线性代数课件第一行列式课件

关于线性代数课件第一行列式第一章行列式•行列式的定义•行列式的性质•克莱姆（Cramer）法则主要内容：•行列式按行（列）展开第2页,共64页，2024年2月25日，星期天§1·1行列式定义用消元法解二元一次方程组：一、二阶和三阶行列式

分母为的系数交叉相乘相减：第3页,共64页，2024年2月25日，星期天定义二阶行列式：主对角线元素图示记忆法例第4页,共64页，2024年2月25日，星期天用消元法解三元线性方程组：可得的分母为(若不为零）：定义三阶行列式：＋－图示记忆法第5页,共64页，2024年2月25日，星期天例

解例

计算三阶行列式的例子：第6页,共64页，2024年2月25日，星期天对于数码is和it：逆序数：一个排列中逆序的个数，例

求132、436512的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列，n阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列与逆序数大前小后叫逆序(反序)记为：为奇数的称为奇排列。可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！第7页,共64页，2024年2月25日，星期天分析表1-1排列123132213231312321逆序无322121，3131，3232，31，21逆序数011223奇偶性偶偶偶奇奇奇•一个对换改变排列的奇偶性；•3!个排列中，奇、偶排列各占一半。第8页,共64页，2024年2月25日，星期天定理1

对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素i,j相邻：•若i<j,则新排列增加一个逆序;•若i>j,则新排列减少一个逆序。—改变了奇偶性（2）设元素i,j不相邻：共作了2s+1次相邻对换，由（1）知，排列改变了奇偶性。第9页,共64页，2024年2月25日，星期天定理2

n

个数码构成n!

个n级排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

个）。证设有p

个奇排列，q

个偶排列，p

个奇排列p

个偶排列q

个偶排列q个奇排列第10页,共64页，2024年2月25日，星期天（三）n阶行列式定义2阶：3阶：n阶：1阶：

第11页,共64页，2024年2月25日，星期天几种特殊行列式：例

解

由定义，只有左下三角形行列式第12页,共64页，2024年2月25日，星期天右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：特别：

对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)OO第13页,共64页，2024年2月25日，星期天例第14页,共64页，2024年2月25日，星期天的一般项还可记为一般形式列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）：第15页,共64页，2024年2月25日，星期天例下列元素之积是否为四阶行列式的项？否，因为第二行有两个元素；是，因为四个元素取自不同行不同列，例

解第16页,共64页，2024年2月25日，星期天§1.2行列式的性质复习：第17页,共64页，2024年2月25日，星期天定义：的转置行列式行变列，列变行例第18页,共64页，2024年2月25日，星期天证D的一般项：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的转置中位于不同的列不同的行．所以这n个元素的乘积在Ｄ的转置中应为性质1所以由此性质也知：行具有的性质．列也同样具有．第19页,共64页，2024年2月25日，星期天性质2交换行列式的两行（列）,行列式反号。证D的一般项：交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，即行标排列中，i和s作了对换，改变了排列的奇偶性，故反号。第20页,共64页，2024年2月25日，星期天推论：

n阶行列式某两行（列）对应元素全相等，则行列式等于零。证第21页,共64页，2024年2月25日，星期天性质3证记左边的行列式为D1,有注：

该性质对列也成立。

第22页,共64页，2024年2月25日，星期天推论：

n阶行列式某两行（列）对应元成比例，则行列式等于零。证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，由前面的推论知行列式为零。第23页,共64页，2024年2月25日，星期天性质4

注：

该性质对列也成立。

证左边行列式的一般项为：

可推广到

m

个数的情形。第24页,共64页，2024年2月25日，星期天性质5（保值变换）证成比例第25页,共64页，2024年2月25日，星期天例计算行列式思路：用保值变换化成三角形行列式第26页,共64页，2024年2月25日，星期天将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。解第27页,共64页，2024年2月25日，星期天为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式两个重要概念第28页,共64页，2024年2月25日，星期天例证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有

第29页,共64页，2024年2月25日，星期天用性质计算行列式=9第30页,共64页，2024年2月25日，星期天一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。第31页,共64页，2024年2月25日，星期天关于范德蒙行列式注意以下三点第32页,共64页，2024年2月25日，星期天1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？第33页,共64页，2024年2月25日，星期天例：第34页,共64页，2024年2月25日，星期天范德蒙行列式有几种变形?第35页,共64页，2024年2月25日，星期天行列式按行（列）展开主要内容：1.代数余子式2.展开定理§1.3第36页,共64页，2024年2月25日，星期天余子式n-1阶行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代数余子式（一）按某一行（列）展开第37页,共64页，2024年2月25日，星期天定理4

按行展开按列展开即：D

等于第

i

行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。第38页,共64页，2024年2月25日，星期天证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）第39页,共64页，2024年2月25日，星期天第40页,共64页，2024年2月25日，星期天(3)四阶行列式按第三行展开的结果＃n阶行列式按第i行展开：第41页,共64页，2024年2月25日，星期天例2计算行列式解按第三列展开其中：第42页,共64页，2024年2月25日，星期天所以第43页,共64页，2024年2月25日，星期天解2按第二行展开按第一列展开第44页,共64页，2024年2月25日，星期天例３讨论当Ｋ为何值时解第45页,共64页，2024年2月25日，星期天所以，当第46页,共64页，2024年2月25日，星期天例4求证第47页,共64页，2024年2月25日，星期天证按第1列展开第48页,共64页，2024年2月25日，星期天n-1阶第49页,共64页，2024年2月25日，星期天第50页,共64页，2024年2月25日，星期天第51页,共64页，2024年2月25日，星期天第52页,共64页，2024年2月25日，星期天即：第i行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理5

证0=i

行s

行第53页,共64页，2024年2月25日，星期天综合定理4，定理5对于行：对于列：第54页,共64页，2024年2月25日，星期天克莱姆（Cramer）法则§1.4第55页,共64页，2024年2月25日，星期天其解：记系数行列式第56页,共64页，2024年2月25日，星期天讨论

n个方程、n个未知量的线性方程组的解一、非齐次线性方程组系数行列式：第57页,共64页，2024年2月25日，星期天用常数项列替换D

的第

j

列，其余列不变。记6911第58页,共64页，2024年2月25日，星期天定理5（克莱姆法则）对于方程组（1），若有唯一解，且•第59页,共64页，2024年2月25日，星期天证明思路：1°

验证满足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用结果：证1°将

Dj

按第

j

列展开代入第1个方程的左端将4第60页,共64页，2024年2月25日，星期天左＝（证＝b1)()D按第1行展开＝0＝0满足第1个方程第61页,共64页，2024年2月25日，星期天类似验证第2，…，n个方程也满足。是方程组（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…