2023年山东省嘉祥一中数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2v+1

1.若函数/（X）=尸⅛∙（αeR）是奇函数，则使得了（x）＞4成立的X的取值范围是（）

B.(一log2∙∣,°)

A.-∞,Iog2-

c.[0,1°S2∣(Iog2(,+∞

2.已知集合A={x∣y=+χ+6，xeZ},B={y∣y=y∣5sin(x+Φ)},则AnB中元素的个数为()

A.3B.4

C.5D.6

3.正项等比数列｛an｝中，存在两项。,“,凡使得^^工=44，且％=G+2%，则f+/的最小值是（）

3725

A.-B.2C.-D.—

236

4.下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题。：期,eR使得*一l≤0,则都有1＞（）；

(2)已知XN(2,σj),则P(X>2)=0.5

（3）己知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为9=2X-3;

(4)“xNl"是"x+'≥2"的充分不必要条件.

X

A.1B.2C.3D.4

5.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根

据表中提供的数据，求出y关于X的线性回归方程9=0.7x+0.35,那么表中m的值为（）

Jr3456

________y________2.5m44.5

A.4B.3.15C.4.5D.3

6.曲线y=四"λ(α>0)作线性变换后得到的回归方程为U=l-0.6x,则函数y^x2+bx+a的单调递增区间为()

A.(0,+∞)B.(l,+∞)C,[g,+c0]D.舟+oc]

Iog1x,O<x≤1

7.若函数/(%)=2,函数g(x)=/(X)-AX有3个零点，则A的取值范围是()

一X(X-I)(X-3),x>l

A.(0,1)B.(θ,6-2√3)C.(O,6+2>5)D.(6-2√3,6+2√3)

8.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐

声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将

进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()

A.288种B.144种C.720种D.360种

'y≤2x

9.若变量X,y满足约束条件x+y≥l,则土土，的取值范围是()

x+1

1113

C.(-°θ,-—]uΓ~÷∞)D.(-∞,-]U[~,÷∞)

2222

10.定义在R上的偶函数/(x)的导函数为/'(X),若对任意的正实数%都有2∕(x)+xf,(x)<2恒成立,则使

//(引一—1)<%2—1成立的实数1的取值范围为()

A.(→o,-l)U(l,4w)B.(-ɪ,l)C.(-1,0)U(0,1)D.{X∣X≠±1}

11.设,则在下列区间中，使函数二二有零点的区间是()

A.[o,rB.μjjc.[-2,-；]D.∖-ijσ∖

12.设必尸是两个不重合的平面，偌，〃是两条不重合的直线，则以下结论错误的是()

A.若α，，机uα,贝β

B.若加|a,mβ,ar>β=n,则〃？n

C.若InUa,nua,m∖β,n，，则Cβ

D.若ma,m±∕3,则Crj_/?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，E是正方体ABC。—A4G2的棱GA上的一点，且BDJ/平面B∣CE,则异面直线BA与CE所成角

的余弦值为

14.已知函数/(幻=1083%+*-5的零点入0£(。，a+1)，则整数"的值为.

15.关于旋转体的体积，有如下的古尔丁(guldin)定理：“平面上一区域。绕区域外一直线(区域。的每个点在直线

的同侧，含直线上)旋转一周所得的旋转体的体积，等于。的面积与。的几何中心(也称为重心)所经过的路程的乘

%2+y2≤12

积利用这一定理，可求得半圆盘■一，绕直线X=丁旋转一周所形成的空间图形的体积为_____.

x≤03兀

16.在复数范围内解方程Iz『+(z+彳»=之(i为虚数单位)，Z=

2+z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知平面内点P(X,y)到点/(1,0)的距离和到直线.丫=2的距离之比为手，若动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(〃)过尸的直线/与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0)设。为坐标原点.证明：NOMA=NoMB.

18.(12分)已知Q>0,b>0,ceR∙

2523

(1)用分析法证明：-~~—≤-÷;

2a+3ba7b

(2)用反证法证明：。6+。+,与03+。2+2.不能同时为负数

42

19.(12分)已知函数/(x)=(αχ2+χ+i)∕-2«是自然对数的底数).

(1)当α=-l时，求函数在［-3,2］上的最大值和最小值;

(2)当。〉0时，讨论函数/W的单调性.

20.(12分)甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6,乙投篮的命中率为0.7,两人是否投中相互之间没有影

响，求：

(1)两人各投一次，只有一人命中的概率；

(2)每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率.

21.(12分)一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球.

(1)共有多少种不同的取法？

(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

22.(10分)甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”

结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得-1分；若两人都过关或都未

过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为必和〃，在一轮闯关中，甲的得分记为X.

<1)求X的分布列；

(2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结

束.月(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“甲的累积得分为i时，最终认为甲获胜”的概率，则《=0,弓=l,xPi^-yPi+zPk+l=0,

其中X=P(X=-1),y=P(X=0),Z=P(X=I),令加=0.5,"=0.6.证明：点M的中点

横坐标为:片；

(3)在第(2)问的条件下求巴，并尝试解释游戏规则的公平性.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

“X)的定义域为{x∣2'-αwθ},它应该关于原点对称，所以4=1,又α=l时，

/(X)=沁，"τ)=Π=—沼=一/3,/U)为奇函数•又原不等式可以化为(2=1)卜一斗<0,

Z—1Z—1Z—1∖ɔ/

所以1<2*<3,所以0<x<log,3,选C.

33

点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶

函数中的参数的值.

2、C

【解析】

利用定义域的的要求可以求出A集合，利用三角函数的性质求出B集合，再计算A与B的交集的元素个数即可.

【详解】

集合A满足一χ2+χ+6M,（x-3）（χ+2）≤0,-2≤x≤3,ΛA={-2,-1,0,1,2,3},B=[-√5,√51,所

以AnB={-2,-1,0,1,2},可知ArIB中元素个数为5.

【点睛】

本题考查集合间的交集关系的求解，本题难点在于无理数与有理数的比大小，属于简单题.

3、A

【解析】

试题分析：由4=%+2%得*=q4+2∕解得q=2,再由疯]=4q得0"T=I6=2”，所以加+〃=6,所

,141<14Y、1（1C3

以—I—=——I—∖（m+n）=—5H----1---->—-9=—.

mn6∖mnJ6（mnJ62

考点：数列与基本不等式.

【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出

等比数列的基本元4M，在求解过程中，先对具体的数值条件4=%+2%进行化简，可求出4=2,由此化简第一

个条件mZ=4q,可得到〃?+〃=6；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个

常数，构造基本不等式结构来求.

4、C

【解析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题XOeR使得片-1≤0,则「〃：VXeR都有

x2-l>0,是错误的;

(2)中，已知X~N(2,c∑2),正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为％=2,所以P(X>2)=0.5是正确的；

(3)中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为/=2x-3是正确；

(4)中，当x≥l时，可得x+L≥2∖x'=2成立，当x+^≥2时，只需满足x>0,所以"x≥l”是"x+，22”

X∖XXX

成立的充分不必要条件.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

5、D

【解析】

因为线性回归方程亍=0.7x+0∙35,过样本点的中心(元,刃,

3+4+5+6_2.5+Tii+4+4.5/77+11/77+11

---------------=4.5.V=----------------------=-----------------=0.7×4.5+0.35,m=3,故选D.

4

6、D

【解析】

分析：令Z=Iny,对函数y=α*进行二次拟合得出a,b的值，代入计算即可.

详解：令Z=Iny=Inaebx=∖na+bx

Intz=13

解得q=e,〃=_M,

b=-0.6

3(3Y9

ʌV=X2——x+e=X-----+e-----------，开口向上，

5IIOj100

•••/=》2-|*+6的单调递增区间为[^,+8].

故选D.

点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.

7、A

【解析】

画出/(x)的图像，g(x)=/(X)-质有3个零点等价于/(%)=丘有3个交点。

【详解】

g(x)=f(x)-近有3个零点等价于/(X)=依有3个交点

记〃(X)=-x(X-I)(X-3)则过原点作h(x)的切线，g(x)=/(x)-丘有3个零点等价于/(%)=履有3个交点

记〃(X)=-x(x-l)(x-3)则过原点作〃(X)的切线，设切点为(七,%)

则切线方程为：y-/7(%)=〃'(Xo)(X-X0)，又切线过原点，即力(Xo)=〃'(XO)Xo，

,

将∕Z(Λ0)=-%(%-l)(x0-3),Λ(x0)=-3xθ+8x0-3,代入解得%=2,

所以切线斜率/⑵=-+8%-3=1

所以0＜女＜1

【点睛】

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。

8、B

【解析】

根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居

秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案

【详解】

根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有

/=24种顺序

《将进酒》排在《望岳》的前面，

，这4首诗词的排法有H_=12种

2

②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,

有用=12种安排方法

则后六场的排法有12x12=144种

故选B

【点睛】

本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意

定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。

9、B

【解析】

分析：根据题意，将3化简成斜率的表达形式1+2匚；所以就是求可行域内与（-1/）连线斜率的取值范围加1,。

x+1x+l

+i+i

详解：Ξ1z=Ξy-=↑+y∑l,原式表示可行域内的点（x,y）与（-1/）连线的斜率加1。

X+1X+1x+1

1

-

斜率最大值为心p=—「2-

—1—1

所以斜率的取值范围为S

ɪ3

≡≡θ2,2

所以选B

点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。

10、A

【解析】

分析：构造新函数g（x）=f∕（χ）-χ2,利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解.

详解：设g(x)=χ2∕(χ)一χ2,则g，(X)=2jξf(χ)+χ2/(X)-2X=X(2/(X)+#'(X)—2),由已知当龙>O时，

g'(x)=x(2∕(x)+xf'(x)-2<O,.∙.g(x)在(O,+8)上是减函数，又∙.∙∕(x)是偶函数，.•*(/=炉/@)一》2也是

偶函数，g(0)=0,

不等式x2f(x)-/(1)<x2-l即为X2f(x)-X2</(1)-1,BPg(x)<不1),

:∙g(W)<g(i)，工H>1∙即％<-IWa>1.

故选A.

点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式.解题关键是构造新函数.新函数的结构可结合已知导

数的不等式和待解的不等式的形式构造.如g(x)=∙√(x),g(χ)=3,g(χ)=∕∕(χ),g(χ)=华等等.

Xe

11、D

【解析】

试题分析：函数f(X)在区间［a,b］上有零点，需要f(X)在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f(a)f

(b)≤0,把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.

考点：零点存在定理

12、C

【解析】

试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到;

C选项，wUa,"uα,mβ,nβ,缺少条件出和'-相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，m∖a,mLβ,

过，力作平面，α-=b,由线面平行的性质可得°,b_B，b-a>a_5.D正确.

考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

√15

13、

【解析】

不妨设正方体ABe。一ABCQl的棱长为2,BCBC1=O,如图，当E为G2中点时，BDJ/OE,:.BDJ/平面

B1CE,则NoEC为直线BDl与CE所成的角，在AOEe中,

EC=45,OC=√2,OE=√3,.∙.cosZOEC=3*∖=叵,故答案为叵.

2√3×√555

【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几

何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传

统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

14、3

【解析】

根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.

【详解】

由题意知：/(x)在(0,+力)上单调递增

・•・/(X)若存在零点，则存在唯一一个零点

χ∕∙(3)=l+3-5=-l<0,/(4)ɪIog34+4-5=Iog34-1>0

由零点存在定理可知：⅞∈(3,4),则a=3

本题正确结果：3

【点睛】

本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.

15、2π

【解析】

显然半圆的几何中心在半圆与X轴的交线上，设几何中心到原点的距离为X,根据古尔丁(guldin)定理求得球的体积，

根据球的体积公式列等式可解得X,再根据这一定理即可求得结果.

【详解】

显然半圆的几何中心在半圆与X轴的交线上，设几何中心到原点的距离为X,

则由题意得：2m•(」乃•『)=iπ,↑∖解得X=刍，

233π

2242

所以几何中心到直线X=——的距离为：-+—=

3万3π3ππ

2I

所以得到的几何体的体积为：V=(2π-)-(-Λ-∙12)=2π.

π2

故答案为：2%

【点睛】

本题考查了球的体积公式，考查了古尔丁(g"∕d加)定理，利用球的体积求出X是解题关键，属于中档题.

1fi1,√3.

•Lb、—±1.

22

【解析】

分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根

据复数相等的充要条件写出关于X的方程，解方程即可.

详解：原方程化简为∣zf+(z+可i=l-,

设z=x+yi(x、y∈R),

代入上述方程得x2+y2+2xi=l-i,

Λx2+y2=l且2x=-L

解得X=-；且丫=士弓，

.∙.原方程的解是Z=-

22

故答案为-工±立i.

22

点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可

寻，只要认真完成，则一定会得分.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Y

17、(Z)-+v2=l(〃)见解析

2

【解析】

(/)根据题目点P(X,y)到点尸(1,0)的距离和到直线％=2的距离之比为拳，列出相应的等式方程，化简可得轨迹

C的方程；

(〃)对直线/分轴、1与X轴重合以及1存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当1存在斜率且斜率不为

零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得&%+4MB=。，从而推出

NOMA=NoMB.

【详解】

解：(/)∙.∙P(x,y)到点R(LO)的距离和到直线X=2的距离之比为力.

2

.J(χ-1)2÷(y-θ)^V2

..---------------------------------

l%-2∣2

化简得：—+√=1.

2

χ2

故所求曲线C的方程为：—+/=1.

2-

(//)分三种情况讨论:

1、当/_Lx轴时，由椭圆对称性易知：NoMA=NoMB.

2、当1与X轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：NoMA-NOMB=O

3、设1为：y=⅛(χ-l),3=0,且A(APMXl-1)),B(W,左为一1)),

y=⅛(x-l)

由＜%22.化简得：(2左2+4SX+2左2一2=o,

一+v=l

[2

_4%22k2-2

=

%+X2——7，XX2--------ʒ

^2k2+11-2k2+1

设MA,MB,所在直线斜率分别为：kMA,kMB,则

MxlT)-OI⅛(x-1)-0卜2XX-3(Λ+X)÷4

^MA+ZMB21212

x∣—2x2-2x1x2-2(x1+x2)

C2k2-24氏2

2×■—ʌ-------3o×—ʌ------F4

一.”2好+12^+1

2k1-2C442

—ʒ-------2X—X—

2公+12公+1

4公—4—12/+8/+4

=k×-----------------------------

-6公一2

=0

此时，ZOMA=ZOMB.

综上所述：ZOMAZOMB.

【点睛】

本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.解决直线与圆锥曲线位置关系中常用

的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法.

18、(1)见解析(2)见解析

【解析】

分析：(1)利用分析法，原命题等价于证明6(α-b)2N0,则题中的结论成立.

Z2

r11

11ar]、2

(2)假设J+c+—与C3+c2+J.同时为负数，而c6+c∙3+c2+c+±=°3+J.+-+-

24>0,与假设矛盾,

424I2)I

则题中的结论成立.

2523

详解：(1)因为a>0,b>0要证：-~—≤-+-,

92。+3。ab

只需证：25ah≤(2〃+38)(3〃+2b),

只需证：25ab≤6a2+6b2+13ab，

即证：Ga2+6b2-12ab≥09即证：6(β-/?)2≥0,

2523

显然上式恒成立，故丁=77<±+;.

2a+3匕ah

113

(2)设不+c+—与。3+。2+一同时为负数，则06+d+c2+c+二<o(1),

424

3

所以+(?+/+C+]=(?+^+](+c+X+ɪɪfe+ɪ>l+(c+工+ɪ>O，

与(1)式矛盾，所以假设不成立，所以¢6+C+L与¢3+C?+(不能同时为负数.

42

点睛：本题主要考查分析法、反证法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和逻辑思维能力.

19、(1)/max(X)=e—2，∙∕rnin(X)=—e?-2(2)见解析

【解析】

分析：ɑ)当α=-1时，f(x)=(-x2+x+l)ex-2,∕,(x)=-(x-l)(x+2)ev,

令/'(X)=0,可得χ=l或％=-2,列表可求函数在［-3,2］上的最大值和最小值；

(2)由题意

f'(x)=(2ax+l)ex+(^ax2+x+l)e*=［/+(2α+l)x+2je'1=(ax+l)(x+2)er,

分类讨论可求函数/(%)的单调性.

详解：

(1)当α=-l时，/(x)=(-x2+x+l)e'-2,f,(x)^-(x-l)(x+2)e',

令/'(x)=0,可得χ=l或％=-2,

则有:

X-3(-3-2)-2(-2J)1(IQ2

.r(ʌ-)-0+0-

极小值极大值

ʃ(ɪ)TIeT_2减增减-e2-2

-5β^2-2e—2

22

因为一ll"3-2<e-2,-5e--2>-e-2f

所以ZnaX(X)=6-2,ZniiI(X)=-/一2・

(2)ff(x)=(2ax+l)ex+(加+%+1)«*=[加+(2α+l)χ+2]e"

=(dx+l)(x+2)ev,

当a=；时，∕,(x)=^(%+2)2βv≥0,函数在(-8.+8)上单调递增；

当O<α<g时，一：<—2,当xe(F,一：］或x∈(-2,+∞)时，∕,(x)>0,函数单调递增，当时,

/'(x)<0,函数单调递减；

当时，一(〉一2,当％e(—8，-2)或尤1,+s］时，/'(x)>0,函数单调递增，当Xe1-2,时，

/'(x)<0,函数单调递减；

综上所述，当0<α<,时,/(x)在(一2,欣)上单调递增，在(一，-2)上单调递减；当α=g时，f(x)

2

在(τz).+8)在上单调递增；当α>g时，〃力在(_8,一2),(-：,+"上单调递增，在1上单调递减.

点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.

20、(1)0.1.(2)0.2.

【解析】

(1)pɪ=0.6(1-0.7)+(1-0.6)0.7=0.1.

(2)P=[C,θ∙6(1-0.6)]∙[C；(0.7)2(1-0.7)°]=0.2.

2•2

21>(1)56；(2)35；(3)21

【解析】

分析：(1)从口袋里的8个球中任取5个球,利用组合数的计算公式，即可求解.

(2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成:第一步,从7个白球中任取4个白球,第二

步,把1个红球取出，即可得到答案.

(3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5个白球即可得到结果.

8×7×6

详解：(1)从口袋里的8