实数单元复习与测试题三套(含答案)

《实数》复习与回忆

一、知识梳理

1.平方根

[1）算术平方根的定义：一个正数X的平方等于a,即,那么这个正数x就叫做a的.0

的算术平方根是o

[2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数x就叫做。的0

（3）平方根的性质：一个正数有个平方根，它们；0只有个平方根，它是；

负数平方根。

14）开平方：求一个数a的的运算，叫做开平方。

2.立方根

〔1）立方根的定义：如果一个数x的等于即,那么这个数x就叫做。的立方根。

〔2）立方根的性质：每个数a都只有个立方根。正数的立方根是；。的立方根是；

负数的立方根是。

13）开立方：求一个数a的的运算叫做开立方。

3.实数

U）无理数的定义：无限不循环小数叫做o

[2）实数的定义：和统称实数。

13）实数的分类：①按定义分：；②按性质分：

14）实数与数轴上的点的对应关系：与数轴上的点是对应的。

15）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义=

4.实数的运算：

11）实数的加、减、乘、除、乘方运算和一样，而且有理数的运算律对仍然适

用。

12）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数

商的算术平方根，用式子表示为；O

二、考点例析

考点1平方根、立方根的定义与性质

例111）以下各数是否有平方根？假设有，求出其平方根；假设没有，说明理由。

①625②[一2)2③[-1)3

12）以下各数是否有立方根？假设有，求出其立方根。

①工②一343③一22

27

分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然

后依据平方根的性质进行判断。〔2〕因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立

方根。

解：［1）①因为625>0,故其平方根有两个，即土辰'=±25；②因为（-2）2=4>0,故其平方根

有两个，即±'（—2）2=±2；③因为（一1）3=—i<o,故其不存在平方根。

12）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

@=—；②V-343=-7；

V273

③一22的立方根二4。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。

考点2实数的分类与性质

例2以下各数中：

,3.14159,-7t,J—V4,0,0.3,V8,V16

4V3

其中有理数有:

无理数有o

分析：对于我、病等应先化简再判断。

解：有理数：一工，3.14159,0,0.3,我，病

4

无理数有：V7,一兀,J^,一四

说明：此题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3亚-1的相反数是;-Vn的绝对值是;

分析：如果。表示一个正实数，那么一。就表示一个负实数，a与一a互为相反数；。的相反数依

然是0。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，。的绝对值是

0o非零实数a的倒数是工。

a

81—,所以一区81的倒数

解：血-1的相反数是i—VL-而的绝对值是VH；-J

127"11121

是-3

9

说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理

数范围内的意义是一样的。

考点3实数的运算

例411)计算：址).008义

⑵化简血—行(行+2)得(

1A)-2(B)V2-21C)2(D)472-2

分析：有理数的运算法那么、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，本例根据运算顺序直接计算

即可。

解：(1)原式=0.2x9—7^+(—!)=!><』一15x(—5)=工+75=75工；

455444

[2)78-72(72+2)=78-2-272=2V2-2-2V2=-2o应选[A)。

说明：在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得

注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶

次方。

考点4非负数

例5x,y为实数，且J』+3(y—2)2=0,那么x—y的值为().

(A)3(B)-3(C)11D)-1

分析：此题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数

主要有三种：实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：

假设干个非负数的和为0,这几个非负数均为零。利用这个性质可解此题，

解：由题意，得X—1=0,y—2=0,即x=l,y=2,所以x—y=—1。应选(D)。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5数形结合题

例6实数a、b在数轴上的位置如下图：试化简：Ia—b|—|a+b|

分析：要化简Ia—b||a+bI,需根据数轴上a、b的位置判断a—b和a+b的符号。

解：因为a>0,b<0,且IaI<Ib],所以a—b>0,a+b<0,

0

所以原式=[a—b）+[a+b）=a—b+a+b=2a

说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6探究题

例7阅读以下解题过程：

请答复以下问题：

11）、观察上面的解题过程，请直接写出式子:不一（""）

⑵、利用上面所提供的解法，请化简：~^+」」广+二厂++」广

V2+1V3+V2V4+V3V5+V4710+79

分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。

解：⑴—j=~/—=J〃+i-Go

-Jn+-Jn+1

（2）原式=后—1+逐—直+7Z—百+声—/+•••+•—西=痴—i。

说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。

三、易错点例析

1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透

理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平

方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“土〃成了平方

根等等。

例1（1）求6’的平方根[2）求庖的算术平方根

4

）的算术平方根是

错解：⑴旧=后=5[2M9

错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解〔2〕中风=9,风的算术平方根其

实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。

正确解法：〔1〕土R=±A=±g；（2）风的算术平方根是3。

例2求64与-27的立方根。

错解：64的立方根是±4,—27没有立方根。

错解分析：64的立方根是4,只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方

根相混淆；一27的立方根是一3,错误地认为一27没有立方根是与负数没有平方根相混

淆。

正确解法：因为43=64,所以64的立方根是4。因为［一3)3=—27,所以一27的立方根是一3。

2、忽略平方根成立的条件

只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。

例3当m取何值时，J—77?有意义?

错解：不管m取何值时，匚版都无意义。

错解分析：考虑不全，漏掉了m=0时的情况。

正确解法：当m=0时，-m2=0,此时飞-m2有意义。

3、实数分类时只看外表形式

对实数进行分类不能只看外表形式，应先化简，再根据结果去判断。

例4以下各数一2、上、3.14159、—耶、口、(-V7)\我中无理数有.

35

错解：无理数有上、—邪、£、〔一夜)2、我。

3

错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，一次=—3,(―J7)

2=7,我=2,所以它们是有理数。

正确解法：无理数有三、在。

3

4、运算错误

在进行实数的运算时要注意运算法那么与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。

例5化简［1［54a-49a(2)J(-9)x(-25)

错解：［1)5yfci—V9tz=5Vt?—=2；

(2)J(—9)x(—25)=J(—9)xJ(—25)=(-3)x［一5)=15

错解分析：(i)中合并同类二次根式时丢掉了&从而出错；［2)中忽略了公式=

的应用条件，即论0,b>0,因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。

正确解法：(1)54a-49a=5Vtz-3Va=24a；

［2)1(—9)x(-25)=J9x25=V9XV25=3x5=15。

四、考点链接

中考中对于实数一章的考查，其题型主要有选择题、填空题、解答题。近几年题型变化比拟大，创

设了一些新的情境，考查学生灵活运用所学知识的能力，这也是近几年考查的热点和趋势。下面是2007

年各省市关于实数的中考题的归类说明。

1、利用平方根、算术平方根、立方根的定义与性质解题

11）〔资阳市）如果某数的一个平方根是一6,那么这个数为.

12）〔安顺市〕标的平方根是.

（3）（南京市）上的算术平方根是（）

4

A.--B.-C.±-D.—

22216

［4）（遵义市）8的立方根是.

3____

⑸（永州市）4f0.001=。

⑹［南宁市）假设（x+l）2—1=0,那么x的值等于（）

A.±1B.±2C.0或2D.0或一2

分析：本组题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，其中16）小题与方程相结

合，可由（X+1）2—1=0得（X+1）2=1,又由［±1）2=1得x+l=±l,再进一步求出X即可。

解：［1）36；⑵±2；⑶选B；⑷2；⑸0.1；⑹选D

2、考查实数的有关概念及实数大小的比拟

-----------j

⑺（金华市）夜的相反数是.-右下

（8）（旅顺口）如图，在数轴上，A8两点之间表示整数的点有个.

19）〔江西省）在数轴上与表示旧的点的距离最近的整数点所表示的数是.

（10）（河北省）比拟大小：7病.〔填“>〃、"="或"<〃）

（11）（广州市）以下各数中，曩个的数是〔）

A.-2B.-1C.0D.0

（12）（中山市）在三个数。.5、g、-（中，最大的数是（）。

A、0.5B、-----C、|—ID、不能确定

3门|

分析：涉及数轴、相反数、绝对值、无理数等实数的有关概念及实数大小的比拟历来是中考考查的

根本内容。实数进行大小比拟的根本原那么是：数轴上右边的数总是大于左边的数。

解：(7〕一行；(8)4；［9)2；(10)<；(11)A；(12)B

3、考查非负数的性质及其应用

(13)〔成都市)后，+(6+5)2=0,那么a+b的值为.

分析：先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入代数式求解即可。

解：由题意，得a—2=0,b+5=0,即a=2,b=—5,所以a+Z?=2+(—5)=—3。故a+Z?的值为一3。

4、考查实数的化简与运算

〔14〕〔潍坊市)化简J而的结果是()

A.10B.2A/10C.4A/5D.20

［15)〔江西省)：J而是整数，那么满足条件的最小正整数”为()

A.2B.3C.4D.5

(16)［南京市)以下各数中，与2君的积为有理数的是()

A.2+A/3B.2--\/3C.-2+>J3D.-\/3

(17)〔荆门市)以下计算错误的选项是()

A.V14xV7=7A/2B.我+后=2百

C.J9。+J25a-SyfciD.-y/^2,=3

(18)(青岛市)计算：---广-----1—.

V3

(⑼〔黄冈市)计算：(V5+2)［若一2)=

120)〔临沂市)计算(局+3。-M｝的结果是［)

A.6B.4-73C.273+6D.12

(21)［嘉兴市)计算：,+(-1)3—2泻.

分析：中考中，有关实数运算的题目一般难度不大。要注意：化简时把能开得尽方的因数都开出来,

使结果成最简形式；运算时一定要注意运算顺序，另外，应用乘法公式可简化计算，如［19)

小题可使用平方差公式。

解：［14)B；C15)D；(16)D；(17)D［18)1；［19)1；［20)D；［21)原式=2拒一1—血=血—1

第13章《实数》随堂小测〔A卷〕

〔本试卷总分值100分)班级姓名分数

一、仔细选一选：(每题4分，共24分)

1.16的平方根是

A、4B、一4C、±4D、±2

2.立方根等于3的数是()

A、9B、±9C、27D、±27

3、有以下说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根;

④-屈是17的平方根。其中正确的有()

(A)0个[B)1个(C)2个〔D)3个

4、以下各式中，正确的选项是〔)

A.J(-2)2=—2B.—序=3C.昨？=-3D.±百=±3

5、估计J行的大小应在()

A.7-8之间B.8.0~8.5之间C.8.5~9.0之间D.9.0-9.5之间

6、以下计算中，正确的选项是〔)

A.2A/3+3V2=5V5B.(V3+V7)-=-410-y/10=10

C.[3+2V3)(3-2V3)=-3D.(V2tz+VK)(42a+4b)=2a+b

二、细心填一填：〔每题5分，共30分)

1、、后-2的相反数是；绝对值是。

122r-

2、以下各数：一、0.32、万、-—、垂)、0.01020304…中是无理数的有

27

3、比拟大小，填＞或＜号：V11911；3A/22V3.

4、利用计算器计算J3.142%V82-1结果保存4个有效数字)。

5、一个正数x的平方根是2a-3与5-a,那么a的值为.

6、绝对值小于J7的整数有.

三、用心解一解：(共46分)

1、求以下各式中未知数x的值〔每题4分，共8分)

3

(1)16X2-25=012)(x-1)=8

2、化简〔每题5分，共20分)

⑴748-3A/3⑵712X73+5

(3)心(2^12-^75)⑷(3+6(2—行)

3、18分)用铁皮制成一个封闭的正方体，它的体积是1.331立方米，需要多大面积的铁皮才能制成?

4、(10分)观察

卜1=舄=用=3后即FI=3而猜测：卜总等于什么，并通过计算

验证你的猜测。

随堂小测(A卷)答案：

一、CCBDCC

二、1、2一斯；75-22、万、石、0.01020304...3、<；>

4、1.773；4.3445、~26、一2、一1、0、1、2

三、1、(1)x=±—[2)x=3

2

2、(1)原式—36=71^x6—36=46—36=百

[2)原式=)12义3+5=回+5=6+5=11；

(3)原式—=—后=4—5=—1；

⑷原式=6—3y/~5+2^5—5=1—Vs

3、设正方体的边长为x米，那么X3=1.331,X=1.1,1.了><6=7.26平方米。

5-1

4、猜测:£

第13章《实数》随堂小测〔B卷〕

(本试卷总分值100分)班级姓名分数

一、仔细选一选：(每题4分，共20分)

1、庖的平方根等于〔)

[A)9(B)±9(C)3(D)±3

2、以下说法正确是〔)

A不存在最小的实数B有理数是有限小数

C无限小数都是无理数D带根号的数都是无理数

3、以下计算正确的选项是〔)

A.\/16=±4B.3^2—2A/2=1C.24+娓=4D.J--J6=2

4、假设m是9的平方根，n=1百)2,那么m、n的关系是[)

(A〕m=n(B)m=—n(C)m=±n(D)ImI/InI

5、V528=1.738,Va=0.1738,那么a的值为()

(A)0.528(B)0.0528[C)0.00528[D)0.000528

二、细心填一填：(每题5分，共25分)

1、请你任意写出三个无理数：；

2、满足-JI<x<石的整数是.

3、化简144x6得

4、假设Jx+1+Jy—3=0,那么x=,y=.

5、观察以下式子，根据你得到的规律答复：、g=3；5111-22=33；511111-222=333；........请你

说出回诲m的值是.

丫如位n位

三、用心解一解：(共55分)

1>计算：(1)(6分)J45—胃A/20+5^^-:J1飞

(2)(7分)1-^!^+\/2—^/3+2—^/3

2、(10分)假设xy二一夜,x—y=5&一1,求(x+l)(y—1)的值。

3、(10分)2a—1的平方根是±3,3a+b—1的平方根是±4,求a+2b的平方根.

4、(1〕计算(12分)疔=，而=,

=一U?=——J(-0.28)2=—，行=—o

(2)(6分)根据(1)中的计算结果可知，行一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自

己的语言描述出来。

(3)(4分〕利用上述规律计算：/3.14—幻2

随堂小测(B卷)答案：

一、DADCC

二、1、答案不唯一，如行狗兀等。2、-101.3、6n.

4、-1,3.5、33...3(共n个3)

三、1、⑴原式=3百一百+后一行=2不。

⑵原式=拒-1+〈-0+2-后=葭

2、(x+l)(y—l)=xy—x+y—1=xy—(x—y)—1

=-V2-(5A/2-1)-1=-V2-5V2+1-1=-6V2

3、由2a—l的平方根是±3得2a-l=9,故a=5；由3a+b—1的平方根是±4得3a+b—1=16,故3x5+b—

1=16,得b=2。所以a+2b=5+2x2=9,它的平方根是±3.

j_

4、〔1)3,0.7,6,2,o.28,0.

⑵不一定等于a.规律：当吟0时=a,当aWO时=­a.

⑶由3.14—兀S0得J(3.14_%)2=_〔3.14—万)=%一3.14.

第13章《实数》实战演练

〔本试卷总分值100分)

班级姓名分数

考场秘诀：谁沉着、冷静、认真、细心，谁就一定能够在考场上赢得最大的胜利！！祝你成功！！

一、仔细选一选：〔每题3分，共30分)

1.以下实数：——，0,—3.141592,2.95,土，生，出，0.020020002……中，无理数有()

32

个.

A.2B.3C.4D.5

2.4表示的意义是（）

A.25的立方根B.25的平方根C.25的算术平方根D.5的算术平方根

3.以下语句正确的选项是（）

A.一2是一4的平方根；B.2是（一2）2的算术平方根；

C.（一2尸的平方根是2;D.8的立方根是±2.

4.以下各数中，互为相反数的是（）

A.-2与J（—2产；B.-2与C.一2与一,；D.|-2|与2.

5.算术平方根等于它本身的数是（）

A.1和0B.0C.1D.±1和0

6.某位老师在讲“实数〃时，画了一个图［如图1）,即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O

为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴上于一点A〃。那么OA的长就是拒个单位长度，想

一想：作这样的图可以说明什么？

A.数轴上的点和有理数一一对应/}

01V2-

B.数轴上的点和无理数——对应E

图1

C.数轴上的点和实数一一对应

D.不能说明什么

1・■a.

7.实数a、b、c在数轴上的位置如图2:那么化简，W+c|的结•bo«

果是（）图2

A.a-b—c;B.a—b+c;C.—a+b+c;D.—a+b—c.

8.绝对值小于5的所有实数的积为（）

A.24;B.576;C.0;D.10