高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第九章第1课椭圆

第1课椭圆

【考点导读】

1.掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简

单的几何性质；

2.了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理

一些简单的实际问题.

【基础练习】

1.已知AABC的顶点B、C在椭圆可+山=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一

个焦点在BC边上，则4ABC的周长是44

2.椭圆X2+4y2=1的离心率为1

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(—2/5,0),且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的

一八V2

标准方程是—+~

164

X2V21〜5

4.已知椭圆次+勺=1的离心率e则％的值为左=4或左=—a

5椭圆相+刀=1的焦点厂尸，P为椭圆上的一点，已知PFLPF,则的面

259121212

积为9—

【X例导析】

35

例1.(1)求经过点(一丁学，且9x2+4山=45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P(3,0)在该椭圆上，

求椭圆的方程。

【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位，即确定椭圆的焦点在哪轴上；

②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.

V2

解：(1)•••椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为一+尸=1(。＞人＞0),

由椭圆的定刈2________________________

2a=卜，+(”2+^(-|)2+(|-2)2=?师+，

...Q=10,又C=2,...Z72=Q2—。2=10—4=6,

-1-/7

V2X2<

所以，椭圆的标准方程为J+H=L

10o

(2)方法一：①若焦点在x轴上，设方程为之+==1(。〉匕〉0),•.•点P(3,0)在

Q2£?2

9元2

该椭圆上；.一=1即。2=9又。=3匕，，加=1,椭圆的方程为k+y2=1.②若焦点在y

。29

轴上，设方程为二+二=lQ〉b〉0)J.•点P(3,0)在该椭圆上.••3=1即枚=9又。=38,

〃2b2/72

V2

成=81.♦.椭圆的方程为%+丁=1

o19

方法二：设椭圆方程为-2+珍2=1(4>0,5>0,478).•.•点p(3,0)在该椭圆上

11X2一丫2X2

9A=1,即A=A，又。=3b_B=1或――,。2=81椭圆的方程为——+产=1或——+――=1.

9ol9o19

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为

上+==lQ〉b〉O),若焦点在y轴上，设方程为22+二=1(。〉"0),有时为了运算

方便，也可设为AX2+6y2=1,其中

A>0,B>0,A^B.

例2.设椭圆>总=1(。〉…)的左焦点、右焦点分别为小J点P在椭圆上,

方；=29,求证："勺l的面积S=^tanb

【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.

解：设贝〔又

PF=m,PF=n,S=mnsin20,FF=2c由余弦定理得

12212

2

(2c)=加2+〃2—2mncos20

22

(m+n)-2mn-2mncos0(2a)-2mn(l+cos20)于是

2加〃(l+cos29)=4〃2-4。2二4人2,所以

-2-/7

2b2_12b2.

mn=..............-,从而有S=—・-----------•sin2U=b7?tanUn

1+cos2021+cos20

【点拨】①解与△PFF?(P为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合

PF+PF=2a来浜能。②注意解题过程中的整体消元方法.

%2V2.

例3.点A、B分别是椭圆一片+；八=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆

3620

上，且位于1轴上方，PA1PFo

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于IMBI,求椭圆上的点到点M的

距离d的最小值。

【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要

注意椭圆上点坐标的X围.

解：(1)由已知可得点知一6,0),F(0,4)

设点p(x,y),则A户=(x+6,y),FP=(X-4,y)，由已知可得

X2V2

——+——=1

<3620

(x+6)(x-4)+y2=0

3

则2x2+9%—18=0,%=2或6.

35聒

由于V>0,只能x=于是丁二三一.

点P的坐标是(*1,)

(2)直线AP的方程是九-v'3y+6=0.

|m+6|

设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.

|m+61.

于是।2二)忸—6|,又一6WmW6,解得根=2.

椭圆上的点(X,y)到点M的距离d有

549

6?2=(%-2)2+)2=-4X+4+20——X2=—(%-—)2+15,

992

-3-/7

由于一6/机W6,...当x=■时,d取得最小值JIS'

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离X围问题，通常转化为二次函数值域问题.

例4.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全

长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱

宽1是多少？

(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设

计拱高h和拱宽1,才能使半个椭圆形隧

例4图

道的土方工程量最最小？

4单位：米,

兀

(半个椭圆的面积公式为S=/，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到。」

米)

X2V2

解：(1)如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5),椭圆方程为菽+a=1.

将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=上/,此时/=2a=«33.3.因此隧

道的拱宽约为33.3米.

(2)解法一:

X2V21124.521

由椭圆方程+--=1,得---+—-1-

Q2。2Q2。2

因为上+4.52〉2x11x4.5

即"299,且/=2。,//=瓦

。2b2ab

所以s=%=nab>99K

〒一〒•

当S取最小值时，有上=£=1,得。=11/力=%?

a2b222

止匕时/=2a=2272«31.1,A=Z7«6.4

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.

X2V21124.52।,81。2

解法二:由椭圆方程菽+记='得于是彳

a2-121

Q1121221_______

a2b2=_(。2-⑵+______+242)2—(2,1212+242)=81x121,

4a2-1214

1?l2

即ab>99,当S取最小值时，有〃2-121=----------,

Q2—121

_9笃

得〃二11J2,b二6_.以下同解一.

-4-/7

反馈练习：

1.如果X2+外;2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值X围是(0,1)

2.设椭圆的两个焦点分别为F、F,过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若4FPF为等腰

1、2212

直角三角形，则椭圆的离心率是嫄T

X2V2

3.椭圆封+-5-=1的焦点为F和F,点P在椭圆上.如果线段PF的中点在y轴上，那么|PF|

iZJ1211

是［PF?］的2倍

V2J10OS

4.若椭圆-=1的禺心率e=,则m的值为3或_

5m53

X2v2、/3

5..椭圆+-^-=1的右焦点到直线y=的距禺为a-

犬

6.与椭圆工2+一V2=1具有相同的离心率且过点(2,-&l)的椭圆的标准方程是%才2+<V2=1

43Qo

%2V2

7.已知数列AABC的两顶点A、C是椭圆运+去=1的二个焦点，顶点B在椭圆上，则

sin5_4

sinA+sinC5

8.椭圆器+?=1上的点到直线x+2y-<2=0的最大距离是而

X24

9.若动点(x,y)在曲线2==l(b>0)上变化，则xz2y的最大值为《彳+4(0<8<4)

4bl［2b324)

4.'52/5

10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为一J和一J，过「

点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出。和b(或a2和从)的值.从而求得椭圆方程.

解：设两焦点为八F,且/|=|=2,.

121I131213

从椭圆定义知2a=|PF|+|PF|=2V5.即Q

-5-/7

从『q〉知『马垂直焦点所在的对称轴,

所以在MAP尸尸中，sinZPFF=四

2112|PF|2

可求出2C=\PF\-COS-从而匕2=。2-C2=12

1261116d33

.%23y23x2yi

•,♦所求椭圆方程为石~+,=1或+---=1.

u.设p是椭圆£+山=1(。>1)短轴的一个端点，。为椭圆上的一个动点，求|pg的

最大值。

解析：依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=口+G-1£,又因为Q在椭圆上，

所以，X2=a2(l—y2),|PQ12=a2(1—y2)+y2—2y+l=(1—a2)y2—2y+l+a2,

11

=(1—a2)(y------)2—......+l+a2o

1一。21—。2

r-11〃2J-2-1

因为|y|Wl,a>l,若a2小,则■J----《1,当——时，|PQ|取最大值」——,