新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 数列的综合应用2

专题40数列的综合应用

知考纲要求

识

梳

方法技巧

理

题题型一：数学文化与数列的实际应用

型题型二：等差、等比数列的综合

归题型三：数列与其他知识的交汇

类

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.

2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.

【方法技巧】

1.数列应用问题常见模型

（1）等差模型：后一个量比前一个量增加（或减少）的是同一个固定值.

（2）等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑a“与斯

+1（或者相邻三项）之间的递推关系，或者S“与S”+1（或者相邻三项）之间的递推关系.

2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比

数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用m=1,分0

证明不等式成立.另外本题在探求｛%｝与｛c,｝的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.

3.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前N项和，

再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

二、【题型归类】

【题型一】数学文化与数列的实际应用

【典例1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心

石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后

一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形

石板(不含天心石)()

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

【典例2】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20

dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX

6dm两种规格的图形,它们的面积之和Si=240dm2,对折2次共可以得到5dm义12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和$2=180do?,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格

图形的种数为；如果对折〃次，那么错误"=dm，

【典例3】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、

立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，

最后三个节气日影长之和为尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为()

A.尺B.尺

C.尺D.尺

【题型二】等差、等比数列的综合

【典例1］设｛为｝是等差数列，且“i=ln2,a2+a3=51n2.

(1)求他”｝的通项公式；

(2)求em+ea2H-----Fea,,.

【典例2】设S”为数列｛斯｝的前〃项和,已知他=3,a„+i=2a„+l.

(1)证明：｛a,,+1｝为等比数列；

(2)求伍,｝的通项公式，并判断〃，a„,S.是否成等差数列？说明理由.

【典例3】已知等差数列｛。“｝和等比数列出“｝满足ai=2,初=4,贏=21og26“，”WN*.

(1)求数列｛“〃｝,｛儿｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝中不在数列｛儿｝中的项按从小到大的顺序构成数列｛以｝,记数列｛c“｝的前“项和为S”，求Sioo.

【题型三】数列与其他知识的交汇

【典例1］已知数列｛a.｝是公比不等于1的正项等比数列，且lgai+lg02021=0)若函数Hx)=

7，"2，则火。1)+/(。2)"1-----MS021)=()

1十X，

A.2020B.4040

C.2021D.4042

【典例2］已知S,是数列｛a〃｝的前〃项和>ai=11且V〃GN*>2S”=(〃+1>„'h„=

［Cln冗ICln冗］

■cos------十sin------1

貝22J-贝数歹I」｛九｝的前2020项之和72020=.

]

【典例3]设数列｛劣｝的通项公式为服=2〃一1，记数列的前〃项和为Tn，若对任意的

“dN*，不等式4T“Va2-q恒成立，则实数。的取值范围为.

三、【培优训练】

【训练一】已知数列｛斯｝满足。"+即=即+”(隕,〃WN*)且ai=l，若因表示不超过x的最大整

ir^2n+3^l

数，则数列1丁j的前10项和为()

.„113

A.12B.

5

C.24D.40

【训练二】(多选)已知在△Z8C中，4，囱分别是边胡，圆的中点，/2,&分别是线段NM，

B\B的中点，…，4，&分别是线段4一/，8一i8(〃eN*，”>1)的中点，设数列｛为｝，｛为｝满

足而区=斯昂+6,局(〃CN*)，给出下列四个结论，其中正确的是()

A.数列｛斯｝是递增数列，数列》“｝是递减数列

B.数列｛为+儿｝是等比数列

C.数歹!J浮｝("GN*，”>1)既有最小值,又有最大值

bn

D.若在厶/台。中，C=90。，CA=CB，则瓦褊最小时，斯+儿=g

【训练三】某地区2018年人口总数为45万.实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：

从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为

上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第“年的人口总数飙(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；

(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到

2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：|。心)

【训练四】己知在等差数列｛斯｝中，。2=5,。4+期=22,在数列｛b｝中，6尸3,瓦=2%_1+1(〃22).

(1)分别求数列｛&｝,｛儿｝的通项公式；

(2)定义x=[x]+(x),[幻是x的整数部分，(x)是x的小数部分，且0<(x)<l.记数列匕,｝满足0,=島力，求

数列｛c“｝的前〃项和.

【训练五】由整数构成的等差数列｛«,,｝满足。3=5,0敗=2矶

(1)求数列｛如｝的通项公式；

(2)若数列》“｝的通项公式为儿=2",将数列｛。“｝,｛小｝的所有项按照“当〃为奇数时，儿放在前面；当〃为

偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛c0｝,bl,m，6,岳，b3,G，。4,ba,…,

求数列｛以｝的前(4〃+3)项和T4n+3.

【训练六】已知等差数列｛飙｝的公差为2,前〃项和为S”且S，S2,S4成等比数列.

(1)求数列｛如｝的通项公式；

(2)令瓦=(—求数列｛儿｝的前n项和T,,.

四、【强化测试】

【单选题】

1.等比数列｛”“｝中，a5,田是函数/(x)=N—4x+3的两个零点，则⑪砂等于()

A.-3B.3C.-4D.4

2.已知等差数列｛小｝的前〃项和为S,”公差为一2,且“7是43与“9的等比中项，则So的值为()

A.-110B.-90C.90D.110

3.若等差数列｛©,｝的公差1W0且G，43,a7成等比数列，则丝等于()

a\

321

A.-B.-C.~D.2

232

4.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费

和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室

比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室

改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要()

A.3233万元B.4706万元

C.4709万元D.4808万元

5.某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年

获利增加20%,则从()年开始这家加工厂年获利超过60万元，已知坨2g0,lg3«=1()

A.2024年B.2025年

C.2026年D.2027年

6.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入''兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

即尸(1)=F(2)=1,F(〃)=尸(〃-1)+尸(〃-2)(〃》3,"GN*).此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应

用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列｛&｝,则数列｛斯｝的前2019项的和为()

A.672B.673

C.1346D.2019

7.已知等差数列｛斯｝的公差为一2,前〃项和为若及，四为某三角形的三边长，且该三角形有一个

内角为120。，则S,的最大值为()

A.5B.11

C.20D.25

8.定义：若数列｛%｝对任意的正整数〃,都有|。“+1|+同=的为常数）,则称|叫为“绝对和数列”，d叫做

“绝对公和".已知''绝对和数列”｛斯｝中，ai=2,绝对公和为3,则其前2019项的和S2019的最小值为

（）

A.-2019B.-3010

C.-3025D.-3027

【多选题】

9.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角

垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列｛&｝,则（）

A.44=12

B.〃"+1=4"+〃+1

C.<7IOO=5050

D.2a”+i1—

10.已知数列｛斯｝是公差不为0的等差数列，前〃项和为满足〃1+5俏=58,下列选项正确的有（）

A.aio—0B.Sio最小

C.Si=Si2D.&o=O

11.若数列｛。“｝满足：对任意的“6N*且〃23,总存在i,JGN*,使得%=出+次,壬/,Y”，尸〃），则称

数列｛斯｝是“7数列”.则下列数列是“7数歹『’的为（）

A.｛2〃｝B.｛n2｝

c.｛3”D.Il2JJ

12.一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的2再落下.设它第〃次着地时，

3

经过的总路程记为S”则当“22时，下面说法正确的是（）

A.5n<500B.S“W500

C.S“的最小值为等D.S.的最大值为400

【填空题】

13.若数列｛说满足」一一-=0，则称｛嚴｝为“梦想数列”.已知正项数歹取：｝为“梦想数列”，

斯+1Unbn

且61+62+63=1，则儿+6+儿=.

14.已知在数列｛%中，斯+产2斯一1"=2，设其前〃项和为S,，若对任意的〃£N*，⑸+1

一〃）42〃一3恒成立，则k的最小值为

15.若数列｛呢｝满足42—卜1<的一32V…<4〃一，则称数列｛。〃｝为“差半递增”数列.若

数列｛斯｝为“差半递增”数列，且其通项z与前〃项和S7满足S7=2z+2，-l（〃£N*）,则实

数/的取值范围是.

16.已知等差数列｛a.｝的首项m及公差d都是实数，且满足學+g+2=0,则d的取值范围是.

【解答题】

17.已知S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，且〃3=3,S7=14.

⑴求。〃和£；

(2)若bn=2%,求｛瓦｝的前n项和Tn.

18.已知如=a〃+a"2炉_|----\~abn