陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题（解析版）

渭南市2023届高三教学质量检测（I）数学试题（理科）

命题人：王建龙韩黎波蔡雯伟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.

3.将选择题（答案Il填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A={T124},B={x∣*2-2χ≤o},则ArB=（）

A.{-l,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

K答案HB

R解析』

K祥解D根据交集的定义计算.

K详析11对于集合B,X2-2X≤0,X（X-2）≤0,.∙.0≤X≤2,:.A（B={l,2}；

故选：B.

2.设复数Z满足z∙（l+2i）=∣-3+4i∣,贝IJZ的虚部是（）

A.2B.2iC.-2D.-21

R答案XC

K解析H

K祥解U先求出∣-3+4i∣的值，然后两边同除l+2i,最后用复数的除法运算求解.

K详析U∙.∙z∙（l+2i）=卜3+倒

55(l-2i)5(l-2i)

.∙.z∙(l+2i)=5,即

l+2i-(l+2i)(l-2i)~~5~

所以Z的虚部是-2.

故选：C

3.已知向量”=(1,2),∕J=(W,2—m)，若a_L/j，则Ibl=()

A.√3B.2√5C.2√3D.20

K答案，B

R解析H

K祥解Il根据向量垂直的坐标表示得m=4,再求向量的模:

详析》解：由a_Lb，得m+4—2m=0,则加=4,即/?=（4,一2）

所以IOI=J42+(—2)2=26.

故选：B

Lχ2,则它的焦点坐标是（）

4.已知抛物线y

4

A.°`⅛B.C.(1,0)D.(0,1)

K答案》D

R解析2

R祥解U

将抛物线化为标准方程,确定焦点位置，根据公式计算即可.

K详析H解：抛物线y-V化为X2=4y,

4

/.〃=2

：抛物线f=4y开口向上，焦点在V轴正半轴，

焦点为（θ,日），BP（0,1）.

故选：D.

H点石成金』》抛物线性质的应用技巧：

（D利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；

（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.

5.2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载

人K船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.

火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强X（单位：W/mD满足

γ

1（力=10电/产.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为

103则火箭发射时的声强级约为（）

A.13()dBB.14()dBC.15()dBD.160dB

K答案，B

K解析』

K祥解』设人交谈时的声强为为，从而得到外=1(尸，求出火箭发射时的声强为1()9x10-7=102,代入

K解析》式求出R答案》.

R详析力设人交谈时的声强为4,则火箭发射时的声强为10晨1,

7

则50=1Olg涡，解得：%1=κr,

则火箭发射时的声强为109x10-7=102,将其代入"(χ)=lOIg方7中，得：

1∩2

J(IO2)=IOlgɪʌʌ⅛-=140dB,故火箭发射时的声强级约为］40dB.

故选：B

6.如图,在直三棱柱ABC-ABCl中，AA=2A3=2AC,且45_LACE分别是棱BC,BB］的中点，

则异面直线4。与GE所成角的余弦值是()

√57

A.城B.逅r

969

K答案』A

工解析H

K祥解》根据线线平行可得NAOF或其补角是异面直线4。与GE所成的角，利用三角形三边关系，由

余弦定理即可求解.

R详析2如图，在棱CG上取一点尸，使得CG=4CF,取CG的中点连接BM,DF,A,F,

由于V,E分别是棱CG,B4的中点，所以BE=C∖M,BE∕/ClM,故四边形BMCg为平行四边形，进而

CxEHBM,

又因为。,户是8C,CM的中点，所以DF//BM,所以DF〃C∣E,则NAoF或其补角是异面直线A,。与

GE所成的角•

设AB=2,则C产=l,GE=3,4Z>=CD=e,

22122

从而DF=√CF+CD=区AD=y∣AAi+AD=342,AxF=y∣AiC;+CtF=√B，

2√6

故

CoS/A1DF="'I：

2×√3×3√2~9~

故异面直线4。与GE所成角的余弦值是城•

9

7.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计bg。的比赛，其中某位同学利用函数图

象设计了如图的/og。，那么该同学所选的函数最有可能是()

A./(x)=XSinX-CoSXB./(x)=SinX-XCOSX

C./(ɪ)=X2+2cosxD./'(X)=2SinX+d

K答案HA

K解析H

R祥解』将图形置于直角坐标系中，结合奇偶性和单调性即可得结果.

K详析》将图形置于直角坐标系中，如图所示：

由图易知该函数为偶函数，

对于选项B,满足/(T)=-SinX+xcosx=-∕(x),即/(x)为奇函数，故可排除;

对于选项D,满足x)=-2SinX+/，即/(x)为非奇非偶函数，故可排除；

对于选项C,∕,(x)=2x-2sinx,

令g(x)=∕'(X)=2x-2SinX,所以g'(x)=2—2cosxN。在(0,+00)恒成立,

所以尸(司=2》-251门在((),+8)单调递增，

所以/'(x)>/'(O)=。在(0,+⑹恒成立，

BP/(x)=x2+2cosX在(0,+∞)单调递增，故排除；

(∖COSa

8.若a∈0,一,tan2a=-----------,贝(Jcosa=()

I2)2-sinσ

ʌ1B而CɜDb

4444

K答案DB

R解析D

K祥解》利用正切二倍角公式即同角三角函数关系化简得到Sina='，CoSa=巫.

44

田LLPCCoSa*,u2tanaCOSa

Kr7详析Xtan2a=--------变形τr为-------L=----------，

2-sina1—tan"a2-sina

2sinαcosαCoSa

即ort——ʒ--------ʒ—=-----------，

cos'a-sirra2-Sina

因为αw∣0,]),所以CoSa>(),Sina>0,

所以4sinα—sin?a=cos2a，

因为siVa+cos?a=1，所以4sina=l,解得：Sina=一，

4

因为sin?α+cos?α=1，cosa>0,解得：COSa=把5.

4

故选：B

,、flog,X,XNi,I/、/、

9.已知函数/(x)=｛玲，在R上单调递增的概率为且随机变量J~N(",1).则P(0<4≤l)

X+ζ,XV1,

等于()

K附：若J~N(4,O∙2),则尸(M-bWxWM+b)=0.6827,

P(μ-2σ≤x4∕z+2(τ)=0.9545.∑

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

K答案》A

K解析X

K祥解11根据已知条件可求出“=-!，则4~N(-1,F).根据正态分布的对称性，即可求得.

K详析D使/(x)在R上单调递增的充要条件是4+1≤log?1=0,即J≤-l,故PC≤-1)=;.

由于随机变量J~N(",1),则α=-l,即J~N(-1,E),即〃=-1,Cr=L

故尸(一2≤J≤0)=P(4-b≤J≤"+b)=0.6827,

P(-3≤J≤l)=P(4-2b≤J≤4+2σ)=0.9545,

所以P(O<J≤1)=P(-1<J≤1)—P(—l<J≤0)=gχ[P(-3≤J≤1)-P(—2≤0≤0)]

=∣×(0.9545-0.6827)=0.1359.

故选：A.

10.在一ABC中，内角4所。所对应的边分别为凡瓦0,且QSin23+bsinA=0,若一AsC的面积

S=回，则.ABC面积的最小值为

A.1B.12√3C.8√3D.12

K答案DB

K解析H

R详析R因为“sin23+AinA=O,所以

sinA∙2sinBcosβ+sin5sinA=0∕.2cosβ+l=0/.cosB=——/.B=——,

23

因为S=ʌ/ɜ/?，所以LaCSinB=gbacsin—=8b,/.ac=4b.

223

因为从=ɑ?+c?-2tzccos-=«2+c2+ac≥3ac=12b.∖b≥12

3

因此S=J%≥126,_A3C面积的最小值为126，选B.

1点石成金』：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合

已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，

要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不

等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

11.已知双曲线C：⅛-2L=i（a>0,6>0）的右焦点为F,点A,2分别为双曲线的左，右顶点，以A3为

a2b2

直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于尸，Q两点，若。。〃「尸（。为坐标原点），则该

双曲线的离心率为（）

A.√5B.2C.√3D.√2

K答案』D

K解析D

K祥解D

由己知可得OP尸为等腰三角形，作PWLQb,垂足为M,过B作BoLX轴，交渐近线第一象限部分于

则RjoMPSRJOBD,利用相似三角形的性质，结合α,Ac的基本关系求得的关系，进而求仁

K详析Il如图所示，OQPF,∙∙∙ZAOQ=NOFP,

又双曲线的渐近线关于y轴对称，・・•//0月=/40。,二/0叮=/尸0?,;.0/7^为等腰三角形,

作PM±OF7,垂足为M,过8作3。_L尤轴，交渐近线第一象限部分于D,

则RJOMPSRJOBD,|。回=a,∖BD∖^仇IoM=寸0可=万。，

i

IoPl=α,IPM=y∣∖θP∖-∖θMf

整理得c'=4α∖.∙.e=£=JΣ，

a

故选：D.

K［点石成金D本题考查双曲线的渐近线和离心率，关键是抓住问题的特殊性，适当添加辅助线，构造相

似三角形，利用相似三角形的性质及C的基本关系得到α,C的关系，从而求得离心率的值.

12.已知函数/(x),g(x),g'(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数.若g(x)为偶函数，且

/(x)+g'(x)=l,/(x)-g'(4-X)=L则以下四个命题:①g'(2022)=0;②g(x)的图象关于直线χ=2

20222023

对称；③Z〃&)=2022；④Z/(A)=2023中一定成立的是()

k=∖4=1

A.①④B.②③C.①②③D.①②④

II答案』D

K解析U

K祥解油g(x)为偶函数可得g'(x)为奇函数,继而得到g'(x)是以4为周期的周期函数,即可判断①③④,

/(χ)+g'(χ)=ι

可得g'(χ)=-g'(4-x),继而得至IJg(X)=g(4-x),即可判断②

/(∙v)-g,(4-Λ)=l

由伍)一可得一

工详析X对②:Xg,(4r)=l'g'3=g"r)'^(x)+C1=^(4-x)+C2(C1

与。2为常数)，

令尤=2,则g(2)+G=g(2)+G,所以CI=C2，则g(x)=g(4-X),

故g(x)的图象关于直线X=2对称，②正确;

对①：∙∙∙g(x)为偶函数，则g(x)=g(τ),

，g'(x)=-g'(T),则g'(x)为奇函数，

故g'(x)=-g'(4r)=g,(x-4),即g'(x+4)=g,(x),则g，(x)是以4为周期的周期函数,

由g'(x)=-g'(4-x)，令χ=2,则g，⑵=-g，⑵,可得/(2)=0,故g'(2022)=g'(2)=0,①正

确；

由g'(x)=-g'(4r),令x=l,则g'(l)=-g'(3),即g'(l)+g'(3)=0,

令X=0,则g'(0)=-g'(4)=0,即((4)=0,

故g")+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,则g'(4Z+l)+g'(4Z+2)+g'(4%+3)+g'(4%+4)=0(ZwN),

对③：由/(χ)+g'(χ)=L即/(χ)=l-g'(χ),则

202220222022

X"后)=2[1—g")]=2022—Xg")=2022—[g，(l)+g<2)]=2022—g〈l),

k≈∖k=lk=∖

由于无法得出g'(l)的值，③错误；

202320232023

对④：£/(Z)=£[l—g'(Z)]=2023-£g'(&)=2023—[g〈l)+g'(2)+g<3)]=2023,④正确.

*-1*=1*=1

故选：D.

Kr点石成金D方法r点石成金』：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称

性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的K解析』式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函

数的性质解决问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+y>2

13.若实数X,>满足约束条件,x+2y≤4,则z=2x-y的最大值是.

J≥0

K答案，8

K解析D

R祥解11由题中条件作出平面区域，根据目标函数的几何意义分析运算.

χ+y>2

K详析D由<x+2y≤4,作出平面区域，如图所示，

y>0

∙.∙z=2x-y,即y=2x-z,表示斜率为2,横截距为!■的直线,

当直线y=2x-z过点A(4,0)时，横截距取到最大值，

故z=2x-y的最大值是ZmaX=2x4-O=8.

14.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不

幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语

文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中

含《新安吏》和《无家别》的概率是.

K答案』I

K解析D

K祥解D写出从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间，写出事件“语文老师选的三篇中含

《新安吏》和《无家别》”的样本点，根据古典概型的概率公式即可求得R答案Il.

In羊析男将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为队从c,《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为"、

e、f,

从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为八={。/必,。戾,。纱,。。”,。。6,。＜/,»,。(",》。,},

共9个样本点，

记事件A为“语文老师选三篇中含《新安吏》和《无家别》”，

则A={0%,oce},共2个样本点，故P(A)=∙∣,

故K答案X为：三2

15.将函数/(x)=4COSIX和直线g(x)=x-l的所有交点从左到右依次记为A，A2,...,A,,,若

..uuuɪuuiruuιr

P(0,√3),则PAi+PA2+...+PA.=.

R答案110

K解析D

K祥解》根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.

K详析D如图可知：函数/(x)=4CoSmX和直线g(x)=x-l共有5个交点，依次为4,4,44,4,

其中4(1,0),

∙.∙函数/(x)=4cos5x和直线g(χ)=x-i均关于点A(ι,o)对称，则A，4,A,,4关于点A(ι,o)对

称,

UUUlUUUUlUUULlllU

16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接

触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正

四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正

四面体ABCD的棱长为1,则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过AB,C三点的平面去

截勒洛四面体，所得截面的面积为,

K解析》

R祥解R空1：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，设该球与勒洛四面体

的一个切点E，连接3E,则氏0,E三点共线，且。为该球球心，也是正四面体ABCD的中心，再求正

四面体的外接球半径即可得以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径；空2：再结合勒洛四面体的构成可知过

A民C三点的截面面积为3个半径为I,圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，

再计算即可得K答案》.

K详析2空I：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，

如图1,点E为该球与勒洛四面体的一个切点，。为该球球心，

由正四面体的性质可知该该球球心。为正四面体ABCO的中心，半径为0E,

连接的，则8,0,E三点共线，此时JBE=1，80为正四面体的外接球的半径，

由于正四面体43Cr)的棱长为1,其可以在棱长为YZ的正方体中截出,

2

所以正四面体ABaD的外接球的半径即为棱长为正的正方体的外接球半径，即正方体体对角线的一半,

2

则B0=—>

4

故勒洛四面体能够容纳的最大球的半径OE=I-逅

4

空2：如图2,根据勒洛四面体的构成可知，过A,B,C三点的截面面积为3个半径为1,圆心角为6()。的扇

形的面积减去两个边长为1的正三角形的面积，

所以所得截面的面积为巴15.

2

故K答案?为小生Tl

图1图2

Rr点石成金』』方法L点石成金」:

①由勒洛四面体分析内切球的球心所在的位置，结合正方体求其半径；

②分析可知勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体ABC。表面的截面，计算出该截面面积，可得结果.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.设数列｛4｝的前W项和为S“，已知q=3,是公差为2的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式;

1、

(2)设"1=———，求数列｛f5｝前〃项和

anan+∖

R答案]⑴an=4π-l

K解析》

qS],〃=1,

K祥解Il(I)求出申=3,从而利用等差数列求和公式求出S,,=2"+N,再利用为=<

[S,,-S,^n≥2^

出R答案X

(2)裂项相消法求和.

R小问1详析卜

∙.∙q=3,

.∙0=3,

1

S

Λ—=3+(n-1)×2=2n+1,

n

,2

..Sn=2n+n,

当〃22时，an=Sn-Sn,i=4rt-l,

又q=3适合上式，因此α,,=4〃-1；

K小问2详析』

______

(4H—l)(4n+3)4V4π-14〃+3J

故［=，『一』+4.，+---q=q

"4(377114n-l4n+3)12n+9

18.在多面体ABCoE中，平面Aa>EJ_平面ABC,四边形4CDE为直角梯形，CDHAE,AC±AE,ABLBC,

CD=I,AE=AC=2,尸为OE的中点，且点G满足EB=4EG∙

B

(1)证明：GF//平面A8C；

(2)当多面体ABCQE的体积最大时，求二面角A-B£。的正弦值.

K答案IJ(I)证明见K解析D

⑵叵

7

R解析』

"羊解IIQ)先证四边形CQNM为平行四边形，进而可得CMHDN,又中位线定理得GFHDN,则GFHCM,

再由线面平行的判定定理即可证结论.

(2)过B作BHLAC交AC于"，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知8”=1，H为AC的中点，

从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面。BE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A-

BE-。的正弦值.

K小问1详析2

取48,EB中点M,N,连接CM,MN,ND,

在梯形ACz)E中，。£>//隹且£^=3£4,

而用，N分别为BA,BE中点，

B

：.MNHEA,MN=gEA,

.∖MN∕∕CD,MN=CD,即四边形CnMW是平行四边形，.,.CMHDN,

又EG=LEB,N为EB中点，

4

：.G为EN中点,又F为ED中点,

：.GFUDN,故GFMCM,

又CMU平面ABC,G尸Z平面ABC,GF//平面ABC.

小问2详析』

在平面ABC内，过B作BH_LAC交AC于从

平面ACDEX5FffiABC,平面ACDE1平面ABC=AC,BHU平面ABC,BHLAC,

.∙.8H，平面ACDE,则BH为四棱锥B-ACZ)E的高，

又底面ACoE面积确定，要使多面体ABeOE体积最大，即8,最大，

连结HE，易得HF"AE,易知HB,HC,HF两两垂直,

以H为原点建立如图所示的平面直角坐标系H-xyz,

：.A(0,-l,0),B(l,0,0),E(0,-l,2),D(0,l,l),

则AB=(1,1,0),8E=(T-1,2),。E=(O,-2,1),

nl∙AB-0即口%+fy+=2°z∣S取&=/(IT0)、，

设nl=(χ,y,z∣)为平面ABE的一个法向量，贝卜

%.BE=O

,、wɔ∙DE=0∖-2y7+Z2=O.、

设口=(孙必，22)为平面。叫的一个法向量，贝叼2,即〈---,取％=(3,1,2),

%∙BE=0LX2-必+2z2=0

二面角A—BE—力的正弦值为JI-CoS

19.某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验,

检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数X具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本

参加临床用药试验，并得到了一组数据(x,∙,y),i=l,2,3,520,其中七表示连续用药i天，K表示相应的

临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的

变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：

2020202020

2

∑Xi=60,∑yi=l200,Z(Xj-X)=80,Z(%-用2=9000Z(X二χ)(y.-y)=800.

Z=I/=1/=1Z=I/=1

(I)求样本(%,y)(i=l,2,L,20)的相关系数(精确到0.01)；

(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产

线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为().(X)9,第2条生产线出现

不合格药品的概率为().006,两条生产线是否出现不合格药品相互独立.

(i)随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；

(ii)若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.

∑(%,-%)(＞；-y)

附：相关系数r=J“，√Σal.414.

χ22

J∑(l-^)∑(yl-y)

Y/=I1=1

R答案』⑴0.94

27

(2)(i)0.008；(H)—

32

K解析，

21

R祥解H(1)带相关系数公式计算即可；(2)(i)记事件P(Bi)=-,P(B2)=-,

P(Al4)=0.009,P(AI与)=0.006计算即可；(ii)根据条件概率计算得

3

P(BJA)=-,再由服从二项分布解决即可.

4

R小问1详析』

样本(冷,)(，=1,2,1,2())相关系数为

20

∑u,-%xx-y)历

,日=/8。0=处.°0.94.

βθ；√80×90003

22

J∑(^-^)∑(yi-y)

V/=!/=I

R小问2详析》

(i)设A=”随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”,

g="随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，鸟="随机抽取一件药品为第2条生产线生产”,

21

则P(B1)=∣,P(B2)=又P(AIq)=0.009,P(AIB2)=0.∞6,

于是P(A)=尸(A(Blβ2))^P(ABlAB2)=P(AB1)+P(AB2)

21

=P(Bl)P(AIBI)+P(B2)P(AIB2)=-X0.009+§x0.006=0.008.

(H)在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为：

_xn∩∩o

P(M)=P(A)P(A4)=3=3,

P(4∣4)=

P(A)-P(A)-0.008~4

故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为

P=C彳4臼+小因=经

UJUJ⑷32

20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的

数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F：

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点尸；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点尸到圆心E的距离为4,按上述

方法折纸.

(1)以点F、E所在的直线为X轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)若过点Q(LO)且不与y轴垂直的直线/与椭圆C交于M,N两点，在X轴的正半轴上是否存在定点

T(t,0),使得直线T70，7N斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

22

K答案D(1)土λ+匕v=I

95

(2)存在点T(3,0),使得直线TM与77V斜率之积为定值-H.

9

K解析H

K祥解》(1)根据椭圆的定义对照折纸的方法求出。力,C；

(2)设直线/的方程，与椭圆方程联立，再根据斜率的定义求解即可.

K小问1详析》

如图，以EE所在的直线为X轴，FE的中点。为原点建立平面直角坐标系

设Λ∕(x,y)为椭圆上一点，由题意可知，∣Λ∕耳+∣ME∣=∣AE∣=6>∣石可=4,

所以M点轨迹是以F,E为焦点，长轴长2α=6的椭圆,

因为2c=4,2a=6,所以c=2,a=3,

则从=/_¢2=5,所以椭圆的标准方程为工+22=1；

95

K小问2详析］

由己知：直线/过Q(1,O),设/的方程为χ=my+l,由题意小必定是存在的,

22

±_.y_=]

联立两个方程得《95，消去X得（5裙+9）V+10/“），-40=0,

X=my+\

Δ-IOOm2+160（5m2+9）＞0得加∈R,

TO（*）

设则另+必=

M（ApyJ,N（Λ2,%）,5：；°；；'Xy2

Snr+9

为=_________3V⅛________

x2-t^myl+l-f）（n^2+l-r）

=_______________y1y2_______________

22

myly2+∕7z(l-r)(y,+j2)+(l-/)'

-40

将⑴代入上式，可得上式二5二一9)病+9(IV广

要使勺河M7TV为定值，则有9—*=0，/=9,

又•一1>0,1=3,此时kTM∙kTN=——,

.∙.存在点7(3,0),使得直线TM与TN斜率之积为定值-2；

221∩

综上，椭圆的标准方程为±+±=1,存在点τ(3,θ),使得直线刀0与TTV斜率之积为定值-一.

959

21.已知函数F(X)=e*(l+ZnIn"),其中相>0,/'(x)为/(x)的导函数.

(1)当机=1,求/(x)在点(Ij(I))处的切线方程；

(2)设函数MjC)=Q且〃(X)…I恒成立.

①求m的取值范围；

②设函数/(x)的零点为％,/'(X)的极小值点为求证：χ0>χ1.

K答案』(1)y=2ex-e

(2)①∣,+oo);②详见K解析R

K解析H

R祥解Il(I)利用导数的几何意义即可求解.

ff∩2I

(2)①先对函数/(x)=e*(l+mInX)求导，得到f(x)=e[l+1+mInXJ,推出

∕ι(X)=午1=1+?+minx,求导，得至U/(X)=处F(X>0),解对应不等式，得到〃(X)单调性,

求出其最小值，再根据〃(X)Ng恒成立，即可得出结果；

②先设g(x)=∕,(x)=e*(1+3+机InX],求导得g'(x)=e*(1+也-々+机InX).

ɔJ力J力

设H(X)=1+---------+mlnx(%>0),对其求导，判定单调性，从而得到函数g(x)单调性，得到巧是

XX7

35/%

函数g(x)的极小值点，得到/=%，再由①得机=一时，/7(X)N二，推出所以机InX+-≥加，得到

22X

g(x)≥g(x,)>O,得到函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.

K小问1详析H

加=1时，/(x)=eA(l+lnx)J'(x)=e'(l+lnx+J,f[l)=2e,〃l)=e,所以函数在X=I处的切

线方程y-e=2e(%-l),BPy=2ex-e.

K小问2详析》

ffvvt\

①由题设知，/(x)=e[l+:+〃?InXJ(X>0),

h(x)=ʃ(A)=l+-+m∖nx,"(x)=〃("D(X>0),

eʌXX

由∕z'(x)>O,得χ>l,所以函数〃(X)在区间(l,+∞)上是增函数；

由/(x)>0,得0<χ<l,所以函数〃(x)在区间(0,1)上是减函数.

故力(X)在X=I处取得最小值，且MI)=I+%

553

由于∕ι(x)≥一恒成立，所以l+m≥-,得“2≥一,

222

所以加的取值范围为∣,+∞1；

ex∏+-+mlnx1,,/、(2mm1

②设g(x)=f'(X)=则g(X)=e'1+-------+//Z1lnxI

IXJr)

5-/、.2/77mI/八、

设H(X)=IH--------+777Inx(x>0),

XX

2m2mmm(x*^-2%+2

则H'(x)——+—+—>0>

2v33

XXXX

3

故函数”(x)在区间(O,+«))上单调递增，由Q)知，m≥-,

2

1

所以H(I)=m+l>O,H=1-z?7In2<1-In2JΣ<O,

(2

Q/)使得"伍)=0,

故存在χ2∈

所以，当O<x<%2时，H(X)<(),g'(x)<O,函数g(无)单调递减;

当x>x2时,H(X)>0,g'(x)>O,函数g(尤)单调递增.

所以多是函数g(x)的极小值点•因此A2=XI，即XIe

3

39,整理得lnx+-≥l,

由①可知，当初=一时,h(x)>-,即

22