中考数学知识点与经典题型练习 全等三角形中的一线三垂直模型(解析版)

专题03全等三角形中的一线三垂直模型

【模型展示】

特点【已知】如图,

【证明】由ZBAD+ZABD=90o,ZCBE+ZABD=90o=ZCBE=NBAD,

4BAD=ZCBE

同理NABD=NBCE,在ZVtBO和ABCE中,,AB=BC

ZABD=ZBCE

^ABD=^BCE.

结论AABD=ΔJBCE,DE=AD+CE.

【模型证明】

【结论一】

解决方

案在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,

BE_LMN于E,则有以下结论成立：

Φ∆ADC^∆CEB:②DE=AD+BE

【证明】：

①证明：∖'ADLDE,BELDE,

：.ZADC=ZBEC=90o,

"：NACB=90。，

ΛZACD+ZBCE=90o,ZDAC+ZACD=90o,

.∙.NDAC=NBCE,

'NCDA=/BEC

⅛ΔADcCEB中,ZDAC=ZECB

AC=BC

：.XADgXCEB（AAS）.

②证明：由（1）知：ZADgXCEB,

：.AD=CE,CD=BE,

∖"DC+CE=DE,

.'.DE=AD+BE.

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE=AD-BE

【题型演练】

一、单选题

1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱

子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚

度α=8cm,则OE的长为()

A

DCE

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】C

【详解】由等腰直角三角形的性质可得NAC3=90。，AC=CB,因此可以考虑证明AACO

和ACBE全等，可以证明拉E的长为7块砖的厚度的和.

【分析】解：由题意得NAoC=NCE8=/AC3=90。，AC=CB,

：.乙ACO=90。-/BCE=ZCBE,

在△4。。和4CBEφ,

NADC=NCEB

NACD=ZCBE,

AC=CB

：.ΛACD^ACBE(AAS),

：・CD=BE=3a,AD=CE=4a,

：.DE=CD+CE=3α+44=7〃，

∙.∙α=8cm,

7。=56cm,

JDE=56Cm,

故选C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角

形的性质与判定条件.

2.如图，点尸，。分别是/ABC边A4,BC上的点，月.8D=4,ZABC=60°.连结PO,

以Po为边，在尸。的右侧作等边AOPE,连结BE,则ABOE的面积为（）

【答案】A

【分析】要求^。£的面积，想到过点E作EF_LBC,垂足为F,因为题目已知ZABC=60°,

想到把ZABC放在直角三角形中，所以过点。作_LBA,垂足为G,利用勾股定理求出。G

的长，最后证明AGPD三ΔFDE即可解答.

【详解】解：过点E作所_LBC,垂足为尸,过点。作DGL8A,垂足为G,

.-.ZBDG=30°,

.-.BG=-BD=I,

2

:.GD=>JBD2-BG2=2√3，

ΔW)E是等边三角形，

.∙.ZPDE=60°,PD=DE,

:.NPDB+ZEDF=I800-NPDE=120°,

ZABC=60。，

.∙.ZPDB+ZBPD=180o-ZABC=120°,

.-.ZBPD=ZEDF,

ZPGD=ZDFE=90°,

ΔGPD≡ΔFDE(A4S),

:.GD=EF=2^3，

.∙.∆βz宏的面积，

=ɪ×4×26,

2

=4G,

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线.

3.如图，AC=CEfNACE=90。，ABLBDfEDLBD,AB=6cmfDE=2cm,则5。等于

()

【答案】B

【分析】根据题意证明"3C∕aCDE即可得出结论.

【详解】解：VABlBDfEDlBDf

o

/.ZABC=ZCDE=90f

o

YZACE=90f

o

：.ZACB+ZDCE=90f

o

∙/ZACB+ZBAC=90t

・・・ZBAC=ZDCEf

在4ABC和aCDE中，

NABC=NCDE=90。

NBAC=ZDCE

AC=CE

；.ABC^CDE(AAS),

.β.AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

：.βZ)=βC+CD=2+6=8cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定

理是解本题的关键.

二、填空题

4.如图，已知ABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AQLOE于点。，BE上DE于点E,

且点C在。E上，若AO=5,BE=S,则力E的长为.

【答案】13

【分析】先根据ADj_DE,BELDE,/AOC=/CEB=90。，则NDAC+/。CA=90。，ΔABC

是等腰直角三角形，NACB=90。,可得AC=C8,推出NoAC=/EC8,即可证明4DACSECB

得至IJCE=AD=5,CD=BE=S,由此求解即可.

【详解】解：'：AD1.DE,BELDE,

24QC=NCE8=90°,

.∖ZDAC+ZDCA=90o,

•.,△ABC是等腰直角三角形，NACB=90。,

ΛZDCΛ+ZBCE=90o,AC=CB

∖NDAC=NECB,

：ADAC妾∕∖ECB(AAS),

J.CE=AD=5,CD=BE=8,

.,.DE=CD+CE=13,

故答案为：13.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练

掌握全等三角形的性质与判定条件.

5.如图所示，ASC中，AB=AC,ZBAC^=90o.直线/经过点A,过点B作8EL/于点E,

过点C作C/，/于点凡若BE=2,CF=5,贝IJEE=.

【答案】7

【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案:

【详解】解：:BE，/,CFJJ,

：.ZAEB=ZCM=90o.

.∖ZEAB+ZEBA=9Q0.

又∙.∙∕B4C=90°,

.∙.Z£AB+ZCAF=90°.

：.ΛEBA=ΛCAF.

在4AEB⅛ΔCFA中

VZAEB=ZCFA,AEBA=ΛCAF,AB=AC,

Λ∆Λfβ^∆CM.

：.AE=CF,BE=AF.

.,.AE+AF=BE+CF.

：.EF=BE+CF.

-：BE=2,CF=5,

EF=2+5=】；

故答案为：7.

【点睛】本题考查J'全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的

知识，正确的证明三角形全等.

三、解答题

6.已知：如图，AB±BD,EDLBD,C是80上的一点，AC_LCE',AB=CD,求证：BC=

DE.

【答案】见解析

【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【详解】证明：'：ABLBD,ED±BD,ACLLCE（已知）

.∙.∕ACE=N8=/0=90。（垂直的意义）

VZBCA+ZDCE+ZzlCE=180°（平角的意义）

/ACE=90°（已证）

.*.N8C4+NOCE=90。（等式性质）

∙.∙∕8CA+NA+∕8=18（Γ（三角形内角和等于180°）

/8=90°（已证）

ΛZBCA+ZA=90°（等式性质）

：.ZDCE=ZA(同角的余角相等)

在^ABC⅛ΔCDE中，

ZA=NDCE

•AB=CD,

ZB=ZD

Λ∆ΛBC^∆CDE(ASA)

.∖BC=DE(全等三角形对应边相等)

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关

键.

7.在AABC中，乙4CB=90。，AC=BC,直线MN经过点C,且4DJ_MN于C,BELMN于

E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

②DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段OE的长.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；

⑵r>E=3

【分析】(1)①由已知可知，ADLMN,BELMN,得到NADC=/CEB=90。，再根据三角

形内角和与平角性质，得到NC4D=NBCE,即可证明ZXADC冬ZXCEB(AAS)；②根据

ΛADC^ΛCEB,得到AD=CE,DC=BE,即可证明OE=4f>+8E.

(2)由已知可知，AZ)_LMMBELMN,得到NAf)C=NCEB=90°,再根据

^CAD+ZACD=90o.NAa)+NBCE=90°,得到NC4D=∕BCE,可证明AWg△(?£»,

得到CE=AO,CD=BE,即可求出。E长.

(1)

①证明：'：ADVMN,BELMN,ZAC8=90°

/.ZADC=ZCEB=ZACB=90°,

,.∙ZG4£>+ZADC+ZACD=180°,

ZACD+ZACB+ZBCε=180o,

.,./CAD=/BCE,

在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ΛADC=/CEB,

AC=BC

：.∕∖ADC^ΛCEB(AAS);

②证明：∖∙ΛADC^Δ,CEB,

ΛAD=CE9DC=BE,

：.DE=CE+DC=AD+BE；

(2)

证明：VAD±MMBEtMN,

：.ZADC=/CEB=90°,

：.NaLD+NACD=90。，

'.'ZAcB=90。，

：•ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCEf

在AADC和ACEB中，

ZCAD=ZBCE

<ZADC=ZCEBT

AC=BC

△ADCqACEB(AAS),

ΛCE=AD=5fCD=BE=2,

：.DE=CE-CD=5—2=3.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解

题关键.

8.(1)课本习题回放："如图①，ZACB=90。，AC=BC9ADlCE9BELCEi垂足分

别为。，E,A£>=2.5cm,DE=1.7cm.求的长、请直接写出此题答案：BE的长为

(2)探索证明：如图②，点、B,。在NM4N的边AA/、AN上，AB=ACf点E,F在ZMAN

内部的射线Ao上，且NBED=NCFD=ZBAC.求证：ΔABE^ΔC4F.

(3)拓展应用：如图③，在AABC中，AB=ACfAB>8C.点。在边8C上，CD=2BD,

点、E、尸在线段A。上，N8£。=NCFz>=N84C.若ΔA8C的面积为15,则AAb与ASDE

的面积之和为.(直接填写结果，不需要写解答过程)

【答案】⑴0&5；(2)见解析(3)5

【分析】(1)利用A4S定理证明△CEB丝ZXAQC,根据全等三角形的性质解答即可；

(2)由条件可得∕8E4=NAFC,N4=NABE,根据AAS可证明△A8E丝Z∖C4F;

(3)先证明AABE也4C4F,得到AAb与Δβ∕)E的面积之和为△A3。的面积，再根据

Cr)=28D故可求解.

【详解】解：(1),JBELCE,ADLCE,

：.ZE^ZADC=90o,

：.ZEBC-∖-ΛBCE=90o.

'：ZBCE+ZACD=Wo,

∖NEBC=NDCA.

NE=ZADC

在小CEBΔADC中，，NEBC=ZDCA

BC=AC

：.∆CEB^∆ADCCAAS),

：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

•：DC=CE-DE,DE=IIcm,

ΛDC=2.5-1.7=0.8cw,

ΛBE=O.8CTO

故答案为：0.8。”；

(2)证明：VZ1=Z2,

：.ΛBEA=AAFC.

VZl=ZABE+Z3,∕3+N4=Nft4C,Zl=ZBAC,

.,.ZβAC=ZABE+Z3,

：.Z4=ZABE.

VZAEB=ZAFC,/ABE=24,AB=AC,

.".∕∖ABE^ΛCAF(.AAS).

M

(3)∖∙ZBED=ZCFD=ZBAC

：.ZABE+ZBAE=ZFAC+ZBAE=ZFAC+ZACF

：.ZABE=ZCAF,NBAE=NACF

XAB=AC

Λ∆ABE^∆CAF,

•∙SABE=SCAF

：.MCF与ABDE的面积之和等于MBE与ABDE的面积之和，即为△ABD的面积,

VCD=2BD,ZkABO与AACD的高相同

则S-BO=ɜS"BC=5

故MCF与ABDE的面枳之和为5

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

9.问题背景：（1）如图①，已知ABC中，ΛBAC=90o,AB=AC,直线,"经过点A,BDl

直线，“，CEj_直线机，垂足分别为点Q,E,易证：DE=+.

(2)拓展延伸：如图②，将(1)中的条件改为：在，ABC中，AB=AC,D,A,E三点

都在直线〃?上，并且有NBA4=NAEC=N3AC,请求出OE,BD,CE三条线段的数量关

系，并证明.

(3)实际应用：如图③，在ZXACB中，ZACB=90o,ACBC,点C的坐标为(-2,0),点

A的坐标为(Y,3),请直接写出B点的坐标.

【答'案［I)BD；CE；证明见详解；(2)DE=BD+CE；证明见详解；(3)点8的坐标为8(1,4).

【分析】⑴根据全等三角形的判定和性质得到AE=BZ),AD^CE,结合图形解答即可；

(2)根据三角形内角和定理、平角的定义证明&%>=∕C4E,证明AΛBIRC4E,根据

全等三角形的性质得到AE=BZ)，AD=CE,结合图形解答即可；

(3)根据AAEgCKB,得到b=AE=3,BF=CE=OE-OC=,根据坐标与图形性

质解答即可.

【详解】(1)证明：VBDLm.CElm,

：.ZAz)8=NCEA=90。，

,/ZBAC=90°,

ABAD+ZCAE^90°,

'：ΛBAD+ZABD=90°,

：.NCAE=ZABD,

在,ADB和CEA中

'NABD=NCAE

-ZADB=ZCEA,

AB^CA

.ADB^.CEA,

ΛAE=BD,AD=CE,

?.DE=AE+AD=BD+CE,

即：DE=BD+CE,

故答案为：BD；CE；

(2)解：数量关系：DE=BD+CE,

证明：在JIBZ)中，ZABD=↑80o-ZAE>B-ZBAD,

'：ZCAE=180°-ΛBAC-ZBAD,ΛBDA=ZAEC,

：.ZABD=ZCAE,

在工ABD和。E中，

ZABD=ZCAE

"ZBDA=ZAEC

AB=CA

,ABD^ΔCAE,

.∙.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE:

(3)解：如图，作Af_LX轴于E,BFLX轴于F,

由(1)可知，AEC咨CFB,

b=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

：.OF=CF-OC=X,

•••点8的坐标为8(1,4).

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定

定理和性质定理是解题的关键.

10.如图，在［ΛBC中，AB=BC.

(1)如图①所示，直线MV/过点8,AMj于点M,CNlMN于点、N,且

ZABC=90。.求证：MN=AM+CN.

(2)如图②所示，直线MN过点8,A/交MN于点M,CN交MN干点、N,且

ZAMB=ZABC=/BNC,则MV=AM+CTV是否成立？请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)MN=AM+CN仍然成立，理由见解析

【分析】(1)首先根据同角的余角相等得到NBAV=NCBN,然后证明

ΛAMB=ΛBNC(AAS)f然后根据全等三角形对应边相等得到AM=BN,BM=CN,然后

通过线段之间的转化即可证明MN=AM+CN；

(2)首先根据三角形内角和定理得到∕M4B=NCBN,然后证明ZXAMB=AδNC(A45),

根据全等三角形对应边相等得到MN=MB+BN,最后通过线段之间的转化即可证明

MN=AM+CN.

【详解】证明：(1)∙∙∙AMJLMN,CNlMN,

・•・ZAMB=ZBNC=90。,

/.ZABM+NBAM=90°,

•・•NABC=90。，

MABM2CBN90?,

：.4BAM=/CBN、

在，AMB和BNC中,

NAMB=ABNC

<ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMBWABNC(AAS),

.,.AM=BN,BM=CN,

•：BN+MB=MN,

：.MN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN仍独成立,理由如下：

,.∙ZAMB+ΛMAB+ZABM=ZABM+ZABC+ΛCBN=∖S0o,

•：ZAMB=ZABCf

：.AMAB=ACBN,

在,AAfB和BNC中,

/AMB=NBNC

,ZBAM=NCBN,

AB=BC

：.AAMB=ABNC(AAS),

/.AM=BN,NC=MB,

•：MN=MB+BN,

：.MN=AM+CN.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识,

解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到NKW=NCBN.

11.在直线，"上依次取互不重合的三个点Q,A,E,在直线机上方有AB=AC,且满足/8D4

—ZAEC-Z,BAC-a.

(1)如图1,当α=90。时，猜想线段OE,BD,CE之间的数量关系是；

(2)如图2,当OVaVI80时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由.

【答案】⑴。E=M+CE.

(2)。E=8。+CE仍然成立，证明见解析

【分析】(1)由NBZM=NBAC=/AEC=90。得到EAC=N8AO+/OR4=90。，

进而得到/。B4=NEAC,然后结合AB=AC得证△DBA^ΛEAC,最后得到DE=BD+CE,∙

(2)由∕BZM=∕8AC=∕AEC=a得到/BAD+/EAC=NBAD+/。&4=180。-a,进而

得到NE>8A=NE4C,然后结合AB=AC得证△OBAgzXEAC,最后得到〃E=8D+CE.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

∙/NBDA=ZBAC=NAEC=90。，

，NBAD+NEAC=ZBAD+ZDBA=90o,

：.ΛDBA=AEAC,

VAB=AC,

Λ∆DBA^∆E4C(AAS),

：.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

,.∙ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

.*.ZBAD+ZEAC=NBAQ+NQBA=180°-α,

ΛZDBA=ZEAC,

"：AB=AC,

Λ∆DBA^∆E4C(A45),

ΛBD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE;

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题

的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

12.如图，ZABC=90,E4,AB于点A,点O在直线48上，AD=BC,AF=BD.

An~~NF

(1)如图1,若点。在线段AB上，判断。尸与QC的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)如图2,若点。在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断(1)中结论是否成立，

并说明理由.

【答案】(I)DF=DC,DFlDCi理由见解析

(2)成立，理由见解析

【分析】(1)先证△AOF/△8CZλWDF=DC,ZADF=ΛBCD,再证∕FΔ>C=90。即可得垂

直；

(2)先证AACF丝△8C£>,WDF=DC,ZADF=ZBCD,再证/FCC=90。即可得垂直.

(1)

解：VZABC=90,FAlAB,

.∙.ZABC=ZDAF=^，

AF=BD

在AAOF与4BCD中-ZDAF=ZABC,

AD=BC

；.△AO产gABCD,

DF=DC,ZADF=ZBCD,

；NBDC+NBCD=90°,

/.ZBDC+ZADF=90o,

ΛZFDC=90o,BPDFlDC.

(2)

,.∙ZABC=90,FA±AB,

ʌ^DBC=^DAF=90，

AF=BD

在&AQF与aBCD中,/DAF=ZDBCf

AD=BC

・•・△A。尸也△BCD,

：.DF=DC,ZADF=ZBCDf

,.∙ZBDC+ZBCD=90o,

ΛZβDC+ZΛDF=90o,

.,.ZFDC=90o,BPDFLDC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等.

Q

13.(1)如图1,已知：在AABC中，ZBAC=W,AB=ACf直线历经过点A,3O_L直线丑

CEL直线处垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE∙

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在448C中，AB=AC9D、A、E三点都在直线加上，

并且.有N3QA=NAEC=N3AC=α,其中。为任意钝角，请问结论。E=8。+CE是否成立？如

成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析

【分析】(1)根据AAS可证明△AOBgACEA,可得4E=8Q,AD=CE,可得DE=BD+CE.

(2)由已知条件可知/840+/0^=18()0-2,ZDβA+ZBAD=180o-a,可得

NDBA=/CAE,结合条件可证明△AO6<Z∖CEA,同(1)可得出结论.

【详解】(1)如图1,•・・6£>_L直线加，CE，直线机，

ΛZBZ)A=ZCE4=90o,

TNBA090。，

.β.ZBAD+ZCAE=90o

∙/NBAO+∕A8Q=90°,

：.ZCAE=ZABDf

在△河。8和4CEA中，

ZBDA=ZCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

：.∆ΛDB^∆CEA(AAS),

：∙AE=BD,AD=CEf

：.DE=AE+AD=BD+CE↑

•：NBDA=NBAC=a,

.∙.ZDBA^ZBAD=ZBAD+ZCAE=↑80°-a,

.'.ZDBA=ZCAE9

在△4。8和4CE4中，

NBDA=NCEA

<ZCAE=ZABD

AB=AC

.,.∆ADβ^ΔCEΛ(AAS),

IAE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE;

【点睛】本题主要考查「全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE

CE=A。是解题的关键.

14.在直线m上依次取互不重合的三个点。,AE,在直线〃?上方有A5=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

(1)如图1,当α=90。时，猜想线段DE,BRCE之间的数量关系是；

(2)如图2,当O<α<18O。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由；

(3)应用：如图3,在一ABC中，ZBAC是钝角，AB=AC,

ZBAD<ZCAE,NBDA=AAEC=ZBAC,直线加与Ce的延长线交于点F,若BC=3FB,

ABC的面积是12,求一所。与..ACE的面积之和.

【答案】(I)OE=BZHCE

(2)DE=8D+CE仍然成立，理由见解析

(3)Δ&?£>与AACE的面积之和为4

【分析】(1)由NBZM=∕BAC=NAEC=90。得到NB4Q+∕E4C=N8AO+NOBA=90。，

进而得到∕O84=∕EAC,然后结合AB=AC得证ADBA^∆EAC,最后得到DE=BD+CE,

(2)由/8。A=NRAC=NAEC=α得到NBAD+NE4C=NBAE)+NO84=180。-α,进而

得到/08A=NE4C,然后结合AB=AC得证△08A丝Z∖E4C,最后得到CE=Bo+CE；

(3)由NBA。〉/C4E,NBDA=NAEC=NBAC,得出Ne4E=NA8D,由AAS证得

ΛADB^/XCAE,得出S△480=S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底

的比，得出5∆A8F即可得出结果.

(1)

解：DE=BD+CE,理由如下，

,.∙ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

：.ZBAD+ZEAC^ZBAD+ZDBA=90o,

.∙.NDBA=NEAC,

"：AB=AC,

.'.∆DBA^∕^EAC(AAS),

.∖AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)

OE=Bo+CE仍然成立，理由如下，

β

.∙NBDA=NBAC=ZAEC=af

：.ZBAD+ZEAC=NBA。+NOBA=180。-α,

：.ADBA=AEAC,

VAB=AC,

Λ∆DB4^∆EΛC(AAS),

：.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)

解：NBADCNCAE,NBDA=NAEC=NBAC,

：.ZCAE=ZABD9

在△48。和4CAE中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

：.∆ΛθD^∆CAE(AAS),

ΛS∆ABD=SRCAE,

设^ABC的底边8C上的高为A,则4A8尸的底边8尸上的高为〃，

ISAABC=TBC∙h=12,SAABF=GBF6,

•：BC=3BF,

ΛS∆ABF=4,

VS∆ABF=SABDF+SAABD=SAFBD+S>ACE=49

：.AFBD与AACE的面积之和为4.

【点睛】本题考查J'全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的

关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

15.在4?C中，NACB=90。，AC=BCf直线MN经过点C且AO,MN于。，BELMN

于E,

⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证:

①，ADCgACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD—BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关系？请写

出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)证明见解析

(3)DE=BE-AD(或者对其恒等变形得到AL)=BE-DE,BE=AD+DE),证明见解析

【分析】(1)①根据AD_LMN,BELMN,ZAC8=90。，得出Nc4。=NBCE,再根据A45

即可判定ΔADC=ACE8;②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=4D,CD=BE,

进而得到DE=CE+CD=AD+BE-.

(2)先根据ADLMN,BEJ_MN,得到NADC=NCE8=ZACB=90°,进而得出ZCAD=ZBCE,

再根据A4S即可判定Δ4DC=ACEB,进而得到CE=AD,CD=BE,最后得出

DE=CE-CD=AD-BEi

(3)运用(2)中的方法即可得出DE,AD,BE之间的等量关系是：£)E=BE-AD或恒

等变形的其他形式.

(1)

解：①∙.A£>_LMV,BEVMN,

:.ZADC=ZACB=90°=NCEB,

.∙.ZC4D+ZACD=90o,ZBCE+ZACD=90°,

.∙.ZCAD=ZBCE,

■在MDC和ACEB'I',

ZCAD=ZBCE

<NADC=ZCEfi

AC=BC

.∙.ΔADC=ACEB(AAS)；

②ΔAZJC≥ΔCEB,

CE=AD,CD=BE,

.∙.DE=CE+CD=AD+BE-.

(2)

证明：ADVMN,BElMN,

:.ZADC=NCEB=ZACB=90°,

..NCAD=NBCE,

在MDC和∖CEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=NCEB

AC=BC

.∙.AADC=ACEB(AAS);

.∖CE=AD,CD=BE,

.∙.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)

证明：当MN旋转到题图(3)的位置时，AD,DE,8£所满足的等量关系是：DE=BE-AD

或AD=BE+DE或BE=AD+DE.

理由如下：ADlMN,BE工MN,

:,ZADC=^CEB=ZACB=90°,

：.NCAD=/BCE,

：在AADC和ACEB中，

ZCAD=NBCE

<ZADC=/CEB

AC=BC

.∙.AADC三ACEB(AAS),

CE=AD,CD=BE,

..DE=CD-CE=BE-AD(或者对其恒等变形得到AQ=郎+。£或3"=A。+。石).

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时

注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系

进行推导，得出结论.

16.(1)如图1,在AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,直线，"经过点A,直线机，

CE，直线机，垂足分别为点。、E.求证：AABO丝Z∖CAE;

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、4、E三点都在直线加上，

并且有N8D4=/AEC=NBAC=α,其中a为任意锐角或钝角.请问结论△ABO丝Z∖C4E

是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,D,E是。，A,E三点所在直线山上的两动点(D,A,E三点互

不重合)，点F为NBAC平分线上的一点，且AABF和AAC/均为等边三角形，连接8。，

CE,若N8D4=/AEC=/BAC,求证：△QEF是等边三角形.

【答案】(1)见详解；(2)成立，理由见详解；(3)见详解

【分析】(1)根据直线加，CEL直线机得NBzM=NeE4=90°,而NR4C=90°,根

据等角的余角相等得NC4E=NABD，然后根据“A45”可判断ΔAPB^ΔCE4:

(2)利用NBOA=NBAC=α,则Nf)β4+NBA。=ZfiW+/CAE=180。-α,得出

ΛCAE=ZABD,然后问题可求证；

(3)由题意易得BF=AF=AB=AC,ZABF=NBAF=NE4C=60°,由(1)(2)易证ΔAD8当ACEA,

则有AE=BD,然后可得ΛFBD=AFAE，进而可证ΔDBF=AEAF»最后问题可得证.

【详解】(1)证明：直线相，CE，直线加，

:.ZBDA=ZCEA=90o,

ZSAC=90o,

ZBAD+ZCAE=90°,

ZBAD+ZABD=90o,

.'.ZCAE=ZABD,

在AAPB和ACE4中，

NABD=NCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

.∙.ΔΛD始ACEA(AAS);

解：(2)成立，理由如下：

ZBDA=/BAC=a,

.∙./DBA+ΛBAD=ZBAD+ZCAE=180o-6Z,

.∙.ΛCAE=ZABD,

在ΔAΩB和ΔCE4中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

.∖ΛADB^Δ,CEA(AAS).

(3)证明：∙∙∙Z∖48尸和△AC尸均为等边三角形，

/.BF=AF=AB=AC,ZABF=ΛBAF=ΛFAC=ωo,

ZBDA=ZAEC=NBAC=I20°,

JZDBA+ZBΛD=ZBAD+ZCAE=180°-120°f

NCAE=ZABD,

...ΔADB^ΔCEA(AAS),

JAE=BD,

∖∙NFBD=ZFBA+ZABD,ZFAE=ZE4C+ZCAE,

.∙∙NFBD=NFAE,

∙,.ΔDBF^ΔE4F(SAS),

：,FD=FE,NBFD=ZAFE,

.∙.ZBFA=NBFD+/DFA=ZAFE+ZDFA=NDFE=60o,

...△OFE是等边三角形.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等

三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.

17.已知AABC中，NACB=90。，AC=BC.BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别

为。，E.

学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1,若AD=2∙5cvn,DE=I.7cm,

求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到AABC的外部，

BE、AO与直线CE的垂直关系不变，如图2,猜想4。、DE,BE三者的数量关系，并给予

证明.

【分析】如图1,由“AAS'可证AACDgACBE,可得AD=CE=2.5。"，BE=CD,由线