2023年湖北省高中学业水平合格性考试数学试题试卷及答案解析

2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试

数学

本试卷共6页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答

题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，

超出答题区域书写的答案无效.在试卷、草稿纸上答题无效.

4.考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交.

一、选择题(本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合A={1,2,3,4},B={l,2,3,a},且A=B,则。=()

A.1B.2C.3D.4

2.设z=l-i,则z?+i=()

A.1B.iC.-iD.-1

3.已知〃=(1,G),6=(2,o),则向量a在向量人上的投影向量是()

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)

4.设b,c,"都是不等于1的正数，函数"优，产==，在同一直角

坐标系中的图象如图所示，则〃，b,c,d的大小关系是()

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.c<d<a<bD.d<c<b<a

33K

5.已知sina=一—,且兀<a<一,则cosa=()

52

4334

A.一B.——C.一D.一

5445

6.设向量a=(x,2),6=(6,3).若dJI"X=()

A.4B.3C.2D.1

7.下列函数中，定义域和值域都是R的是()

A.y=x3B.y=2xC.y=lgxD.y=tanx

8.若x>y>0,则下列不等式正确的是（)

11

A.AlVylB.x2<y2C.-<-D.昼＜历

xy

9.设xeR,则“sinx=0''是"COSJC=1”的(）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

10.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区

计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图

所示）.如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带

的宽度可能为（）

10m

A.ImB.2mC.3mD.4m

11.有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量（单位：kJ）如下：

110120120120123123140146150162

164174190210235249280318428432

根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（）

A.165B.164C.163D.162

12.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升己

知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和12cm,高为10cm（厚度

不计），则该升的1平升约为（）（精确到0.1L,IL=1000cm'）

试卷第2页，共6页

A.l.OLB.1.8LC.2.4LD.3.6L

13.如图，在任意四边形ABC。中，E,尸分别是AD,BC的中点，且=，

则实数2=（）

22

14.某对夫妇打算生育三个孩子，假设生男孩、女孩是等可能的，且不考虑多胞胎情形，

则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（）

A.1B.-C.-D.-

2848

15.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了

如下测量方案：如图，设A,B分别为建筑物的最高点和底部.选择一条水平基线HG,

使得”，G,8三点在同一直线上，在G,4两点用测角仪测得A的仰角分别是a和4，

CD=a,测角仪器的高度是正由此可计算出建筑物的高度43,若a=75。,尸=45。,

则此建筑物的高度是（）

A

HGB

A.^^La+hB.2^11〃+/?C.Jl±La_hD.

2424

二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.）

16.随着我国高水平对外开放持续提速，2022年货物进出口再创新高，首次突破42万

亿元.根据下图判断，下列说法正确的是（）

万亿元*2018-2022年货物进出口总额

45

口货物进口额口货物出口额

40

35

18.10

30

25

14.09

20

15

23.97

10

16.41

5

0

2019202020212022年份

A.从2018年开始，货物进口额逐年增大

B.从2018年开始，货物进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，2020年的货物进出口总额增长率最小

D.从2018年开始，2021年的货物进出口总额增长率最大

17.十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数/*）满足/（x）-/（-x）=l,

则称/（x）为“倒函数下列函数为“倒函数''的是（）

A./(x)=lB./(x)=x2C.f(x)=exD./(x)=lnx

18.“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱

容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径.记球的表面积为先,体积为匕/；圆柱

的表面积为S圆性，体积为％柱，则（）

A.与柱：S碑=3:2B.4桂：丫球=3：2C.%柱：％柱=3:2D.:=3:2

三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.）

19.已知两个单位向量d与6的夹角是60。，则“1=.

20.已知加，〃是两条不同直线，a,4是两个不同平面.给出下列四个论断：

①加②a，；（§）m±a；.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确命题：若,

则.（注：用序号作答）

21.沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如

试卷第4页，共6页

图，AB是以。为圆心(M为半径的圆弧，C是AB的中点，。在AB上，且.记

AB的弧长的近似值为s，“会圆术''给出了的一种计算公式：s=AB+C±.若04=1,

OA

408=90。，则根据该公式计算s=.

22.为响应“强身健体，智慧学习”倡议，复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动.已

知高三(2)班有50名学生，其中男生28人，女生22人，按男生、女生进行分层，用

分层随机抽样的方法，从高三(2)班全体学生中抽取一个容量为25的样本.如果各层

中按照比例分配样本，则

(1)女生应抽取的人数为人；

(2)已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8kg和46.4kg.估计高三(2)班全体

学生的平均体重为kg(精确到0.1kg).

四、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.)

23.某同学用“五点法”画函数/(x)=Asin(s+0,|。［＜］］在某一个周期内

(1)将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数y=/(x)的解析式;

(2)将函数y=/(x)图象上所有点向左平行移动B7T个单位长度，得到函数y=g(x)的图象,

O

求使g(x)W0成立的X的取值集合.

24.如图，长方体A8CO-AAG。中，A8=16,BC=10，M=8,点E,F分别在A4,

上，且AE=2F=4.

(1)求AF的长；

(2)过点E,F的平面与长方体的面相交，交线围成一个正方形EFG”.在答题卡对应的

图中，作出点G,H,并说明作法及理由.

25.已知函数/(x)=pa*+qaT(a>O,awl,且p,qeR).

(1)当IpHql时，讨论函数,⑶的奇偶性;

(2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：/*)为增函数.

①a>l,p>0,”0；

②0<a<l,p<0,4>0.

注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】根据集合相等直接得解.

【详解】因为A={1,2,3,4},B={l,2,3,a},且A=B，

所以a=4.

故选：D

2.C

【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】因为Z=l—i,所以z2+i=(l-i)2+i=12_2i+i2+i=_i.

故选：C

3.D

【分析】首先求出2小，W，再根据投影向量的定义计算可得.

【详解】因为"(1,扬，匕=(2,0),

所以a?b2,问=2,

所以向量。在向量6上的投影向量是号xjf=g(2，0)=(l，°).

故选：D

4.B

【分析】先根据指数函数的单调性，确定“，h,c,d与1的关系，再由x=l时，函数值

的大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数大于0且小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以c,4大于1,a,大于0且小于1,

由图知：c'>d',即c>d,b'<a',即

所以bva<l<4<c.

故选：B

5.A

【分析】应用平方关系求余弦值，注意角的范围确定值的符号.

【详解】由题设cosc=-Jl-sin2-=-：.

答案第1页，共10页

故选：A

6.A

【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】因为向量”=(x，2),5=(6,3)且4/区,

所以3x=2x6,解得x=4.

故选:A

7.A

【分析】根据幕指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可.

【详解】幕函数y=V的定义域和值域都是R,A符合；

指数函数y=2"的值域为(0,”)，B不符合；

对数函数y=lgx的定义域为(0,+oo),C不符合；

正切函数丫=1细》的定义域为{x|x#E+5},keZ,D不符合；

故选：A

8.C

【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可.

【详解】由x>y>0,则IxAlyl,x2>y2,A、B错，C对，

xy

由岁2而，且x>y>0,故等号取不到，则亨》再，D错.

故选：C

9.B

【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解.

【详解】由sinx=0,则sin2x=l-cos2x=0ncosx=±l,故充分性不成立，

由cosx=l,贝Ucos2x=l-sin2x=l=>sinx=0,故必要性成立，

故"sinr=0”是"cos=l”的必要不充分条件，

故选：B

10.B

【分析】设花卉带的宽度为xm,由题设有(10二；：)(,一20«J且;2》：°求x范围,即

10x636-2x>0

可得答案.

答案第2页，共10页

【详解】设花卉带的宽度为xm,则二?*二2冷呈,

10x63

所以(5-x)(3-x)V5,Bp(X-4)2<6,可得4一卡4X44+N,

[10-2x>0厂l

又「c八=x<3,故4一遍4x<3，而1<4-#<2，则x可能取值为2.

[6-2x>0

故选：B

11.C

【分析】由百分位数的求法求第50百分位数.

【详解】由已知数据知：20x50%=10,则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是

162+164公

--------=163.

2

故选：C

12.B

【分析】应用棱台的体积公式求1平升，即可得答案.

【详解】由题设，上底面积为5=225cm2,下底面积为§2=144cm?,

所以1平升为1X10X(225+J225X144+144)=1830cm',约为1.8L.

3

故选：B

13.B

【分析】先将48-CD,石尸分别用AZZOCC8表示，再结合题意即可得解.

【详解】AB-CD=AD+DC+CB-CD=AD+2DC+CB，

一一一一1一一1一

EF=ED+DC+CF=—AD+DC+—CB,

22

所以48—CO=2£；尸，

又因为A8—CO=/IEF，

所以4=2.

故选：B.

14.C

【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可.

【详解】三个孩子性别依次如下表：

1孩2孩3孩

答案第3页，共10页

男男男

男男女

男女男

女男男

男女女

女男女

女女男

女女女

所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种，而一共有8种情况,

3

则这三个孩子中男、女孩均有的概率是

4

故选：C

15.A

【分析】在-AC。中，利用正弦定理求出AC,再解RtACE求出AE,即可得解.

【详解】在▲AC。中，CD=a,ZADC=45°,ZCAD=75°-45°=30°,

ACCD

由正弦定理得

sinZADCsinZCAD

qx——

所以AC=-^-二后,

2

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°=";拒

在RtACE中，AE=ACsin/ACE=母巫=避止a,

42

2

即此建筑物的高度是丑丑。+6

2

故选：A.

16.BCD

【分析】根据统计图一一分析即可.

答案第4页，共10页

【详解】由图可知2020年的货物进口额小于2019年的货物进口额，故A错误;

2018年货物进出口总额为14.09+16.41=30.5,

2019年货物进出口总额为14.33+17.24=31.57,

2020年货物进出口总额为14.29+17.93=32.22,

2021年货物进出口总额为17.36+21.69=39.05,

2022年货物进出口总额为18.1+23.97=42.07,

所以从2018年开始，货物进出口总额逐年增大，故B正确；

其中2019年的货物进出口总额增长率为^“0.035,

30.5

2020年的货物进出口总额增长率为3言奇$7x0.021,

3905-3222

2021年的货物进出口总额增长率为'%刊-0.212,

32.22

2022年的货物进出口总额增长率为4丝2与07-3学905x0.077,

所以从2018年开始，2020年的货物进出口总额增长率最小，故C正确；

从2018年开始，2021年的货物进出口总额增长率最大，故D正确；

故选：BCD

17.AC

【分析】根据所给定义一一计算可得.

【详解】对于A：f(x)=l,则洋-x)=l,所以/(x)“-A=l,故A正确；

对于B：f(x)=x2,则/(2)・/(-2)=16,故B错误；

对于C：/(x)=e\则/(一X)=0，所以f(x)・((—x)=eJer=e°=l,故C正确；

对于D：/⑴印口定义域为0+⑹，则当xe(O,y)时一xe(一,0),此时”-x)无意义，

故D错误；

故选：AC

18.AB

【分析】设球的半径为R，根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积,

再逐一判断即可.

【详解】设球的半径为R,则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,

2223

则S珠=4成2，/=g,S1al柱=2nR+2nR-2R—6nR,%柱-nR-2R=27iT?,

答案第5页，共10页

所以Simt：S球=6兀炉：4兀齐=3:2，故A正确；

/桂:/=2加:不/?3=3:2,故B正确;

S圆柱：/柱=6nR~:2nF^=3:7?,故C错误；

S球：4=4兀代：1兀R'=3:R,故D错误•

故选：AB.

19.-##0.5

2

【分析】根据数量积的定义计算可得.

【详解】因为两个单位向量〃与万的夹角是60。，

所以4•匕=|cz|•|/?|cos60°=1x1xg=g.

故答案为：y

20.①③④（答案不唯一）②（答案不唯一）

【分析】由〃?J_〃，〃?_La得n//a或“ua,分类讨论并结合〃_L£及平面的基本性质、面

面垂直的判定有a，尸，可得一个正确命题.

【详解】由m_L”,mla,则〃//a或"ua,

当”ua,〃_L尸，则a_L#；

当“〃cz,过〃作平面交a于/,则〃/〃，而

所以/，/?,而/ua,则

综上，m±n,m_La,nA.（3,则c_L尸.

故答案为：①③④，②（答案不唯一）

3

21.-##1.5

2

【分析】连接0C,分别求出AB,OC,C£»,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】如图，连接0C,

答案第6页，共10页

因为C是AB的中点，

所以OC_LA8,

又CD_LM,所以0,C,。三点共线，

即00=04=03=1,

又ZAO3=90°,

所以=JOV+CB?=0，

则0c=")A2-AC?=①,故CD=0D-0C=2-6，

3

故答案为：-

22.1154.5

【分析】(1)应用分层抽样等比例性质求女生应抽取的人数；

(2)应用平均数的求法求样本均值，即估计高三(2)班全体学生的平均体重.

【详解】(1)由分层抽样等比例性质知：女生应抽取的人数为25x3=ll人；

(2)由(1)知：样本中男生人数为14人，故样本均值为")8"46上匚54.5kg.

故答案为：11,54.5

23.⑴数据补充见解析，f(x)=2sin(x+F)；

O

(2){x|2依-弓<2攵兀+笄},%£Z.

【分析】(1)根据已知数据求参数可得f(x)=2sin(x+7Tm),进而补充表格数据；

(2)由图象平移得g(x)=2sin(x+§,结合正弦型函数性质解不等式求解集即可.

答案第7页，共10页

【详解】（1）由表格知：A=2且4="-4=兀，即7=2兀，故=

233T

I7t7C2兀兀1-.Ij...3./兀\

由<+9=7+。=丁=。=:，则/（x）=2sin（x+：）,

2236o

所以，表格补充如下：

兀3兀

GX+夕0兀2兀

2T

兀2717兀5兀1371

XT~6T百

Asin(的十0)020-20

(2)由题设g(x)=/(%+—)=2sin(x-i--)>0,即+工W2E+兀,ZcZ,

633

所以2碗-14x42E+夸，女eZ,即{x12®<x<2kn+^-},keZ.

24.(1)6>/5

（2）答案见解析

【分析】（1）利用勾股定理计算即可；

（2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形.

【详解】（1）连接4R,

因为平面4DRA，AAu平面A。AA，所以CQLAQ,

2

贝ijADt=y）A