其=4yo,

所以(*)可化为尸处o,即&o+l)y=O,由次＞0,可知y=0,即垂足。必在x轴上.

所以点0必在直线y=0上，

综上，点0必在直线y=0上.

(cV3,

a=T'仅=2,会

20.(1)解由题意知《3丄_解得《6=1,所以椭圆。的方程为3+俨=1.

滔+方一1'f伝4

1Q

(2)证明易知"(0,1),8(0,1),则直线MA的方程为产%+1,直线的方程为尸

(1

y=-%+1,得隹+1)/+*0,于是》尸=譯評「=為,

联立《

/丄21

匕r+y=1，

同理可得X。舞卡36-t2

t2+36'

又由点M/,2)(庁0)及