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文档简介
《实数》复习与回忆
一、知识梳理
1.平方根
[1)算术平方根的定义:一个正数X的平方等于a,即,那么这个正数x就叫做a的.0
的算术平方根是o
[2)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x就叫做。的0
(3)平方根的性质:一个正数有个平方根,它们;0只有个平方根,它是;
负数平方根。
14)开平方:求一个数a的的运算,叫做开平方。
2.立方根
〔1)立方根的定义:如果一个数x的等于即,那么这个数x就叫做。的立方根。
〔2)立方根的性质:每个数a都只有个立方根。正数的立方根是;。的立方根是;
负数的立方根是。
13)开立方:求一个数a的的运算叫做开立方。
3.实数
U)无理数的定义:无限不循环小数叫做o
[2)实数的定义:和统称实数。
13)实数的分类:①按定义分:;②按性质分:
14)实数与数轴上的点的对应关系:与数轴上的点是对应的。
15)有关概念:在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义=
4.实数的运算:
11)实数的加、减、乘、除、乘方运算和一样,而且有理数的运算律对仍然适
用。
12)两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根,算术平方根的商等于这两个数
商的算术平方根,用式子表示为;O
二、考点例析
考点1平方根、立方根的定义与性质
例111)以下各数是否有平方根?假设有,求出其平方根;假设没有,说明理由。
①625②[一2)2③[-1)3
12)以下各数是否有立方根?假设有,求出其立方根。
①工②一343③一22
27
分析:(1)要判断一个对象有无平方根,首先要对这个对象进行转化,直到能看出它的符号,然
后依据平方根的性质进行判断。〔2〕因为正数、0、负数均有立方根,所以所给各数都有立
方根。
解:[1)①因为625>0,故其平方根有两个,即土辰'=±25;②因为(-2)2=4>0,故其平方根
有两个,即±'(—2)2=±2;③因为(一1)3=—i<o,故其不存在平方根。
12)由立方根的性质可知,所给各数均有立方根。
@=—;②V-343=-7;
V273
③一22的立方根二4。
说明:只有非负数才有平方根,这一点同学们一定要牢固掌握。
考点2实数的分类与性质
例2以下各数中:
,3.14159,-7t,J—V4,0,0.3,V8,V16
4V3
其中有理数有:
无理数有o
分析:对于我、病等应先化简再判断。
解:有理数:一工,3.14159,0,0.3,我,病
4
无理数有:V7,一兀,J^,一四
说明:此题考查有理数和无理数的概念,要正确判断一个数属于哪一类,理解各数的意义是关键。
例3亚-1的相反数是;-Vn的绝对值是;
分析:如果。表示一个正实数,那么一。就表示一个负实数,a与一a互为相反数;。的相反数依
然是0。一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数,。的绝对值是
0o非零实数a的倒数是工。
a
81—,所以一区81的倒数
解:血-1的相反数是i—VL-而的绝对值是VH;-J
127"11121
是-3
9
说明:解决此问题要牢记实数的性质,实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理
数范围内的意义是一样的。
考点3实数的运算
例411)计算:址).008义
⑵化简血—行(行+2)得(
1A)-2(B)V2-21C)2(D)472-2
分析:有理数的运算法那么、性质、运算律等在实数范围内仍然适用,本例根据运算顺序直接计算
即可。
解:(1)原式=0.2x9—7^+(—!)=!><』一15x(—5)=工+75=75工;
455444
[2)78-72(72+2)=78-2-272=2V2-2-2V2=-2o应选[A)。
说明:在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算,运算顺序依然是从高级到低级。值得
注意的是,在进行开方运算时,正实数和零可以开任何次方,负实数能开奇次方,但不能开偶
次方。
考点4非负数
例5x,y为实数,且J』+3(y—2)2=0,那么x—y的值为().
(A)3(B)-3(C)11D)-1
分析:此题主要考查非负数的性质及其应用,非负数,即不是负数,也即正数和零,常见的非负数
主要有三种:实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质:
假设干个非负数的和为0,这几个非负数均为零。利用这个性质可解此题,
解:由题意,得X—1=0,y—2=0,即x=l,y=2,所以x—y=—1。应选(D)。
说明:非负数是中考常考的知识点,同学们应从其意义入手,理解并掌握它。
考点5数形结合题
例6实数a、b在数轴上的位置如下图:试化简:Ia—b|—|a+b|
分析:要化简Ia—b||a+bI,需根据数轴上a、b的位置判断a—b和a+b的符号。
解:因为a>0,b<0,且IaI<Ib],所以a—b>0,a+b<0,
0
所以原式=[a—b)+[a+b)=a—b+a+b=2a
说明:数形结合是解决数学问题常用的思想方法,解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
考点6探究题
例7阅读以下解题过程:
请答复以下问题:
11)、观察上面的解题过程,请直接写出式子:不一("")
⑵、利用上面所提供的解法,请化简:~^+」」广+二厂++」广
V2+1V3+V2V4+V3V5+V4710+79
分析:通过阅读解题过程不难发现,每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。
解:⑴—j=~/—=J〃+i-Go
-Jn+-Jn+1
(2)原式=后—1+逐—直+7Z—百+声—/+•••+•—西=痴—i。
说明:这类题目需要我们细心观察及思考,探究其中的规律,寻找解决问题的途径。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质,往往出现以下错误:求一个正数的平
方根时,漏掉其中一个,而求立方根时,又多写一个;求算术平方根时前面加上“土〃成了平方
根等等。
例1(1)求6’的平方根[2)求庖的算术平方根
4
)的算术平方根是
错解:⑴旧=后=5[2M9
错解分析:错解(1)中混淆了平方根和算术平方根;错解〔2〕中风=9,风的算术平方根其
实是9的算术平方根,而9的算术平方根是3。
正确解法:〔1〕土R=±A=±g;(2)风的算术平方根是3。
例2求64与-27的立方根。
错解:64的立方根是±4,—27没有立方根。
错解分析:64的立方根是4,只有一个,认为64的立方根有两个且互为相反数,是与正数的平方
根相混淆;一27的立方根是一3,错误地认为一27没有立方根是与负数没有平方根相混
淆。
正确解法:因为43=64,所以64的立方根是4。因为[一3)3=—27,所以一27的立方根是一3。
2、忽略平方根成立的条件
只有非负数才能开平方,这一条件解题时往往被我们忽略。
例3当m取何值时,J—77?有意义?
错解:不管m取何值时,匚版都无意义。
错解分析:考虑不全,漏掉了m=0时的情况。
正确解法:当m=0时,-m2=0,此时飞-m2有意义。
3、实数分类时只看外表形式
对实数进行分类不能只看外表形式,应先化简,再根据结果去判断。
例4以下各数一2、上、3.14159、—耶、口、(-V7)\我中无理数有.
35
错解:无理数有上、—邪、£、〔一夜)2、我。
3
错解分析:这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简,一次=—3,(―J7)
2=7,我=2,所以它们是有理数。
正确解法:无理数有三、在。
3
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法那么与公式的正确应用,千万不要忽略公式的应用条件。
例5化简[1[54a-49a(2)J(-9)x(-25)
错解:[1)5yfci—V9tz=5Vt?—=2;
(2)J(—9)x(—25)=J(—9)xJ(—25)=(-3)x[一5)=15
错解分析:(i)中合并同类二次根式时丢掉了&从而出错;[2)中忽略了公式=
的应用条件,即论0,b>0,因为负数没有平方根,虽然最后结果正确,但解法是错误的。
正确解法:(1)54a-49a=5Vtz-3Va=24a;
[2)1(—9)x(-25)=J9x25=V9XV25=3x5=15。
四、考点链接
中考中对于实数一章的考查,其题型主要有选择题、填空题、解答题。近几年题型变化比拟大,创
设了一些新的情境,考查学生灵活运用所学知识的能力,这也是近几年考查的热点和趋势。下面是2007
年各省市关于实数的中考题的归类说明。
1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题
11)〔资阳市)如果某数的一个平方根是一6,那么这个数为.
12)〔安顺市〕标的平方根是.
(3)(南京市)上的算术平方根是()
4
A.--B.-C.±-D.—
22216
[4)(遵义市)8的立方根是.
3____
⑸(永州市)4f0.001=。
⑹[南宁市)假设(x+l)2—1=0,那么x的值等于()
A.±1B.±2C.0或2D.0或一2
分析:本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质,其中16)小题与方程相结
合,可由(X+1)2—1=0得(X+1)2=1,又由[±1)2=1得x+l=±l,再进一步求出X即可。
解:[1)36;⑵±2;⑶选B;⑷2;⑸0.1;⑹选D
2、考查实数的有关概念及实数大小的比拟
-----------j
⑺(金华市)夜的相反数是.-右下
(8)(旅顺口)如图,在数轴上,A8两点之间表示整数的点有个.
19)〔江西省)在数轴上与表示旧的点的距离最近的整数点所表示的数是.
(10)(河北省)比拟大小:7病.〔填“>〃、"="或"<〃)
(11)(广州市)以下各数中,曩个的数是〔)
A.-2B.-1C.0D.0
(12)(中山市)在三个数。.5、g、-(中,最大的数是()。
A、0.5B、-----C、|—ID、不能确定
3门|
分析:涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比拟历来是中考考查的
根本内容。实数进行大小比拟的根本原那么是:数轴上右边的数总是大于左边的数。
解:(7〕一行;(8)4;[9)2;(10)<;(11)A;(12)B
3、考查非负数的性质及其应用
(13)〔成都市)后,+(6+5)2=0,那么a+b的值为.
分析:先根据非负数的性质求出a、b的值,然后代入代数式求解即可。
解:由题意,得a—2=0,b+5=0,即a=2,b=—5,所以a+Z?=2+(—5)=—3。故a+Z?的值为一3。
4、考查实数的化简与运算
〔14〕〔潍坊市)化简J而的结果是()
A.10B.2A/10C.4A/5D.20
[15)〔江西省):J而是整数,那么满足条件的最小正整数”为()
A.2B.3C.4D.5
(16)[南京市)以下各数中,与2君的积为有理数的是()
A.2+A/3B.2--\/3C.-2+>J3D.-\/3
(17)〔荆门市)以下计算错误的选项是()
A.V14xV7=7A/2B.我+后=2百
C.J9。+J25a-SyfciD.-y/^2,=3
(18)(青岛市)计算:---广-----1—.
V3
(⑼〔黄冈市)计算:(V5+2)[若一2)=
120)〔临沂市)计算(局+3。-M}的结果是[)
A.6B.4-73C.273+6D.12
(21)[嘉兴市)计算:,+(-1)3—2泻.
分析:中考中,有关实数运算的题目一般难度不大。要注意:化简时把能开得尽方的因数都开出来,
使结果成最简形式;运算时一定要注意运算顺序,另外,应用乘法公式可简化计算,如[19)
小题可使用平方差公式。
解:[14)B;C15)D;(16)D;(17)D[18)1;[19)1;[20)D;[21)原式=2拒一1—血=血—1
第13章《实数》随堂小测〔A卷〕
〔本试卷总分值100分)班级姓名分数
一、仔细选一选:(每题4分,共24分)
1.16的平方根是
A、4B、一4C、±4D、±2
2.立方根等于3的数是()
A、9B、±9C、27D、±27
3、有以下说法:①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;
④-屈是17的平方根。其中正确的有()
(A)0个[B)1个(C)2个〔D)3个
4、以下各式中,正确的选项是〔)
A.J(-2)2=—2B.—序=3C.昨?=-3D.±百=±3
5、估计J行的大小应在()
A.7-8之间B.8.0~8.5之间C.8.5~9.0之间D.9.0-9.5之间
6、以下计算中,正确的选项是〔)
A.2A/3+3V2=5V5B.(V3+V7)-=-410-y/10=10
C.[3+2V3)(3-2V3)=-3D.(V2tz+VK)(42a+4b)=2a+b
二、细心填一填:〔每题5分,共30分)
1、、后-2的相反数是;绝对值是。
122r-
2、以下各数:一、0.32、万、-—、垂)、0.01020304…中是无理数的有
27
3、比拟大小,填>或<号:V11911;3A/22V3.
4、利用计算器计算J3.142%V82-1结果保存4个有效数字)。
5、一个正数x的平方根是2a-3与5-a,那么a的值为.
6、绝对值小于J7的整数有.
三、用心解一解:(共46分)
1、求以下各式中未知数x的值〔每题4分,共8分)
3
(1)16X2-25=012)(x-1)=8
2、化简〔每题5分,共20分)
⑴748-3A/3⑵712X73+5
(3)心(2^12-^75)⑷(3+6(2—行)
3、18分)用铁皮制成一个封闭的正方体,它的体积是1.331立方米,需要多大面积的铁皮才能制成?
4、(10分)观察
卜1=舄=用=3后即FI=3而猜测:卜总等于什么,并通过计算
验证你的猜测。
随堂小测(A卷)答案:
一、CCBDCC
二、1、2一斯;75-22、万、石、0.01020304...3、<;>
4、1.773;4.3445、~26、一2、一1、0、1、2
三、1、(1)x=±—[2)x=3
2
2、(1)原式—36=71^x6—36=46—36=百
[2)原式=)12义3+5=回+5=6+5=11;
(3)原式—=—后=4—5=—1;
⑷原式=6—3y/~5+2^5—5=1—Vs
3、设正方体的边长为x米,那么X3=1.331,X=1.1,1.了><6=7.26平方米。
5-1
4、猜测:£
第13章《实数》随堂小测〔B卷〕
(本试卷总分值100分)班级姓名分数
一、仔细选一选:(每题4分,共20分)
1、庖的平方根等于〔)
[A)9(B)±9(C)3(D)±3
2、以下说法正确是〔)
A不存在最小的实数B有理数是有限小数
C无限小数都是无理数D带根号的数都是无理数
3、以下计算正确的选项是〔)
A.\/16=±4B.3^2—2A/2=1C.24+娓=4D.J--J6=2
4、假设m是9的平方根,n=1百)2,那么m、n的关系是[)
(A〕m=n(B)m=—n(C)m=±n(D)ImI/InI
5、V528=1.738,Va=0.1738,那么a的值为()
(A)0.528(B)0.0528[C)0.00528[D)0.000528
二、细心填一填:(每题5分,共25分)
1、请你任意写出三个无理数:;
2、满足-JI<x<石的整数是.
3、化简144x6得
4、假设Jx+1+Jy—3=0,那么x=,y=.
5、观察以下式子,根据你得到的规律答复:、g=3;5111-22=33;511111-222=333;........请你
说出回诲m的值是.
丫如位n位
三、用心解一解:(共55分)
1>计算:(1)(6分)J45—胃A/20+5^^-:J1飞
(2)(7分)1-^!^+\/2—^/3+2—^/3
2、(10分)假设xy二一夜,x—y=5&一1,求(x+l)(y—1)的值。
3、(10分)2a—1的平方根是±3,3a+b—1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
4、(1〕计算(12分)疔=,而=,
=一U?=——J(-0.28)2=—,行=—o
(2)(6分)根据(1)中的计算结果可知,行一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自
己的语言描述出来。
(3)(4分〕利用上述规律计算:/3.14—幻2
随堂小测(B卷)答案:
一、DADCC
二、1、答案不唯一,如行狗兀等。2、-101.3、6n.
4、-1,3.5、33...3(共n个3)
三、1、⑴原式=3百一百+后一行=2不。
⑵原式=拒-1+〈-0+2-后=葭
2、(x+l)(y—l)=xy—x+y—1=xy—(x—y)—1
=-V2-(5A/2-1)-1=-V2-5V2+1-1=-6V2
3、由2a—l的平方根是±3得2a-l=9,故a=5;由3a+b—1的平方根是±4得3a+b—1=16,故3x5+b—
1=16,得b=2。所以a+2b=5+2x2=9,它的平方根是±3.
j_
4、〔1)3,0.7,6,2,o.28,0.
⑵不一定等于a.规律:当吟0时=a,当aWO时=a.
⑶由3.14—兀S0得J(3.14_%)2=_〔3.14—万)=%一3.14.
第13章《实数》实战演练
〔本试卷总分值100分)
班级姓名分数
考场秘诀:谁沉着、冷静、认真、细心,谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利!!祝你成功!!
一、仔细选一选:〔每题3分,共30分)
1.以下实数:——,0,—3.141592,2.95,土,生,出,0.020020002……中,无理数有()
32
个.
A.2B.3C.4D.5
2.4表示的意义是()
A.25的立方根B.25的平方根C.25的算术平方根D.5的算术平方根
3.以下语句正确的选项是()
A.一2是一4的平方根;B.2是(一2)2的算术平方根;
C.(一2尸的平方根是2;D.8的立方根是±2.
4.以下各数中,互为相反数的是()
A.-2与J(—2产;B.-2与C.一2与一,;D.|-2|与2.
5.算术平方根等于它本身的数是()
A.1和0B.0C.1D.±1和0
6.某位老师在讲“实数〃时,画了一个图[如图1),即“以数轴的单位线段为边做一个正方形,然后以O
为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A〃。那么OA的长就是拒个单位长度,想
一想:作这样的图可以说明什么?
A.数轴上的点和有理数一一对应/}
01V2-
B.数轴上的点和无理数——对应E
图1
C.数轴上的点和实数一一对应
D.不能说明什么
1・■a.
7.实数a、b、c在数轴上的位置如图2:那么化简,W+c|的结•bo«
果是()图2
A.a-b—c;B.a—b+c;C.—a+b+c;D.—a+b—c.
8.绝对值小于5的所有实数的积为()
A.24;B.576;C.0;D.10
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