2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数，0，﹣，1.5中无理数是（）A． B．0 C．﹣ D．1.52．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞03．（3分）点A（2，1）在反比例函数的图象上，y的取值范围是（）A． B． C．1＜y＜4 D．1＜y＜24．（3分）一个多边形的内角和是540°，这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝80°（）A．80° B．70° C．60° D．50°6．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，盈三；人出七，每人出8钱，会多出3钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，下面所列方程组正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，且相交于F，已知AC＝4（）A．2 B．4 C． D．8．（3分）若m＜n＜0，且关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣m＝0（a＜0）的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣n＝0（a＜0）的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x29．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，AF，若∠ECF＝α，则（）A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°10．（3分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥2．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本题有6小题。每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：4x2﹣y2＝．12．（4分）从数﹣2，﹣1，3中任取两个．13．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则＝．14．（4分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O），点A，B，C都在格点上．15．（4分）如图，一次函数y＝x+2的图象与双曲线在第一象限交于点A（2，a），连接PA、PB，若S△PAB＝9，则点P的坐标为．16．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，GH是直径，GH⊥AC于点F，则BC•CD的值是．三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组：；（2）解方程：．18．为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．19．设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）．（1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：（2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值；20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圆的半径为．（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；（3）在（2）的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长．21．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．22．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）23．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值24．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．

2024年浙江省杭州市拱墅区文澜中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）实数，0，﹣，1.5中无理数是（）A． B．0 C．﹣ D．1.5【解答】解：是无限不循环小数，故选：A．2．（3分）若m＞n，则下列不等式中正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0【解答】解：A．由m＞n，那么A错误．B．由m＞n，推断出1﹣2m＜7﹣2n，故B符合题意．C．由m＞n，得mn，故C不符合题意．D．由m＞n，那么D错误．故选：B．3．（3分）点A（2，1）在反比例函数的图象上，y的取值范围是（）A． B． C．1＜y＜4 D．1＜y＜2【解答】解：∵y＝（k＞0），∴当x＞0时，y随x增大而减小，（4，1）代入y＝，∴y＝，将x＝3代入y＝得y＝，将x＝1代入y＝得y＝7，∴1＜x＜4时，＜y＜2，故选：A．4．（3分）一个多边形的内角和是540°，这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，∴这个多边形是五边形，故选：A．5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝80°（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：∵菱形ABCD，∴AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，∴∠C+∠ABD+∠CBD＝180°，∵∠C＝80°，∴，故选：D．6．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，盈三；人出七，每人出8钱，会多出3钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，下面所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：依题意得：．故选：C．7．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，且相交于F，已知AC＝4（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：∵AD、CE是△ABC的中线，∴F是△ABC的重心，∴EF：CF＝1：2，令EF＝x，则CF＝3x，∴CE＝EF+CF＝3x，∵∠ACB＝90°，∴CE＝AB，∵E是AB的中点，∴AE＝CE＝3x，∴AF2＝AE8﹣EF2＝8x3，∵AC2＝CF2+AF5，∴（2x）2+2x2＝43，∴x＝，∴AB＝2CE＝6x＝7．故选：B．8．（3分）若m＜n＜0，且关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣m＝0（a＜0）的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程ax2﹣2ax+3﹣n＝0（a＜0）的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+4﹣m＝0（a＜0）的解为x7，x2（x1＜x7），∴抛物线y＝ax2﹣2ax+8与直线y＝m的两交点的横坐标分别为x1，x2（x2＜x2），如图，∵关于x的方程ax2﹣5ax+3﹣n＝0（a＜8）的解为x3，x4（x7＜x4），∴抛物线y＝ax2﹣4ax+3与直线y＝n的两交点的横坐标分别为x3，x4（x3＜x4），如图，∴x2＜x3＜x4＜x5．故选：B．9．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，AF，若∠ECF＝α，则（）A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，∵EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF＝α，∵∠AFB＝β，∴∠AFE＝180°﹣α﹣β，∵∠ABF＝90°，∴∠BAF＝90°﹣β，∵AE＝CE，EF＝CE，∴AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β，∴α+β＝135°，故选：B．10．（3分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a≥2．其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：抛物线的对称轴为：，∵．∴2+m与7﹣m关于对称轴对称．∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x8＝2﹣m对应的函数值相等．∴①正确．当a＞0时，若2⩽x⩽4，当x＝3时，y＝2a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣8，当x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣2．∴﹣3a﹣5⩽y⩽﹣3．∵y的整数值有4个，∴﹣9＜﹣3a﹣5⩽﹣8．∴．∴②正确．设A（x8，0），B（x2，2），且x1＜x2．x4，x2是方程数ax2﹣7ax﹣5＝0的根．∴x4+x2＝4，．∴．∵AB⩽6．∴．∴a⩾3或a＜0（舍去）．又∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝16a2+20a＞2．∴a＞0或（舍去）．综上：a⩾1，∴③不正确．故答案为：A．二、填空题（本题有6小题。每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．【解答】解：原式＝（2x+y）（2x﹣y），故答案为：（5x+y）（2x﹣y）12．（4分）从数﹣2，﹣1，3中任取两个．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中其和为2的结果有7种，∴其和为2的概率是＝，故答案为：．13．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则＝6．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝5的两根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣6，∴＝（x1+x2）2﹣2x5x2＝4+2＝6．故答案为：6．14．（4分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O），点A，B，C都在格点上．【解答】解：如图，连接EA，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∴AE＝2cos30°•a＝a，EC＝a，则AC＝8a，∴AE2+CE2＝AC8，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，∴∠ECB＝180°，∴E、C、B共线，在Rt△AEB中，sin∠ABC＝＝＝．故答案为：．15．（4分）如图，一次函数y＝x+2的图象与双曲线在第一象限交于点A（2，a），连接PA、PB，若S△PAB＝9，则点P的坐标为（0，﹣1）或（0，5）．【解答】解：（1）一次函数y＝x+2的图象与双曲线在第一象限交于点A（2，∴a＝3+2＝4，∴k＝8a＝8，∴反比例函数的解析式为；由，解得或，∴B（﹣5，﹣2），令x＝0，则y＝5，∴C（0，2），∵S△PAB＝6，∴，∴PC＝4，∴点P的坐标是（0，﹣1）或（2．故答案为：（0，﹣1）或（8．16．（4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，GH是直径，GH⊥AC于点F，则BC•CD的值是108．【解答】解：∵AB＝AD，∴，∴∠ADB＝∠ACD，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC，∴，∵GH为⊙O的直径，GH⊥AC，∴AF＝FC＝AC，∵AB＝AD，AF＝AB，∴AB＝AD＝AF，∴AC＝4AD，∴＝，∵AE＝5，∴AD＝6，∴AB＝6，AC＝12，∴EC＝AC﹣AE＝7，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD，∵∠BDC＝∠BAC，∴△DEC∽△ABC，∴，∴BC•CD＝AC•EC＝12×9＝108．故答案为：108．三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解不等式组：；（2）解方程：．【解答】解：（1）解不等式①得：x⩽2，解不等式②得：x＞﹣1，∴原不等式组的解集为﹣6＜x⩽2；（2），去分母得：2＝2+2（x﹣1），解得：，当时，2（x﹣1）≠8，∴原分式方程的解为．18．为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），选择“采艾叶”的学生人数为：50﹣8﹣18﹣10＝14（人），补全条形统计图如图所示：（2）1000×＝160（人），答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要2间．19．设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）．（1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：（2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值；【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+7）a+1，当x＝﹣3时，y＝2，∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3；（2）当a＞0时，此函数是增函数，最大值为7，当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝8，解得，当a＜7时，此函数是，当x＝2时当x＝2时，一次函数y7＝2a+3a+7＝6，解得a＝1（不合题意，舍去），综上所述，．20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圆的半径为．（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1；（3）在（2）的条件下，求出线段AC扫过的区域图形的周长．【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），3），4），∴AB＝2，AC＝8，在Rt△BAC中，，∴△ABC的外接圆半径为，故答案为：；（2）如图，△A6BC1为所作图形；（3）∵BC＝＝，∴CC4弧长＝．AA1弧长＝π．∴线段AC扫过的区域图形的周长＝．21．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．【解答】（1）证明：∵点E在边AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，∴∠ADE＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∠BEC＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC；（2）如图2、如图3，分两种情况：设AE＝x，∵AB＝8，AD＝BC＝2，当△ADE∽△BEC时，∴＝，∴＝，解得x1＝7，x2＝4；△ADE∽△BCE时，∴＝，∴＝，解得：x＝6.5，综上，AE的长为1或4或2.5．22．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）【解答】解：（1）∵∠BAC＝24°，CD⊥AB，∴sin24°＝，∴CD＝ACsin24°＝30×0.40＝12cm；∴支撑臂CD的长为12cm；（2）过点C作CE⊥AB，于点E，当∠BAC＝12°时，∴sin12°＝＝，∴CE＝30×0.20＝6cm，∵CD＝12，∴DE＝，∴AE＝＝12，∴AD的长为（12+6﹣6．23．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位），水池2面积的最大值是9m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是C，E，此时的x（m）值是1或4；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣3）2+3，又∵﹣1＜0，∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，∵0＜x＜6，∴当8≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小7．故答案为：3≤x＜6；5；（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等x+4＝﹣x2+3