圆锥曲线复习讲义（二级结论的运用）-学生版-高考数学二轮复习讲义

模块三:圆锥曲线

曲线种类椭圆双曲线

222

a,b,c关系a=b+c(a最大)c2=a2+b2(c最大)

焦半径关系

|Pa|+|PF2|=2a\\PF1\-\PF2\\=2a

离心率§离心率越大，椭圆越扁离心率越大，双曲线开口越大

2

reb

APF/z面积S=b2tan—s=~e

tan2

焦点位置分母哪个大，焦点在哪个轴分母哪个正，焦点在哪个轴

点差法公式的三种形式（同支或异支都可以）

⑴.45为楠圆的弦，M为弦AB的中点.则有：k-k;D

ABOM1）M为弦48的中点.则有：kAKkOM（见图3.AB为双曲线的弦

（2）4,4为椭圆的顶点，A为栉圆上一点，则有：A"=D2-4—

（3）.45为桶圆过原点的弦.P为椭圆上一点，则有：左4孑心=。3）43过原点，P为双曲线上一点，则有D

点差法■

其中。的求法:将椭圆方程中的1改为0,变形得V=62

其中。的求法:将双曲线方程中的1改为0,变形得yI=Dx2

2人2

通径通过焦点，且垂直于直线&&的焦点弦，为最短焦点弦；长度为等

同支：[c-a,+00)

[a—c,a+c]

异支:[c+a,+00)

焦半径范围（P在X轴上）庐工|「尸1|.尸尸2隆02（P在y轴上）

（P在y轴上）62-c2<VF\PF\<b2（P在x轴上）/

【焦点在力轴】p的坐标为(x,y)【焦点在元轴】P的坐标为(x0,y0)

焦半径公式00

\PF1\=a+ex0,\PF2\=a-ex0\PF1\=|a+ex0|,|PF2|=\a-ex0\

①在左右支,则1①|<|&|：②45在同支，则|如|>|弧|

*2尸2

i2

直线位置m2+n2-1当421n2+辟足=C时相切

Ax+By+C=0i

直线AB与双曲线相切或相离，则有|勺/>|%|（见图4）

渐近线斜率/横:±3竖F

焦点到

/b

渐近线距离

^PFF

12（a,0）为其中一个切点

内切圆结论

i---------/---------1-----------------------------Vi+fc2VA

弦长公式2

\AB\-VI+^|X1久2I—+HjOi+%2尸-|D|

（D为联立所得方程的二次项系数）

抛物线的一些希见结论

7,鱼支移力3的衣盛表示（见囹1）

4（1，

①用冗%）,B（X2,力）坐标表示：

对于抛物线y2=2px而言：|=/+外+P=2%o+p,

其中％o为线段48中点的横坐标

对于抛物线/=2py而言：\AB\=yi+丫2+P=2yo+p,

②用直线43的倾斜角。表示（见图2）

对于抛物线y2=2p%而言:

AF-AC=GF+FH=p+AFcos6

|明=p;同理\BF\=p

l-cos01+cos0

则\AB\=\AF\+\BF\=^

112

-------1-------=一

\AF\\BF\p

对于抛物线无2—2py而言：同理可得

|/F|=pp

l-sin0\BF\=l+sin3

则网=|4F|+\BF\=T

2.AB是抛物俵y2=2Px这危曼F的够,AC1I,BD1l,MaCD的中点，4（冗1/1）,3（元2，丫2），则

（1）=-P?,久1久2=彳（2）+=|（3）MF1AB（4）MA1

MB

（5）A,。,。三点共线（6）以48为直径的圆与1相切

（7）若。A1ABQ4B过定点（2p,0）（见图2）

3M为她,场假y2=2Px的维俵7一支,M4MB物易趣物饯相切初支,则市见囹切

（1）4B过焦点F（2）2yM=yA+yB

(3)MA1MB（4）MF1AB

圆锥曲线大题训练

解析几何常规处理方法

1,设而不求：运用韦达定理转化是解析几何解题的主线

2,韦达定理内容：若第是方程a/+bx+c=0的两根，

贝I%]+%2=_*汽1%2=~

3.直线的设法：消y,设y=kx+m.尤其已知直线过y轴上点(0,租)；

消%,设％=A,y+m.尤其已知直线过无轴上点(TH,0).

4.弦长公式：已知,8(%2〃2)

2

(1)设直线ZB:y=kx+TH(消y),则=V1+k\x2—xr\.

2

(2)设直线ZB:y=Ay+TH(消久)，则|AB|=V1+A|y2—%1

2

若%L%2是方程a，+b%+c=0的两根,则\x2—%il=(△=b—4ac)

注意：任意两点的距离都可用弦长公式

5.两根之比的处理方法：若*=A,且％L%2是方程a—+b%+c=0的两根,

X2-

由立逐=①+包+2可得Q=4+工+2

ac

X1X2%2A

6.直线与圆锥曲线位置关系：

相交=△>0

{相切Q△=0,

相离=△<0

/y2

菠+/-1当42m2+^2兀2=时相切

{Ax+By+C=0

直线与抛物线及双曲线相交需按二次项系数为0与不为。分类讨论.

7.面积的表示方法：

(1)当坐标轴上的线段为定值时，

以坐标轴上的线段为底作为首选

如图(1)中，当[F图为定值时

1

SAABE~—S、BEF=]|EF|1X4—7B\

如图⑵中，当|FE|为定值时

1

SQABE=S"EF+SRBEF=2|EF||yyi—7BI

（2）当坐标轴上的线段不为定值，宜将弦长作为底来表示面积

8.直线和曲线过定点问题：把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化

为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等

于零，这样就得到一个关于％,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所

过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明.

【常考题型剖析】

题型一：利用椭圆的定义求方程

1.（2021•全国高二课时练习）已知椭圆C上任意一点PQ,y）都满足关系式

J（x—1万+*+收+1万+y2=4,则椭圆C的标准方程为（）

??772

A.-+^=1B.匕+匕=1C.2+匕=1D.2v=1

34431615

2.（2020•深圳实验学校高二月考）在A4BC中，点4（一2,0）、点8（2,0）,且叫是

和|BC|的等差中项，则点C的轨迹方程是

题型二：根据方程表示椭圆求参数问题

22

3.（2021•全国高二课时练习）已知方程工+-=1表示椭圆，则实数k的取值范围是

22

4.（2021•全国高二）已知方程二+匚=1表示曲线C,则（）

4-tt—1

A.当l<t<4时，曲线C一定是椭圆

B.当t>4或t<l时，曲线C一定是双曲线

C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则l<t<|

D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，贝盘>4

4.【多选题】（2020•海南•高考真题）已知曲线C:.+九y2=1（）

A.若7H>72>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若租=九>0,则C是圆，其半径为返

C.若nm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为旷=土久

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

题型三：求椭圆的标准方程

5.求符合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）（过两点）过点（磬，百）和（竽，1）

（2）（共焦点）过点（-3,2）且与椭圆一+—=1有相同的焦点.

94

（3）已知焦点在x轴上的椭圆过点（鱼,1）,且离心率与椭圆次+片=1相同.

84

题型四：椭圆的定义及其应用

☆考查知识点：IPF/lPFzl的范围

6.（2021•全国高考真题）已知6，尸2是椭圆C:?+?=1的两个焦点，点M在C上，则

,IMF2］的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

7.（2021•全国）已知椭圆C：9+?=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点，定点

4（2,4）,则|P*一|PF|的最小值为（）

A.1B.-1C.V17D.-V17

X2V2

8.已知椭圆商+w=1上一点P的横坐标为2,F是椭圆的右焦点，则点P到点F的距离

为（）

83317

A.5B.C.D.

555

题型四：焦点三角形面积

22

9.（2023•全国•高三专题练习）已知P是椭圆会+卷=1上的点，取、尸2分别是椭圆的

PRPF2

左、右焦点，若g,则△耳「£的面积为（)

A.3A/3B.973C.73D.9

题型五：存在性问题

10.【多选题】（2023•全国•高三专题练习）点&,尸2为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存

在点P,使得尸鸟=90°,则椭圆C方程可以是（）

A.B.

2592516

CD.工+匚1

189169

题型六：点差法

22

11.（2022•全国•高考真题（理））椭圆C.•京+a=l（a>6>0）的左顶点为4,点

P,Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP,A2的斜率之积为：，则C的离心率为

（）

12.（2022•全国•高三专题练习）椭圆„亍2+y2=1,则该椭圆所有斜率为1纲弦的中点的

轨迹方程为.

22

12.（2022•全国高三专题练习）已知椭圆C；京+a=l（a>6>0）的长轴长为4,若点

P是椭圆C上任意一点，过原点的直线/与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜

-1

率分别为KPM，KPN,当KPM•KPN=—；时，则椭圆方程为（)

4

v1222-.2-,2-.2丫2

A.乙+匕=1B.±+匕=1c./+匕=1D.——I-y2=1

1644244/

题型七：离心率的计算

13.（2022•四川成都•高三期末（理））已知椭圆C.•捺+3=l（a>6>0）的的左，右

焦点分别为6、尸2，以坐标原点。为圆心，线段月耳为直径的圆与椭圆C在第一象限相

交于点4.若|A周42仙区|,则椭圆C的离心率的取值范围为.

22

14.（2021•全国高二课时练习）设椭圆C；京+翥=l（a>6〉0）的焦点为&尸2，P是椭

圆上一点，且N&PF2=g,若AfiPB的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当氏=

4r时，椭圆的离心率为.

2

15.（2021•全国高二期中）椭圆。：二+丫2=1的左、右焦点分别为儿尸2，。为坐标原点,

4

则以下说法正确的是（）

A.过点尸2的直线与椭圆。交于a,B两点，则△力BF1的周长为8

B.椭圆C上存在点P,使得丽•电=0

c.椭圆r的离心率为3

D.P为椭圆C上一点，Q为圆％2+y2=1上一点，则点p,Q的最大距离为3

22

16.（2021•全国高二单元测试）已知双曲线C；京—3=l（a>b>0）,4,4是其左、

右顶点，理?2是其左、右焦点，P是双曲线上异于4的任意一点，下列结论正确

的是（）

A.||P6|—|P4||=2a

B.直线P4,P4的斜率之积等于定值与

a2

C.使得APF1F2为等腰三角形的点尸有且仅有8个

,,匕2

D.△尸F］尸2的面积为tadAiP而

17.（2022•全国•高考真题（理））若双曲线/—，=1（爪>0）的渐近线与圆久2+y2_

4%+3=0相切，则m.

22

18.（2019•全国•高考真题（理））已知双曲线C;j一勺=l（a>b>0）的左、右焦点

a2炉

分别为心,尸2，过&的直线与c的两条渐近线分别交于a,B两点.若4A=AB,

耳B招8=0,则C的离心率为.

题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）

19.（2020•全国高二）对抛物线，y=工/下列描述正确的是（）

A.开口向上，焦点为（0,2）B.开口向上，焦点为（0,点）

1

C.开口向右，焦点为（2,0）D.开口向右，焦点为（5，0）

20.（2021•全国高二（文））点M（5,3）到抛物线丫=a/的准线的距离为6,那么抛物线

的标准方程是.

题型二：抛物线的弦长问题

21.（2021•河北运河•沧州市一中高二开学考试）已知直线旷=做%—2）（k>0）与抛物

线C:*=8比相交于2,B两点，F为抛物线C的焦点.若［4尸|=6,则|AB|等于（）

A.7B.8C.9D.10

22.（2021•富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线*=2px（p>0）第一象限内一

点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为（）

A.-\/3B.t］C.+V3D.土日

23.（2020•江苏高二课前预习）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为无=-1,

过其焦点F的直线1与抛物线C交于4,B两点,若直线/的斜率为1,则弦48的长为

()

A.4B.6C.7D.8

24.（2021•陕西汉中•高二期末（文））已知抛物线产=2px（p>0）的焦点为F,.0

过F的直线I交抛物线于2,B两点,且看:=2而，则I的斜率为（）

A.±1B.+V2C.+—D.+2V2

——4

25.（2021•河北）已知点F为抛物线C:>2=4%的焦点，过点尸的直［线交抛物线C于2,8

两点，且而=1丽（1>1）|AB|=£,则t=（）

A.2B.3C.4D.5

26.（2023•全国•高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线f=4x上的两点A,B满足

XF=AFB（j<A<3）,则弦48的中点到C的准线的距离的最大值是（）

题型三：直线与抛物线的位置关系

27.（2021•全国高