2024年新高中数学考试大题训练-三角函数的图形与性质（答案版）

三角函数的图形与性质

1.(2023・山西大同•校联考一模)已知函数/(x)=sin(。尤+切在区间单调，其中。

2兀

(1)求y=/(尤)图像的一条对称轴;

⑵若/

2.(2023春•江西宜春•高二江西省宜春市第一中学校考期末)已知函数

-2sinxcosx

(1)求函数/(X)的最小正周期及对称轴方程；

⑵将函数y=的图象向左平移合个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐

标伸长为原来的2倍，得到函数〉=8(”的图象，求y=g(x)在[0,2用上的单调递减区

间.

3.(2023・北京・统考高考真题)设函数/(无)=51110封05夕+8$04亩e[0＞0,|夕|＜]].

(1)若〃0)=-乎，求。的值.

(2)己知/⑺在区间上单调递增，=再从条件①、条件②、条件③这

三个条件中选择一个作为已知，使函数AM存在，求的值.

条件①：超=亿

条件②：/H=T；

TTTT

条件③：f(x)在区间-万,一§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

4.(2023秋・辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考开学考试)已知函数

f(x)=V3sin(s+^)+2sin2(丝尸]T(。＞。，。＜夕＜")为奇函数，且/(x)图象的相邻

TT

两对称轴间的距离为彳.

(1)求/'(x)的解析式与单调递减区间；

⑵己知小)在J片时，求方程2r(力+后(力-3=0的所有根的和.

5.(2018•北京・高考真题)已知函数〃x)=sin2x+gsinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)若/(X)在区间加上的最大值为：，求上的最小值.

6.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)已知函数

/(X)=sin2—-A/3sin—cos—+1.

「222

⑴求函数y=/(无)的单调递减区间；

(2)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=accosB-gbc,

求”3)的取值范围.

7.(2019•浙江•高考真题)设函数/(x)=sinx,xeR.

(1)已知。€[0,2兀)，函数f(x+6)是偶函数，求。的值；

(2)求函数y="a+2)]2+"(x+F)]2的值域.

8.(2023秋•河南南阳•高二南阳中学校考开学考试)己知函数

fM=Asin(s+°)+8[A＞0,。＞0,1例＜]]的部分图象如图所示.

⑴求函数的解析式；

7T

(2)将函数y=/(x)图象上所有的点向右平移;个单位长度，再将所得图象上每一个点的

4

-13兀一

横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当尤已0,—时，方

O

程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根，者,々,£(玉＜々＜£)，求实数。的取值范围以

及X]+2无2+毛的值.

9.(2023春•广东东莞•高一校考阶段练习)已知函数〃尤)=2cosMsin尤-6cos尤)+百.

(1)求“X)的最小正周期和f(x)的单调递减区间；

（2）当相三兀时，求函数“X）的最小值及取得最小值时尤的值.

JTJT

10.（2017・山东•高考真题）设函数/（%）=sin（s-：）+sin（Gx——）,其中0<°<3.已知

62

吗）=0.

（I）求0;

（II）将函数y=/（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将

Jrjr37r

得到的图象向左平移二个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在上的最

444

小值.

11.（2023•安徽安庆・安庆一中校考三模）已知函数/（x）=cos2尤+不sinx-cosx-g.

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

7T

⑵求了（无）在区间［0,上的最值.

12.（2023春•广西钦州•高一统考期中）已知函数

〃尤）=Asin（0尤+0）+20>0,2>0,0>0,时<会在一个周期内的图象如图所示.

⑴求函数Ax）的表达式；

2

（2）把y=/（%）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的：（纵坐标不变）,再把得到的图象

向下平移一个单位，再向左平移97r个单位，得到函数y=g（x）的图象，若无e0j,r-,

3o

求函数y=g（x）的值域.

77

13.（2023春・辽宁•高一校联考期中）如图有一块半径为4,圆心角为刀的扇形铁皮493,

2

P是圆弧A3上一点（不包括A,5）,点M,N分别半径。4,。8上.

B

⑴若四边形尸MON为矩形，求其面积最大值；

(2)若和△7%幺均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围.

14.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(X)=冰+cosx+sinx(a£R).

⑴若。=1,当相］兀时，求证：仆)为单调递减函数；

⑵若/(x)〈l+2sinx+2cosx在xe(0,句上恒成立，求实数a的取值范围.

15.(2023•上海奉贤•校考模拟预测)已知函数

=2^/3sinxsin^+x^-2cosxsin^-1--x^+l,

⑴求函数的最值；

⑵设一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若〃A)=2,6=2,且

2sinB+sinC=V7sinA,求ABC的面积.

16.(2023春•河南南阳•高一校考阶段练习)己知函数/(x)=asinxcosx+cos2x+-

6

⑴求。的值和/(x)的最小正周期;

⑵求以X)在［0,7T］上的单调递增区间.

17.(2022秋•山东济宁•高三统考期中)已知函数

⑴求函数/(%)的单调递增区间；

7TC

⑵若函数g(x)=〃2x)-a在区间0,—上恰有3个零点药<七)，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)求sin(2芯+W-W)的值.

18.(2023・上海松江•校考模拟预测)已知向量机=(2sins,cos20x),力=(J§cos(yx,l),

其中0>0,若函数/(X)=7"•"的最小正周期为无.

⑴求/（X）的单调增区间;

(2)在J1SC中，若f㈣=-2,BC=g,sinB=6sinA,求B48C的值.

19.（2023秋・湖北黄石•高一校联考期末）已知函数

/(x)=cos2x+V3sinxcosx-^(xeR)

（1）求的最小正周期;

（2）讨论“X）在区间上的单调性;

20.（2023春・江西宜春・高一江西校考期中）已知函数/（x）=^cos[2x-?

XER.

（1）求函数/（幻的最小正周期和单调递减区间;

TTTT

（2）求函数AM在区间-豆,丁上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

o2

参考答案:

L⑴x="

71

(2)9=1

【分析】(1)由函数在区间上的单调性确定最小正周期的范围，再由函数值相等即可确定对称轴;

(2)根据对称轴及函数值确定。x的表达式，再结合最小正周期确定。的可能取值，即可得解.

71兀

【详解】(1)因为函数f(x)=sin(s+°)在区间单调,

兀兀2兀

所以函数/⑴的最小正周期T22x

2-6T

n

又因为了

所以直线尤兀2兀7兀

=gx—+一即片五为丁爪)图象的一条对称轴;

23

2冗2元

(2)由(1)知T2,故g=<3,由GEN*,得G=1,2或3.

77r7元?!

由X=丘为/(x)=sin(0x+e)的一条对称轴，所以丘0+9=5+勺兀,《eZ.

，3「武,।7T7T_T_p_7T27rT17

因为f—，所以一0+(p=—F2左2兀—co+(p=-----F2k3五,左2,左3£Z,

26363

若仁0+0=5+2%2兀，贝1]需0=.+((-2k2)冗,即G=1+葭化一2女2),

不存在整数匕，及，使得。=1,2或3；

■■.7T2兀_T,57r7t/_\2]2/_\

=-T713rt=TT

石.~^co(P——F2k贝f贝(J口=一—H—2k3)Ji9即co——H——(k[_2k3),

不存在整数％，上3，使得。=1或3.当尤=24+1时，a)=2.

此时°=§+2&兀，由|如＜3，得夕=g.

3，3

2.(1)最小正周期为"，对称轴方程为兀二-专+与，keZ

⑵。弓R2n

【分析】(1)利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得了(尤)=2COS(2X+?J,再根据周期的公式

与余弦函数的对称轴公式求解即可;

(2)根据三角函数图形变换的性质可得g(x)=2cos[x+。]再根据余弦函数的单调区间求解即可.

【详施军】(1)/(%)=—sin2x+cos2x+cos2x--sin2x-sin2x,

v72222

1百1、

/(x)=>/3cos2x-sin2x=2——cos2x——sin2x

=2cos2xcos----sin2xsin—=2cos2x+—

I66I6

所以函数的最小正周期为

令2尤+.Qr,kwZ,得函数/(尤)的对称轴方程为尤=*+容keZ.

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移自个单位后所得图象的解析式为

y=2cos2|xH—|H——2cos|2xH—|,

LI12；6j(3；

所以g(x)=2cos(2*：元+曰=2cos,+m，

TT

令2AT爆！kd——n+2kji,

3

所以-g+2左踢从g+2万r/eZ.又xe[0,2;r],

2万

所以y=g(x)在[0,2句上的单调递减区间为0,—,.

3.⑴夕=g

7T

(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得。=1,(p=~~.

【分析】(1)把x=0代入/⑴的解析式求出sin。，再由|夕|<]即可求出夕的值；

JT2冗

(2)若选条件①不合题意；若选条件②，先把了(幻的解析式化简，根据f(x)在-§,彳上的单调性及函

数的最值可求出T,从而求出。的值；把。的值代入/⑺的解析式，由/[-/]=-：!和101<]即可求出。的

值；若选条件③：由f(x)的单调性可知f(x)在左=-三处取得最小值一1,则与条件②所给的条件一样，解

法与条件②相同.

、兀

【详解】(1)因为/(x)=sinscos°+cos0xsin9，G>O,|0|<—

所以/(O)=sin(0•0)cos(p+cos(0•0)sin0=sin0=---,

因为⑷<],所以。=-1.

JI

(2)因为/(x)=sin0xcos°+coso%sin9，G〉O,|0|<5,

jr

所以/0)=$山(0》+9),0>0,|夕|<5，所以/'(x)的最大值为1,最小值为-1.

若选条件①：因为/(x)=sin®x+e)的最大值为1,最小值为-I,所以/。)=正无解

故条件①不能使函

数〃幻存在；

若选条件②：因为“尤)在-今音上单调递增，且/件)=1,C=T

所以§==兀，所以T=2兀，&=半=1,

所以/(%)=sin(x+0),

又因为三]二-1,所以sin[■|+o1=T,

所以一百+°=一二+2fai,keZ,

32

所以9=-：+2E,左eZ,因为|夕|<彳，所以9=-：.

62o

jr

所以①=1,

O

TT27rTTIT

若选条件③：因为f(无)在-了彳上单调递增，在-5，-§上单调递减，

所以在无=-5处取得最小值一1,=

以下与条件②相同.

万73»7,

4.(l)/(x)=2sin2x,—卜k兀,----FK7T,keZ

44

⑵W

6

【分析】⑴将函数变形为/(x)=2sin10x+0-J由函数的周期及奇偶性可求解;

(2)解方程得/(x)=-6或/(x)=孝，即sin2x=-'或sin2x=乎，利用正弦函数的性质可求解.

2

[详角军](1)/(x)=A/3sin(Gx+。)+2sin1＞尤；0)一\=6sin(Gx+。)一cos{cox+。)=2sin(ox+(p-

jr

/(X)图象的相邻两对称轴间的距离为彳，

2

，■/'(X)的最小正周期为T=%,即可得(y=2,

TTTT

又了(九)为奇函数，则0一二二左"，keZ,又.,.0=一,

66

故/(X)的解析式为/(%)=2sin2x,

77STTTTSTT

令——F2k?i<2x<----F2ki,ZcZ,得——\-k7i<x<-----Fki,左cZ

2244

JI34

，函数/(x)的递减区间为k7T,-^-+k7T,kGZ.

(2)xe-，葛，'「.sin2x£[Tl],/./(x)G[-2,2]

方程2/2(x)+也/(力—3=0可化为[/(%)+6][2/(x)—=0,

解得/(x)=-6或f(x)=^~，即sin2x=或sin2x=

当sin2x=一立时，2x=—f或2x=¥或2x=当

2333

解得工=一^或%=多或%=苧

636

当sin2x=时，2玉+2X=TC,所以玉+%=不

422

综上知，在一看年时，方程2/(%)+何(力―3=0的所有根的和为

JT

5.(I)兀；(II)

2"

【分析】⑴将/(X)化简整理成/'(x)=Asin(ox+e)的形式，利用公式?=「可求最小正周期；(II)根据

ITTT

xe[--,m],可求2x-丁的范围，结合函数图象的性质，可得参数加的取值范围.

36

匕2+esin2户走sin2x」cos2x+Ls却2尤」[+!

【详解】(I)/(%)=

22222{6J2

所以“X)的最小正周期为r=g=兀.

（II）由（I）知/（力=sin（2X_/1+万.

..、>JCLL._7L5兀c兀

因为一不m,所以--—,2m——

3Jo|_66

7T3

要使得〃尤）在-亨机上的最大值为

即sin（2x-j在弋,m上的最大值为1.

所以21n-->—,即加2工.

623

所以用的最小值为土

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简

时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

2兀兀

6.（1）-------F2^71,F2%兀，女£Z

33

【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得y=/（"的单调递减区间.

（2）利用余弦定理求得A,结合三角函数值域的求法求得了（5）的取值范围.

【详解】(1)/(x)=--^-sinx-—cosx+—=-sinfx+—^+―

v7222I6)2

令一巴+2hi<x+—<—+2kn,贝U——-+2kn<x<—+2hi,keZ

26233

7jrJT

所以，单调减区间是——+2^71,—+2fai,keZ.

(2)由a2-b2-ac-a+C——-——Lbc得:

lac2

b2+c2-a2=bc,即cosA="十：­~—=~z，

2bc2

由于O<A<71,所以A=1.

在LABC中，0<3<?-,

/(B)=-sin|^B+^+|,

于是+g<"，则;<sin(B+£]VI,+

6662v6Jv6J2

31

—<-sin+5<1，所以

2

【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定0的值；

(2)首先整理函数的解析式为y=asin(ox+0)+b的形式，然后确定其值域即可.

【详解】⑴由题意结合函数的解析式可得：〃x+e)=sin(x+。)，

函数为偶函数，则当x=0时，。+。=氏+|＜此2),即。=壮+^(左eZ),结合在[0,2兀)可取左=0,1,相

兀3

应的。值为万.

22

(2)由函数的解析式可得：y=sm2(x+^\+sin2(x+^\

1-cos1-cos

据此可得函数的值域为：1一与1+B.

【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等

知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.(l)/(x)=2sin[2x+|^+3

14K

(2)a£[2,3],Xy+2々+%3=-----

【分析】(1)由三角函数图象的最大值与最小值，求出A=2,B=3,得到最小正周期，求出/=学=2,再

代入特殊点的坐标，求出。得到函数解析式；

TT

(2)先根据平移变换和伸缩变换得至lJg(x)=2sin(x-£j+3,令1一台--,271,换元后利用整体法求

6

T7

出函数的单调性和端点值，得到“e[2,3],再根据对称性得到％+/2=2*]=兀4+/3=2、*37r=3兀，相加后得

至(西一。+21工2-卜3—=4兀，求出答案.

(A+B=55-15+1

【详解】⑴由图示得：,八/解得：4=彳=2,3=彳=3,

[-A+B=l22

7717r2兀

又不二不兀一不兀=5'所以7=兀'所以口=下=2,

所以/(%)=2sin(2%+。)+3.

又因为了(X)过点舟5),所以5=2sin(2x]+e)+3,即sin1+(p=1,

所以一+0=--F2kit,keZ,解得夕=—+2fai,A:eZ,

623

又l9l<]，所以夕=；，所以/(x)=2sin]2x+「+3.

(2)丁=/(无)图象上所有的点向右平移:个单位长度，得到f(x)=2sin2卜-扑]+3=2sin2尤-2+3,

将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)=2sin[尤-■|j+3,

._13兀.兀7L_

当X£0,---时，X£----,2兀,

L6J6L6J

令t=x-四e一巴,2兀，贝lj2sin(x-二]+3=2sin/+3,

66」I6J

TTTT(冗3冗

令/z⑺=2sin/+3,在fe上单调递增，在fe不〒上单调递减，

_62」122_

在teg27t上单调递增，

且彳用=2sin[q]+3=2，C=2si吟+3=5,

(3兀、3兀

%彳=2siny+3=1,/Z(2K)=2sin2兀+3=3,

-13K

所以，€[2,3]时，.当0,—时，方程g(%)-1=0恰有三个不相等的实数根.

O

因为力⑺-1=。有三个不同的实数根”2/3亿<[2<%3)，

Sir

且4出关于IT对称，关于/=三对称，

-7i_37r_

则6+，2=2x万=兀/2+J=2x-3兀，

两式相加得：tx+2/2+=4TI,

即、一聿卜2、2_。+卜一胃=4兀，所以%+2%+%3=手.

9.(1)兀；氏+1|,丘+皆(*Z)；(2)当>岩时，函数y=/(x)取得最小值，最小值为—2.

【分析】(1)利用二倍角降基公式、辅助角公式可得出〃x)=2sin12x-gj,利用周期公式可计算出函数

y="x)的最小正周期，解方程2》-事=0(左eZ)可得出函数y=/(力的对称中心坐标；解不等式

g+2日42》一?〈夸+2左万信eZ),可得出函数y=/(x)的单调递减区间；

JTrr

(2)由xe-，^,计算出2元-g的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的尤的

值.

【详解】(1)/(x)=2sinxcosx-2V3cos2x+V3=sin2x-2^»1+C^s2x+V3

=sin2x-y/3cos2x=2sin(2x-3,

所以，函数y=/(x)的最小正周期为T=夸=万.

由2%一2二%"(%£Z),可得％=+2(％£Z),

326'

函数y=/(x)的对称中心为(母+己，°卜&ez)；

解不等式1+2%万<2x-^<^-+2k7i(%£Z),解得女"+需<x<k7i+(^keZ).

Sjr117T

因此，函数y=〃x)的单调递减区间为k7T+—,k7r+—仅eZ)；

(2)当尤eg,%时，—<2x-—<—,

当2x-g=q时，即当x=詈时，函数y=/(x)取得最小值，最小值为-2.

【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数

解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10.(I)(o=2.

【详解】试题分析：（I）利用两角和与差的三角函数化简得到"/。）=6（痴8-合

由题设知/（二）=。及0<。<3可得.

O

（II）由（I）得/（尤）=Wsin（2x-g）

从而g（x）=Ain（x+?_g=Ain（x_q）.

根据xe[-j争得到争，进一步求最小值.

TTTT

试题解析：（I）因为/（尤）=sin（0x-=）+sin（0x-7）,

02

所以于（X）=[^sin@%一；coss—cos8

V3.3

=——sincox——coscox

22

=V3（^-sincox-cosox）

=6（sinox-y）

由题设知A*=。，

llt\iCOTCTC_

所以7~一不=kT兀，keZ.

o3

故G=6左+2,keZ,又0<G<3,

所以少=2.

（II）由（I）得/（元）=右sin（2x-f

所以g（x）=J^sin（x+?-?）=百$皿尤一言.

因为xe[-7，不],

44

匚匚I、1TC7C2冗、

所以％——er[——,——],

1233

—Ix------,

123

即尤=这时,g（x）取得最小值

【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能

利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的

对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子

的变形能力等.

,n,7i

11.(1)k兀--,k7t-\—(%eZ)

36

(2)最大值为1,最小值为

【分析】(1)由三角函数降幕公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦

函数的单调性，可得答案;

(2)利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.

1+cos2x\/3..1G.e1c.以

【详解】(1)/(X)-------------1sin2x—=—sin2xH—cos2x=sin2%H—万、.

22222I6)

TTTT

因为y=sinx的单调递增区间为2k1-5,2k4+5(女6Z),

兀兀兀

2xH—£2左---,2kji—(左wZ),xGk7i---,kjiH—(kwZ).

622」L36

71冗

所以了(九)的单调递增区间为k7l-—,k7l+—(左£Z).

3o

(2)因为[0,g],所以2x+Je.

26166」

当2x+B=£,即时，〃尤)最大值为1,

626

当2x+g=?,即时，/(X)最小值为-；.

6622

12.(l)/(x)=2sinf|x+^7tj+l

(2)[-A/3,2],

72兀4兀求得"=京•兀,

【分析】(1)根据函数图象可得A=2,得3=1,由图象和公式7=万求得。=彳，由/=3

囹3

即可求解;

(2)根据三角函数图象的平移伸缩变换可得g(x)=2sin[2x+gj,利用正弦函数的单调性即可求出函数

g(X)的值域.

【详解】(1)根据函数图象可得2A=3-(-1)=4,：.A=2,

3+(—1)=2B,\B=1,

4

工=11兀」=2%=，，得T=3卡当CD=—,

21261242m3

X/(弓]=3，•,・2sin(gx£+eJ+l=3,r.5皿(：兀+夕]=1,

271571

「.一兀+0=—+2E,左eZ,得0=——+2E,keZ,

9218

5

又/.(p=—71,

H<p18

中+小卜1;

「•/(x)=2sin

（2）把y=/（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的g2（纵坐标不变）得到y=2sin[2x+M+l,

3

再向下平移一个单位得到y=2sin（2x+\兀

再向左平吟71个单位得到k2sm2A静而5兀Sin2x+71?

36183

g(x)=2sinl2x+yI,

当xe0胃时，了712尤+71会铲4,

333

IT7T1jr3冗

又函数>=sin尤在,彳上单调递增，在5，E上单调递减,

<sin(2%+^1<1,

g(x)e[-后2],即g(x)值域为[-8,2].

13.(1)8；

(2)[872-8,8).

TT

【分析】（D连接。p,令/aop=e（o<e<5）,用。表示出矩形PMON的面积，再借助三角函数计算作答.

（2）利用（1）中信息，用。表示出P8N和&M4的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.

TT

【详解】（1）连接OP,如图，令/Aop=e（o<e<,）,

因四边形PA/ON为矩形，则OM=OPcos0=4cos0,PM=。尸sin6=4sin6,

于是得矩形PMON的面积SPMON=OM-PM=4cos0-4sin。=8sin20,而0<2,〈万，

ITTT

则当2。=?即时，sin26取最大值1,即有(5加皿)2=8,

所以矩形PMON面积最大值为8.

(2)由(1)知，PN=OM=4cos0,ON^PM=4sin9,贝!|BN=4—4sin。，AM^4-4cos0,

RtPBN和的面积和：

S=SPBN+SPMA-PN-BN+PM-AM=ix4cos^x(4-4sin^)+^x4sin6?x(4-4cos0)

=8(sin0+cos6)-16sin6cos0,

令sin6+cos8=1,B|Jt=^2sin(^H—),而一—<—,则1</«^/5,

4444

2sin，cos9=(sin6+cos6)1-(sin2+cos2，)=产一1,

则S=/⑺=8/_8(/-1)=-8?+8f+8=-8(Z-1)2+10,显然/Q)在(1,0］上单调递减，

当/=0，即。=:时，/⑺而口=/(血)=8近一8,而/(1)=8,因止匕，80-845<8，

所以Rt尸氏V和Rt△尸M4的面积和的取值范围是：［8^历-8,8).

【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相

关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.

14.(1)证明见解析

(2)(f0］

71

【分析】(1)若。=1,当xe时，对求导，令广(%)<。，解不等式即可求出答案.

1+sinx+cosx

(2)W1+2sinx+2cos］在x£(0,句上恒成立转化为。0

xmin

令g(无)=l+sm尤+c°sx,求且⑴在x«0,乃|的最小值即可.

X

【详解】(1)若1=1,贝!J/(x)=x+cosx+sinx,

-后71

1(x)=1-(sinx-cosx)=1sinx~~

因为pxs

1-0sin[x-?卜0,在xe%，兀为单调递减函数;

J1+sinx+cosx)

(2)/(x)>l+2sinx+2cosx,即“一1r)

\人7min

令g3J+sinx+cosx,

X

(cos尤一sin尤)尤一1一sin尤一cosx(尤一l)cos尤一(x+l)sinx-l

贝!Jg，(x)=二

令/z(尤)=(无一l)cos龙一(x+l)sinx-l,

=cosx-(x-1)sin.r-sinx-(x+1)cosx=-x(sinx+cosx)=-V^xsinlx+—j,0<x<—,<0,

〃(x)单调递减,

^-<X<7T,//(%)>0,〃(X)单调递增,

而/?(0)=-2<0,/z(万)=-万<0,

故/z(x)<0在xe(0,同恒成立，

故g'(x)<0在x«0,句恒成立,

所以g(x)在xe(O,;r]为减函数，

所以g(x)血n=g(i)=。，故aWO,

所以实数a的取值范围是(3,0].

15.(1)最大值为2,最小值为-2

⑵到1或正

23

【分析】(1)把/(%)化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x,再用二倍角公式把二次项化为一

次项，同时把角化为2x,最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；

(2)先求出角A,由余弦定理得到关于的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含。，。的方程，联立方

程组即可解出a，c的值，再代入三角形的面积公式即可.

【详解】(1)因为/(x)=2gsinxsin(+x]一2cosxsin一x)+1

=26sinxcosx-2cos2x+1=\^sin2A:-cos2x

=2sin12x一？

所以〃司的最大值为2,最小值为-2.

⑵结合(1)可知〃A)=2sin[2A—,=2,所以sin[2A—,=1.

因为Aw(0,»),所以,

o\o07

i-i,r7CTC.TC

则2A4-二=彳,A=；.

623

〃2+「2―〃24+f*2—〃21

由余弦定理得cosA='ca.=4±£a一=

2bc4c2

化简得°2=c2-2c+4①.

X2sinB+sinC=V?sinA,由正弦定理可得2b+c=，即4+c=J7a②.

结合①②得a=V7,c=3或〃=冬2c=2.

33

_Qn-i.c1j.43A/32□-+c1,.4A/3

5

c=3时，SABC=-bcsmA=—^-；。一§时，AABC=~bcsmA=—

综上，ASC的面积为型或正.

23

16.⑴〃=2,T=7i

八兀7兀

⑵。‘五’—，兀

12

【分析】(1)根据=g代入求出。，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得;

(2)由正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)g|f(x)=asinxcosx+cosI2x+-^

所以si咛丐+可2义%：="一又六；=；,解得"2,

所以/(x)=2sinxcosx+cos2x+—\=sin2x+cos2xcos----sin2xsin—

<6766

.,V3_1._V3_1.,.(.7lA

=sin2x+——cos2x——sin2x=——coszxd■—sin2x=sin2x+—,

2222I

即/(x)=sin(2x+T，所以〃x)的最小正周期T=g=兀；

jrjrjr

(2)由一一+2fai<2x+-<-+2fai,kwZ,

232

5JTJT

解得----FEW%W—卜ku,k£Z,

1212

所以/(x)=sin12x+5的单调递增区间为冷+E.+E

keZ,

当％=0时/(x)的单调递增区间为冷若，

77r137r

当％=1时/(x)的单调递增区间为—,

所以“X)在[0,兀]上的单调递增区间为o,g,意,兀.

17.(1)一2+k兀之*+k兀(左eZ)

⑵

(i)[-A/3,0];(ii)、丁.

【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到〃x)=2sin12x-qj；根据正弦型函数

单调性的求法可求得单调递增区间；

(2)(i)令r=4x-。，将问题转化为y=2sinf与y=a在-^,2%上恰有3个不同的交点，利用数形结合

的方式即可求得。的取值范围；

TT

(ii)由(i)中图像可确定^+匕=3万，。3-4=2%，由止匕可得4+马一4二一左，整理可得2尤|+々-尤3=-五，

由两角和差正弦公式可求得-sin=的值，即为所求结果.

【详解】(1)

...令一生+2左;rW2尤一工4三+2左左(左eZ),解得：一■—+k7v<x<—+k7r(k&Tj),

2321212

■jT)TC

\/(X)的单调递增区间为-丘+版■，石■+%万(旌Z).

(2)(i)由(1)得：g(x)=2sin^4x-yj-a,

7万7171

当0,—时，4x一一e一一,2万,

1233

设t=4x-(则g(x)在区间0,^|上恰有3个零点等价于y=2sinf与y=a在-(,2%上恰有3个不同的

交点;

冗

作出y=2sinf在-§,2万上的图像如下图所示,

由图像可知：当时，y=2sint与>恰有3个不同的交