2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第6章 数列的概念

第六章数列

§6.1数列的概念

【考试要求】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）2了解数列是

自变量为正整数的一类特殊函数.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一•个数

如果数列的第n项与它的序号〃之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛为｝的把数列｛斯｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛四｝

前n项和的前n项和，记作S,”即S"=m+幻+…

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

递减数列其中HGN,

an+[<an

项与项间的

常数列a+\=cin

大小关系n

从第二项起，有些项大于它的前一项，

摆动数列

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛。“｝是从正整数集N飞或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到实数集R的函数，其自变量是座

号对应的函数值是数列的第〃项源,记为a”=/（〃）.

【常用结论】

1.已知数列｛a“｝的前〃项和S”，则斯=,I'"'

Sn—Sn-\>“22.

2.在数列｛a.｝中，若最大，则*a"（心2,〃GN>若期最小，则a""（"22,

即，。“+1L）Wa"+i

〃GN*）.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）数列的项与项数是同一个概念.（X）

（2）数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.（V）

（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（X）

（4）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（V）

【教材改编题】

1.（多选）已知数列｛斯｝的通项公式为弱=9+12”，则在下列各数中，是｛册｝的项的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由数列的通项公式得，m=21,及=33,02=153.

2.已知数列｛."｝的前〃项和为S“，且S.=〃2+〃，则42的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由题意，$2=22+2=6,S=l+1=2,所以°2=S2—$=6—2=4.

3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21,x,55,…中，x=.

答案34

解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心题型

题型一由。“与S,的关系求通项公式

例1（1）已知数列｛斯｝的前〃项和为£,ai=2,S“+i=2S"T,则aio等于（）

A.128B.256C.512D.i024

答案B

解析=.•.当〃》2时，S“=2S,一1一1,两式相减得a.+i=2a“.当”=1时，m

+a2=2m—1,又0=2,...a2=1..•.数列｛念｝从第二项开始为等比数列，公比为2.贝！Iaio=«2X28

=1X28=256.

(2)已知数列｛。“｝的前〃项和为S”且满足S“=2"+2—3,则斯=.

[5,n=l,

答案，

U""22

解析根据题意，数列｛为｝满足S“=2"+2—3,

当〃22时，有a”=S”-S—i=(2"+2—3)—(2"一|-3)=2"「，

5,〃=1,

当”=1时，有ai=Si=8—3=5,不符合故斯=,''

bn+i,心2.

思维升华S,与斯的关系问题的求解思路

(1)利用。“=&-*-1(">2)转化为只含5“，S一1的关系式，再求解.

(2)利用S”-Si=a"("22)转化为只含a“,a,』的关系式,再求解.

跟踪训练1(1)已知正项数列｛四｝中，、5+应+…+忘=迪罗，则数列｛〃“｝的通项公式

为()

A.B.。〃=〃2

——〃C—〃2

C.Cln——D.Cln—

22

答案B

解析〈痴+独2T---卜也产""",

2

\[a\+毋2H---FW〃-1="I；"(〃22),

两式相减得血产迎士口一迎山=〃(〃22),

22

，斯=“2(〃22),①

又当〃=1时，&=叱9=1,。1=1,适合①式，

2

；・a〃=〃2,〃£N*.

(2)设S〃是数列｛斯｝的前〃项和，且。]=-1,〃〃+】=£&+】，则S,尸.

答案」

n

解析因为a〃十i=S〃+i—Sn,a〃+】=S〃S〃+i,所以由两式联立得S〃+1-S”=S〃S〃十i.因为S〃#0,

所以《一一-=1,即」一一十=一1.又2=-1,所以数列七)是首项为一1,公差为一1的等差

S〃Sn+\Sn+1SnS\

数列.所以1*=—i+（〃一1）义（-1）=—〃，所以s〃=—

Snn

题型二由数列的递推关系求通项公式

命题点1累加法

例2设区表示不超过x的最大整数，如[—3.14]=—4,[3.14]=3.已知数列｛斯｝满足：内=1,

n±i..._LJ

a“+i=a〃+〃+l（〃£N*）,则3+ai+的++。2024等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由a〃+1=〃“+〃+1,得。〃一。“一1=〃(〃22).又〃1=1,

所以an—(an—a,,_i)+(an_\一。〃.2)+…+(。2—+=〃+(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=

旭/心2）,

当"=1时，ai=l满足上式,

则、一一

anW（H+1）

所以工•+,+…+二一

a\az。2023

=2x(H+M+…+就1式)

=2X

=2023

一1012)

L3+

所以0。2。3

命题点2累乘法

例3在数列｛“"｝中，0=1,为=则数列｛期｝的通项公式为

n

答案

n

解析a=~一~a-1(〃22),

nnn

._n—2_n—3_1

••Cln-1—%—2,2-Cln-3,a2=~ci\.

n-1n-22

以上（〃一1）个式子相乘得,

12n—\

a=a\---£1=1

n23nnn

当〃=1时，6/1=1,符合上式，：.a=-.

nn

思维升华(1)形如0?+1一〃〃=/(〃)的数列，利用累加法.

(2)形如如=A〃)的数列，利用斯=41・丝•班一・•a(〃22)即可求数列｛劣｝的通项公式.

ana\aian-\

跟踪训练2⑴在数列仞〃｝中，m=2,%+i=〃〃+lnhl+qJ,则斯等于()

A.2+In/2B.2+(n-l)lnn

C.2+n\nnD.1+及+ln〃

答案A

解析因为a〃+i—〃”=In生士』=ln(〃+l)—In〃，

n

所以cii-m=ln2—In1,

。3-Q2=ln3—In2,

々4—Q3=ln4—In3,

a〃一a〃_i=ln〃一ln(〃-1)(〃22),

把以上各式相加得af—ai=lnn—ln1,

则afl=2+\n〃(〃22),且m=2也满足此式，

因此a〃=2+ln〃(〃£N*).

(2)已知数列0,殁，…，①，…是首项为1,公比为2的等比数列，则log2a“=.

Cln-1

较案〃(〃一1)

口木2

解析由题意知，“1=1,a=lX2"r=2"r(〃22),

an-\

〃(〃一1)

所以a“=巫X%1*…X丝Xai=2"rX2"-2x…X1=2F-(”22),当”=1时，切=1适

1Cln—2

合此式，

所以［Og2°产/2

题型三数列的性质

命题点1数列的单调性

例4设数列｛a,,｝的前〃项和为S”，且W〃GN*,an+i>an,.请写出一个满足条件的数列

｛a”｝的通项公式a„—.

答案加一6,〃GN*(答案不唯一)

解析由V〃6N*,如+1>。“可知数列｛。”｝是递增数列，又S.2S6,故数列｛。,,｝从第7项开始为

正.而O6W0,因此不妨设数列是等差数列，公差为1,如=0,所以期="-6,"WN*（答案

不唯一）.

命题点2数列的周期性

例5若数列｛斯｝满足0=2,即+1=士\则02024的值为（）

\—an

A.2B.—3C.—D.-

23

答案D

L121

3-----

解析由题意知，41=2,02=267413

1-21+-

+■2

1+21

=音=一3,…，因此数列｛斯｝是周期为4的周期数列，所以故024=/。5><4+4=。4=：.

命题点3数列的最值

例6已知数列｛%｝的通项公式为劣=竟丁，其最大项和最小项的值分别为（）

11111

----C-----

A.7O,7，77D.n

答案A

解析因为"GN*,所以当1W〃W3时,一<0,且单调递减；当时，“产一1—>0,

2"-152”-15

且单调递减，所以最小项为。3=―'—最大项为“4='=1.

8-15716-15

思维升华（1）解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据a〃+i—劭的符号判断数列｛如｝是递增数列、递减数列还是常数列.

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

跟踪训练3（1）观察数列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…，则该数列的第11

项是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由数列得出规律，按照1,In2,sin3,…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，

由11+3=3余2,所以该数列的第11项为In11.

（2）已知数列仅“｝的通项引="一上，"CN*,则数列｛飙｝前20项中的最大项与最小项分别为

2n—21

答案3,-1

2n-192M—21+222

解析1+---,当时,----->0,且单调递减.；当1W〃W1O

2n—212n—212H-212n-2\

7

时，-^―<0,且单调递减.因此数列｛斯｝前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第

2n—21

10项.mi=3,。10=-1.

课时精练

门基础保分练

M—1

1.已知那么数列｛。“｝是（）

/?+1

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

答案B

解析期=1一一一，将为看作关于〃的函数，NGN*,易知数列｛d｝是递增数列.

n+1

2.已知数列｛如｝的前N项和S,满足SS=S“+i（〃GN，）,且0=2,那么的等于（）

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因为数列｛©｝的前〃项和S,满足S,Si=S“+i（〃eN*）,a\=2,

所以S.+i=2S“，即&旦=2,所以数列｛&｝是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S,

Sn

6

=2X2厂i=2〃.所以当时，a〃=S〃-5〃_1=2”—2〃-1=2"」所以a7=2=64.

3.已知数列｛斯｝满足0=1,即一加1=〃。〃斯+1（〃WN）则Q〃等于（）

答案D

解析由题意，得」....-=n,则当〃22时，----L=〃-1,-------=n—29---

1斯-1Cln-\。〃-242

_L=1,所以_L—_L=I+2+…+（〃-1）=口（〃22）,所以工=曰+1=日二心，即期

a\ana\2an22

（心2）,当〃=1时，m=l适合此式，所以斯=,।.

rr-n-r2rr—n+2

4.设数列｛斯｝满足：0=2,册+1=1―记数列｛斯｝的前〃项之积为巳，则尸2024等于（）

an

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析ai=2,斯+i=l-得a2=1，a3=-l,a4=2,a5=-,­­,所以数列｛如｝是周期为3

a„22

的周期数列.且P3=-l,2024=3X674+2,所以尸2024=(-1)674X06=1.

5.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国

传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第

41项为()

A.760B.800C.840D.924

答案C

12—132—1S2—1

解析由题意得，大衍数列的奇数项依次为易知大衍数列的第41

222

项为一—£=840.

2

6.(多选)已知数列｛四｝的通项公式为“,,=("+2)EL则下列说法正确的是()

A.数列｛4”｝的最小项是m

B.数列｛劭｝的最大项是“4

C.数列｛〃“｝的最大项是“5

D.当〃25时，数列｛右｝递减

答案BCD

解析假设第"项为｛四｝的最大项，则■即’向向所以

n+1

为用,|(w+2)l7j">(«+3)l7j,

又"GN",所以〃=4或〃=5,故数列｛&｝中。4与。5均为最大项，且。4=。5=",

当时，数列S"｝递减.

7.S,,为数歹!]｛a,,｝的前〃项和，且log2(S„+1)=〃+1,则数列｛斯｝的通项公式为.

解析由log2⑸+1)=〃+1,得£+1=2-1,当〃=1时，ai=Si=3；当〃22时，a„=Sn-

3Y\=1

S“_i=2",显然当〃=1时，不满足上式.所以数列｛如｝的通项公式为如=「''

弧心2.

8.若数列｛端的前〃项和£=/—10〃(〃GN*),则数列伍〃｝的通项公式a“=，数列｛〃斯｝

中数值最小的项是第项.

答案2n-113

解析'：S„=n2-10n,...当”22时，a“=S,—S.j=2”一11；

当*=1时，m=S=-9也适合上式..•.a“=2〃一ll(〃GN*).

记道〃)=〃。"=〃(2〃-此函数图象的对称轴为直线〃=，，但"GN*,

当〃=3时，/(〃)取最小值..•.数列｛〃斯｝中数值最小的项是第3项.

9.在①〃〃“+|一(〃+1)；②£=2〃2—1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,

并解答.

若数列｛”“｝的前n项和为S,„m=1,且数列｛飙｝满足.

⑴求。2，。3；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解⑴选择①：a2-2at=lX2,则。2=4.

2〃3—3a2=2X3,则。3=9.

选择②：az—Si—5i—2X22—1—1=6.

。3=$3-$2=2X3?—1—2X22+1=10.

(2)选择①：由〃°"+1一("+1)a”="(〃+1),

得斯+1_血一]

n+in

所以血=如一_^+_?±±一_^1+…+生一切=〃―1+]=〃，

nnn-1〃一1〃一22

所以a〃=〃2.

==2—2

选择②：当〃22时，anSn'~Sn-\2n—1—[2(nI)—l]=4w—2；

当〃=1时，m=Si=l,不符合上式，

故｛斯｝的通项公式为斯=・''

4〃一2,“22,.

10.(2023・长沙模拟)己知数列｛c“｝满足C[=4—皿_=上，〃WN*,S,为该数列的前R项

2c〃+1-1cn-\

和.

(1)求证：数列H为递增数列；

(2)求证：Sn<\.

证明(1)因为0=1,上巴一二一^一，

2C/j+l-1Cn~1

所以金Wl,c〃W0,

两边分别取倒数可得1一一

Cn+\Cnd

整理可得一!一一!二仁一1J〉。，

Cn+\

所以数列H为递增数列.

(2)由上±」=上可得皿二1±1=4二1±1,即—^=以+，

Cw+|-1Cn-1C〃+l—1C,J—1Cw+1—1Q—l

所以C,=—*1-------,

C〃+l-1Cn—\

所以S〃=C|+c2+…+c〃

]

卜2,

。〃+L1

又!》上=2,所以c,+ie

CnC\

所以——<-l,即S,〈L

Gl+1—1

q综合提升练

11.在数列｛a“｝中，m=l,a—(n,an),b—(an+fn+1)，且a_Lb,则aioo等于()

A.-B.--C.100D.-100

9999

答案D

解析因为a-(n,a„),b—(an+i,n+l),且alb,所以"a”+i+(〃+l)a“=0,所以如一生士」,

a„n

所以丝=-2,四=-3,…，驹=一期以上各式左右分别相乘，得驷=-100,因为0=1,

a\1。2249999a\

所以。100=-100.

12.(2022•全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗

环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛6“｝：

1]]

61=1+',岳=1+7,方3=1+1，…，依此类推，其中四GN*(左=1,2,…).则

a'aid-囚+1

值a2+-

CC3

()

A.bt<bsB.b3Vb8

C.b6Vb2D.b4Vb7

答案D

解析方法一当〃取奇数时,

1_______\______

由已知历=1H----，〃3=1+1

"内+二7

a2-i—

13

1______i____

因为1，所以加＞加，

内如+二J

«2I---

Q3

同理可得63＞。5,b：bi,…,于是可得从＞63＞65＞67＞3故A不正确;

1

当〃取偶数时，由已知历=1+------j-,

a\~\—

g

]

儿=1+1,

G1+1

。2+17

«3n----

04

1______!______

因为一＞1，所以62Vb4,

gaz+-J

a3H-

«4

同理可得64Vb6,66Vb8,…，于是可得岳V。4Vb6Vb8V…故C不正确;

11

因为----T，所以历＞历，

a】a\-\—

0.1

同理可得加＞力4,b：b6,bi＞bs,

火b»b7,所以。3＞68,故B不正确；故选D.

方法二（特殊值法）

不妨取隙=1（左=1,2,…），则"=1+；=2,

]।1,13

岳=1+1—H—=1H~~=一,

1+1加22

1

___1125

Z?3=l+1+-14=1H—岳=1H-31=3—,

\+-

1

所以ZM=1+；=1

0355

Z>5=1+—=1+-=—,

仇88

8_21

%=1H~=1+

bs13—13’

岳=”=1+»

*62121

,_।1121_55

仇=1H——1H——

bi3434

逐一判断选项可知选D.

13.已知数列｛斯｝中，前〃项和为s“且则©的最大值为________.

3an-\

答案3

解析，当〃22时，a〃=S〃-S〃_i="2"〃一”也许_i,可化为凡-=1」=1

333an-\n-1

+，一，由函数了=二一在区间(1,+8)上单调递减，可得当〃=2时,二一取得最大值2....巫

n—1x—1n—1an-\

的最大值为3.

14.已知田表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2,[―1.7]=-2.在数歹！!｛内｝中，a”=[lg〃],

024=024=.

记S„为数列｛an｝的前〃项和，则a2;S2

答案34965

解析•••%=*〃],

/.当1W〃W9时，a“=[lg〃]=0；

当10W〃W99时,a„=[lgn]=l；

当100WuW999时,