高中数学选择性必修第二册《数列知识点复习讲义》（含答案）

数列知识点复习讲义(含答案)

数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的

特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

1.数列是按一定蛆序排列的一列数，记作为,“2，。3……，简记｛%｝.

2.数列｛a,,｝的第〃项明与项数〃的关系若用一个公式%=/(〃)给出，则这个公式叫做这个数

列的通项公式。

3.数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

4、数列的递推公式：表示任一项凡与它的前一项4T(或前几项)间的关系的公式.

5、求数列中最大最小项的方法：最大(凡'"向最小(%*”向考虑数列的单调性

二'等差数列

1、定义：(1)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.

(2)符号表示：a”一。“_1=d(〃22)或a〃+i—a”=d(〃21)

2、通项公式：若等差数列｛4｝的首项是小公差是d,则=6+(“-1)2.

通项公式的变形：①4=%"+("-772"；②d=4~~—.

n-m

通项公式特点：an=dn+(4—d)

an=kn+m,(左，机为常数)是数列｛凡｝成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数a,A,6组成等差数列，则A称为。与人的等差中项.若6=比，则称匕为。与c

2

的等差中项.即a、b、c成等差数列<=>6=匕

2

4、等差数列｛%｝的基本性质(其中加,附,0,〃eN*)

(1)若加+n=p+q,贝■]am+an=ap+aqO

(2)an-am=(n-in)d

(3)2an=a,^m+an+m

5、等差数列的前九项和的公式

公式：①s"="（"「）；②

公式特征：S“=a1+（4）“，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

22

等差数列的前〃项和的性质：

①若项数为2”（〃eN*）,贝US2”="（%+a“+i）,且S偶-5奇="4,—=-^-.

'S偶。“+1

②若项数为2〃—1（〃eN*）,贝1JS2“T=（2”—I）4,且S奇—S偶=4,^=—

S偶〃-1

（其中s奇=〃4,s偶=5-1）%）.

③S.，52„-S„,53.一52”成等差数歹!1・

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：a向-*=d（常数）"eN*）n｛%｝是等差数列

②中项法：2an+l=an+an+2（"eN*）n｛%｝是等差数列

③通项公式法：an=kn+b（A/为常数）n｛%｝是等差数列

2

④前〃项和公式法：Sn=An+Bn（A,3为常数）n｛an｝是等差数列

三'等比数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：幺旦=展常数）

a“

2、通项公式

（1）、若等比数列｛%｝的首项是％,公比是“，则a〃=%q"T.

（2）、通项公式的变形：①a〃=a「；②广”=组.

am

3、等比中项：在。与6中插入一个数G,使a,G,6成等比数列，则G称为。与6的等比中

项.若G2=ab,则称G为a与Z?的等比中项.注意：。与Zj的等比中项可能是土G。

4、等比数列性质

若｛。“｝是等比数列，JLm+n=p+q（m、n、p、qeN*）,则・%=%,•%;

若｛。“｝是等比数列，且2"=夕+q（九、p、qeN*）,则可；=4•%.

5、等比数列｛4｝的前几项和的公式:

nax(q=1)

(1)公式：Sn=<q(IT)

%—4M(E)

、i-qi—q

（）公式特点：1i(1_q")=k(l-q")=A-Aq"

2»sn

（3）等比数列的前几项和的性质：①若项数为2M“eN*）,则也=心

②Si=S"+q".Sm.③%S2n-Sn,%-邑“成等比数列（S,尸0）.

6、等比数列判定方法：

①定义法：-=q（常数）=｛%｝为等比数列；

2

②中项法：an+l-an-an+2（%w0）=>｛%｝为等比数列；

③通项公式法：（左,q为常数）=｛4｝为等比数列;

④前〃项和法：S“=kQ-qn）（左，4为常数）=｛4｝为等比数列。

四、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列等比数列

定义«„-«„=d(d为常数，n>2)3=q（qwO,且为常数，”三2）

+1a

n

递推

a=%q

公式n

通项

〃)或〃nx

an=q+(-Vda“=am+(-m)dan=aYq~(q,qw0)或。〃=。加4〃“

公式

a,b,c成等差数列的充要条件：

中项a,4c成等比数列的充要条件：b2=ac

2b=a+c

前nd[(q-1)

n①SL

项1-ql-q

和：

IO

IQ

7J+2

/

、-

dwd-

I-1-

I-+1-

-1-

/2r2-

①=〃根+（〃一加）2

②等和性：若加+〃=〃+q（加、n、p、

①4=4寸

q£N*）,

重

②等积性：若m+n=p+q（m,n,p、qeN*）,

则金+%=%+%

要

贝"4=%q

性③若2n=p+q（几、p、4eN*）,贝!j

质③若2n=p+q5、p、qeN*）,则a；=4•4

2an=ap+aq.

④ShS2左-Sb$3欠-$2"-构成的数列是等比数列.

④-o,<?-o构成等

Qk©2k口k©3k2k

差数列.

卜1>。或31<00{。}递增数列；

设d为等差数列{〃/的公差，则

[q>1[0<夕<1

单

d〉0O{〃〃}是递增数列；<「或"：1°o{aj递减数列；

调

d〈0O{〃〃}是递减数列；

性：q=l<=>{〃/是常数数列；

d=0O{〃”}是常数数列.

q<0<=>{〃/是摆动数列

证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：

L定义法="（常数）

证1.定义法—=4（常数）

4

2.中项法%+a=2a（〃>2）

明n+1n

2.中项法an_x-an+l=a；（n>2）

方

3.通项公式法：qn=pn+qQp,q为常数）

n

法3.通项公式法：a=Aq（A,q为不为o的常数）

4.前n项和公式法：$=A〃2+5〃（A,B为常

»n

4.前n项和公式法：S"=Bq〃一B（4工0应力18片0）

数）

三数等比：3,aq或a,aq.aq1

三数等差：a—d,a,a+d

设元

q

技巧

四数等差：a—3d,a-d,a+d,a+3d73

四数等比：a.aq.aq,aq

五'基本题型

一'数列的概念

题型一：数列与函数的关系

例1已知数列｛。”｝的通项公式为a〃=—2层+21〃，则该数列中的数值最大的项是（）

A.第5项B.第6项

C.第4项或第5项D.第5项或第6项

2+—,因为5Vm<6,且%=55,&=54,最大第5项.

解：an=-2n+21n=-2

变式

1.数列｛%｝的通项公式为*=3"-28〃，则数列各项中最小项是（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

2.已知数列｛%｝是递增数列，其通项公式为%="2+4〃，则实数力的取值范围是

3.已知%——（neN、则在数列｛4｝的最大项为_;

题型二：利用S〃与斯的关系求通项公式

S1n-\

公式：〃〃

S[rl=1]+%4+/D+•••+f”l=5a,I.2.ai

1=1sn-sn>2

例.已知数列｛aJ的前〃项和S“=3"-2,求其通项公式.

解析：当〃=1时吗=S]=31-2=1,

当〃22时,%=-Si=(3”-2)-(3〃T-2)=2・

1

又见=1不适合上式，故/=[1(〃=1)

12-3"T(n>2)

变式

1.若数列｛%｝的前n项和为S”=〃2,贝I」()

A.an=2n-lB.an=2n+1C.an=-2n-1D.an=-2n+1

n

2.已知数列｛%｝的前n项和Sn=3+2,贝ljan=

3.已知数列的S”=+九+1,则。8+a9+%0++a12=°

4.数列\an｝的前n项和S”="一4”+1,,则

二'等差数列

题型一利用定义法求等差数列的通项公式

例.已知数列｛«“｝满足％=(，。用=匕，则％必=()

2%十1

A.-^―B.-^―C.-^―D.-^―

2019202020212022

解：因为。用=%,则--J"，又则｝=2，

所以数列｛；｝是首项为2,公差为1的等差数列，所以;="+1,所以%=」：，则

ana„n+\

%⑼=2021+1=2022•故选：D

变式

1.在数列｛%｝中，%=2,2%+]-26=1,则％01的值为()

A.49B.50C.51D.52

2.在数列｛%｝中，/=2,%=1.若为等差数列，则4=()

432

A.-B.-C.-D.上

3.已知数列｛。“｝满足。用=・，贝1]%。23=()

2%十1

A.—B.—C.—D.—1―

2021202220232024

题型二：等差数列的通项公式及其应用

B

例.在等差数列｛。"｝中4=2,a2+«3=13,则知+出+Q等于()

A.40B.42C.43D.45

解：a,+%=2tZj+3d=4+3d=13d=3,a5=2+4x3=14,a4+a5+a6-3tz5=42

变式

1.等差数列｛%｝中，aio=3O,a20=50,则通项a“=;

2.已知｛为｝是首项为1,公差为3的等差数列，如果以=2023,则序号〃等于()

A.667B.668C.669D.675

3.在数列｛。,｝中，％=1,%+「3=a“，若％=2020,则〃=()

A.671B.672C.673D.674

4.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

题型三：等差中项及应用

例.在等差数列｛a〃｝中，。1+。4+。7=58,。2+。5+。8=44,则的+期+他的值为（）

A.30B.27C.24D.21

【详解】设。1=。1+。4+。7=58,。2=。2+。5+。8=44,匕3=。3+。6+。9.

因为｛斯｝是等差数列,所以仇,bl,。3也是等差数列，得历+优=2岳,

所以。3=2岳-01=2x44-58=30,即。3+<%+。9=30.故选：A

变式

1.已知｛%｝是等差数列，且4T是电和4的等差中项，则｛%｝的公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.在等差数列｛%｝中，的+。6=18-qo，则为+4=（）

A.8B.12C.16D.20

3.数列｛a“｝为等差数列，出与&的等差中项为5，%与火的等差中项为乙则通项等于

题型四：等差数列性质的应用

例.在等差数列｛%｝中，33=2,/+%+2%o=24,贝(Ja9等于()

A.14B.12C.10D.8

【详解】因为24=%-%=2,所以公差d=l,又因为生+。5+2«1()=2。4+2%=4%=24,所以的=6,

所以。9=%+24=8,故选：D.

变式

1.在等差列｛〃[｝,%+2%+3〃3+4g=100,贝U%+/+/+&+%=()

A.100B.75C.50D.25

2.已知正项等差数列｛4｝,若W+a；=85,%+4=11,则氏=(C)

A.1B.2C.«D.2n-l

三'等差数列的前〃项和

题型一：等差数列前〃项和的有关计算

例.在等差数列｛a〃｝中:

(1)已知为+4o=58,%+佝=5。，求Ho；(2)已知S7=42,5“=510,。“_3=45,求”.

a+a=2q+131=58%=3

解：（1）由已知条件得xw,解得

a4+a9=2%+1W=50d=4

Ho=10q+吆孚ad=10x3+3x4=210；

(2)邑=7(。；%)=7-42,.,^=6,*J"%)=J(675)增。,,,w=20.

变式

1.在等差数列中，Sn=22,则&=；

2.数列｛4｝是等差数列，%=7,则$7=

3.在等差数列｛4｝中，若%+。9+%5+%1=8，则$23=

4.在等差数列｛分｝中，已知44+48=16,则该数列前11项和Sll=()

A.58B.88C.143D.176

5.记S“为等差数列｛q,｝的前〃项和.若%+%=24,S$=48,则｛%｝的公差为()

A.1B.2C.4D.8

6.已知数列｛%｝是等差数列，为。=10,其前10项的和又)=70,则其公差d等于()

A--B.--C.-D.-

3333

7.等差数歹U｛”“｝中,%+%+。7=39,%+。6+。9=27,则数列｛"“｝前9项的和邑等于()

A.66B.99C.144D.297

8.数列｛%｝的通项册=2〃+1,则由+4(〃CN*),所确定的数列出｝的前九项和

是__________

9.设S,为等差数列｛*｝的前。项和，§4=14,SIO-S7=3O,则S9=.

10.在等差数列｛。〃｝中，。5=0.3,tZ12=3.1,求《8+。19+%0+。21+a22的值。

11.^［歹U｛。“｝中，％—1,<2,=2+3,%=4+5+6,%=7+8+9+10....,那么—___

12.设等差数列｛为｝的前〃项和为利,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n

>6),则a9+aio=_

题型二：等差数列片段和的性质

例.记等差数列｛凡｝的前"项和为S”，已知$5=5,&=21,则%=(C)

A.9B.10C.12D.13

【详解】因为S,,是等差数列｛4｝的前〃项，由等差数列前〃项和的性质可知:

Ss，Sw-S5,&-小成等差数列,所以2(%-S5)=S5+(Si5F),即2(%-5)=5+(21-%)，解

得：&=12,故选：C.

变式

1.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若以=2,S2,=8,则%=()

A.28B.32C.16D.24

2.等差数列的前。项和为25,前2“项和为100,则它的前3n和为。

3.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若邑=9,$6=36,则%+/+%=()

A.63B.45C.36D.27

题型三：等差数列前〃项和与n的比值问题

例.在等差数列｛%｝中，％=-2018,其前〃项和为S“，若*乎2,贝3。=()

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

解：设等差数列｛%｝的前〃项和为S“=A"2+即，则j=

n

所以［工］是等差数列.因为普-亲=2,

所以［%的公差为1,又m=?=-2018,

所以是以-2018为首项，1为公差的等差数列，

所以益=-2018+2019x1=1,所以52必=2020故选：C

变式

1.在等差数列｛%｝中，%=-2018,其前〃项和为S“，若♦七=5,贝"期=()

A.0B.2018C.-2019D.2020

2.已知数列｛”“｝的通项公式是%=1-2〃，前〃项和为s“，则数列的前n项和为

A.-45B.-50C.-55D.-66

3.设S“是等差数列｛凡｝的前九项和，若"=；，则"=()

$63Sl2

题型四：两个等差数列前八项和的比值问题

例.已知等差数列｛叫与等差数列间的前〃项和分别为S“和r”，若率=整|,则会=

)

1

n十''io

(q+〃19)X19

【详解】因为尹短，则A伍舄而寸=*=*故选：c

2

变式

s

1.已知等差数列｛凡｝和也｝的前”项和分别为S.和T”，且有为+%=2,64+%=8,则黄的值为

79

()

A."B.-C.2D.3

64

2.已知数列｛%｝、间都是等差数列，设｛叫的前〃项和为九｛2｝的前〃项和为4.若*=n,

则户()

%

3.设｛明｝与｛么｝是两个等差数列，它们的前几项和为S“和T,,,若&=网上1,那么2=

Tn4〃一3b“

题型五：等差数列前"项和的最值问题(二次函数、不等式)

例.设S”是等差数列｛4｝(〃eN*)的前"项和，且"AS,>',则下列结论正确的有()

A.品>0B.&<0C.S13>0D.Ss>S6

【详解】因为等差数列｛%｝的前〃项和S.=32+1q，，

所以由臬>邑>55可知，d<0,抛物线开口向下，其对称轴在(6,6.5)之间,

所以抛物线与x轴正半轴交点的横坐标范围是(12,13),

结合二次函数的图象和性质可知品>0；兀>0；/<0；国<臬.故选：A

变式

1.已知｛斯｝为等差数列,』+的+。5=105,。2+。4+疑=99,以S”表示｛而｝的前〃项和,则

使得S”达到最大值的〃是（）

A.21B.20C.19D.18

2.已知等差数列｛%｝满足%=7,%=3,S“是数列｛风｝的前〃项和，则使S“取最大值的自然数〃

是（）

A.4B.5C.6D.7

3.在等差数列｛4｝中，q=T0,d=2,要使前n项和取得最小值，则n等于（）

A、5B、6C、7D、5或6

4.等差数列｛”“｝中，q=25,S9=S17,问此数列前项和最大？并求此最大值__o

｛｝

5.在等差数列4中，<710<0,t/n>0,且S”是其前〃项和，则

A、SpS?..%都小于0,%,几都大于OB、H.S?.几都小于0，S20,S21都大于0

B、工,邑S5都小于0,S6,S,都大于0D、HSS20都小于0，S21,S22.都大于0

题型六：等差数列前〃项和偶数项和奇数项和与绝对值问题

例.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,若％=1,an+an+l=n,则（）

A.邑=2B.$24=144C.%=243D.$60=660

【详解】数列｛%｝的前〃项和为S“，若4=1,an+an+1=n,

可得：a2=0,an_,+an=n-1,邑=1,所以A不正确；

可得知可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1,

.・.S24=1+2+3+4+…+12+0+1+2+3+…+11=144,所以B正确；

S3I=1+2+3+4+---+15+0+1+2+3+---+15=241^243,所以C不正确；

S6G=1+2+3+4H-----+30+0+1+2+3+-----+29=900,所以Z）不正确；故选：B.

变式

1.已知等差数列｛g｝的公差为4,项数为偶数，所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,

则这个数列的项数为

A.10B.20C.30D.40

2.已知数歹！］｛%｝的前〃项和="—4〃，则同+闷+…+%］的值为（）

A.68B.67C.65D.56

3.已知数歹!）｛叫的前n项和5“=/一4〃，求同+同+…+|4|的值

四、等比数列

题型一：等比数列中的基本运算

例.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”,04—<71=78,53=39,设0"=log3。"，那么数列｛瓦｝

的前10项和为（）

69

A.log371B.—C.50D.55

解：设等比数列｛m｝的公比为q,由44—m=78得0（屋-1）=78,又S3=m（l+q+『）=39,

解得ai=q=3,故丽=3",所以况=log33"=〃，

所以数列｛况｝的前10项和为1+2+3++10=l0x（；+l°）=55.故选:D.

变式

1.若数列｛““｝是等比数列，4=1,%=8,则%+4=（)

A.16B.32C.48D.64+1280

2.已知等比数列｛4｝中,2=1,02=4+24,则%=（)

A.1B.|C.—D.@

2442

3.在等比数列｛氏｝中，^+«3=10,«4+«6=|,则数列｛4｝的通项公式为（）

4nn33n

A.an=2_B.4=C.an=2_D.an=2-

4.在等比数列｛%｝中，〃5+〃6=〃（〃WO），〃15+。16=8，则。25+。26的值为（）

bbb2b

AA.一B.（一）2C・—D.—-

aaaa

5.数列｛%｝中，若为=1,an+1=2an+3（H>1）,则通项%=

题型二：等比中项的应用

例.已知数列｛4｝是等差数列,%=2,其中公差d/o,若4是由和a的等比中项，则，=()

A.398B.388

C.189D.199

解：数列｛4｝是等差数列，4=2,其中公差dwo,同是的和a的等比中项,

二(2+44)2=(2+24)(2+7"),化为d(d-l)=O,d#0.所以d=l,则%=18x2+竺/xl=189.选:C.

变式

1.已知各项均为正数的等比数列｛%｝中，。2a4+2。3a5+4%=25,则%+%等于()

A.5B.10C.15D.20

2.已知等差数列｛%｝的公差dwO,且%,%,为成等比数列，则：：：［?=()

A.B.-C.-D.-

16131316

3.公差不为零的等差数列｛a,J的前〃项和为S”.若%是。3与％的等比中项，工=32,则4=

A.18B.24C.60D.90

题型三：等比数列的证明

例.已知数列｛斯｝的前九项和为S”,且S”=〃-5aL85,nGN*.

(1)证明：｛以一1｝是等比数列；(2)求数列｛丽｝的通项公式.

解：(1)证明'：Sn=n-5a,-85,.•.S〃+i=(〃+l)—5外+1—85,

两式相减得：an+i=l+5ow—5a”+i,整理得：an+i=^an-\-7,

66

an+\-1=7(a”-1),又=1-5al—85,即ai=-14,.".tzi-1=-14—1=—15,

6

•••数歹!J｛以一1｝是以一15为首项，，为公比的等比数列.

(2)由(1)可知a”一1=—,"=1—15x1|」.

变式

1.已知S“是数列｛叫的前〃项和，且S“=2a“+〃-4.

(I)求生的值，若2=%T,试证明数列｛2｝为等比数列；(II)求数列｛%｝的通项公式.

题型四：等比数列的性质及其应用

aa

例.等比数列｛aj的各项均为正数，且a5a6+47=6,贝(Jlog3ax+log3a2++log3aXQ=()

A.10B.5C.4D.2+log35

解：因为a5a6+%%=6,a5«6=«4«7,所以4%=3,所以

5

logs6+1083%++log3a10=log3（a1-a2--«1（,）=log3（a4a7）=5Iog3（a4«7）=5log33=5：B

变式

1.在等比数列｛%｝中，若%•%+牝"6=20,则此数列的前10项之积等于（）

A50B.20'°C.105D.1O10

2.各项均为正数的等比数列｛%｝中,若%,4=9,则logsq+log3a2++log3«io=_0

3.在等比数列｛%｝中,S“为其前n项和，若S30=13SIO，S]O+S3O=140,则S?。的值为

4.若｛凡｝是等比数列，且必=3"+r，则r=

5.设等比数列｛6｝的公比为q,前〃项和为S“,若S〃M，S〃,S〃+2成等差数列，则4的值为—

题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）

例.已知数列｛%｝是首项不为零的等比数列，且公比大于0,那么“4>1”是“数列｛%｝是递增数

列”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【详解】因为等比数列的通项公式为%=。4一，

当4<0,时，数列｛%｝为递减数列，即充分性不成立；

当“数列｛%｝是递增数列”时，可能是4<0,。<"1,即必要性不成立；

即“4>广是“数列｛%｝是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.

变式

27

1.已知｛%｝为等比数列，的3%=27,5a4a6=『以（表示的前〃项积，则使得看达到最

O

大值的〃是（）

A.4B.5C.6D.7

2.已知公比4*1的等比数列｛4｝的前〃项和为则下列结论一定成立的是（）

A.右。5>°，贝U“2016<°B.若丹〉0,贝口刈6>0

C.若4＜。，则。2016＜0D.若g＜。，则邑86＞。

五'等比数列"项和

题型一：等比数列前〃项和公式的基本运算

例.已知等比数列｛见｝的前6项和为詈，公比为则,=()

7333

A.—B.-C.jD.24

848

解：根据题意，等比数列｛%｝的前6项和为詈，公比为

则有"=半5=竽，解可得%=24,则6=府卷故选：B.

1-q44

变式

1.设正项等比数列｛%｝的前几项和为S,,若邑=3,«3+«4=12,则公比q等于().

A.1B.2C.3D.4

2.设等比数列｛a,J的公比q=2,前n项和为S“，则&=()

%

1517

A.2B.4C.—D.—

22

3.设等比数列｛凡｝前〃项和为S.，若S3+S6=2S9,求数列的公比4

4.^(«)=2+24+27+210+-+23n+10(neN*),贝炉(〃)等于()

2222

A—(8"—1)B.-(8,,+1-l)C.-(8n+3-l)D.-(8"+4-l)

7777

题型二：等比数列的判断和性质的应用

例.设等比数列｛%｝前九项和为S",若§3=8,56=24,则aio+an+ai2=()

A.32B.64C.72D.216

【详解】

由于S3、S6—S3、S9—S6,S12—S9成等比数列，S3=8,S6—S3=16,故其比为2,

所以Sg—5e=32,aio+au+oi2=Si2—Sg=64.故选：B.

变式

1.已知数列｛%｝是等比数列，S.为其前九项和，若％+%+%=4,/+%+&=8,则几=()

A.40B.60C.32D.50

2.设S“是等比数列｛%｝的前〃项和，若宗=3,则()

73、

A.2B.—C.伍D,1或2

3.已知数列｛%｝是等比数列，且=10,S2m=30,则S3„,=—

4在等比数列｛”,｝中,%+4=124,%%=-512,公比q是整数,则可。=—;

5.在等比数列｛a“｝中，若%,%（；是方程3/-2%-6=0的两根，则%•%=.

题型三：等比数列奇偶项和的性质

例.已知等比数列｛《,｝共有32项，其公比4=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列｛■

的所有项之和是（）

A.30B.60C.90D.120

【详解】设等比数列他」的奇数项之和为偶数项之和为邑，

贝|S[=%+%+/++%%++%,=q（q+q+a5++4i）=3S1

又风+60=5,则1+60=35-解得SI=30,邑=90,故｛4｝的所有项之和是30+90=120.故选:D

变式

1.已知等比数列｛%｝中，4=1,4+/++%+1=85,g+%+，+。21t=42,贝心=（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这

个数列的公比和项数分别为（）

A.8,2B.2,4C.4,10D.2,8

数列知识点复习讲义一教师版

数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的

特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

1.数列是按一定蛆序排列的一列数，记作为,“2，。3……，简记｛%｝.

2.数列｛a,,｝的第〃项明与项数〃的关系若用一个公式%=/(〃)给出，则这个公式叫做这个数

列的通项公式。

3.数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

4、数列的递推公式：表示任一项凡与它的前一项4T(或前几项)间的关系的公式.

5、求数列中最大最小项的方法：最大(凡'"向最小(%*”向考虑数列的单调性

二'等差数列

1、定义：(1)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.

(2)符号表示：a”一。“_1=d(〃22)或a〃+i—a”=d(〃21)

2、通项公式：若等差数列｛4｝的首项是小公差是d,则=6+(“-1)2.

通项公式的变形：①4=%"+("-772"；②d=4~~—.

n-m

通项公式特点：an=dn+(4—d)

an=kn+m,(左，机为常数)是数列｛凡｝成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数a,A,6组成等差数列，则A称为。与人的等差中项.若6=比，则称匕为。与c

2

的等差中项.即a、b、c成等差数列<=>6=匕

2

4、等差数列｛%｝的基本性质(其中加,附,0,〃eN*)

(1)若加+n=p+q,贝■]am+an=ap+aqO

(2)an-am=(n-in)d

(3)2an=a,^m+an+m

5、等差数列的前九项和的公式

公式：①s"="（"「）；②

公式特征：S“=a1+（4）“，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

22

等差数列的前〃项和的性质：

①若项数为2”（〃eN*）,贝US2”="（%+a“+i）,且S偶-5奇="4,—=-^-.

'S偶。“+1

②若项数为2〃—1（〃eN*）,贝1JS2“T=（2”—I）4,且S奇—S偶=4,^=—

S偶〃-1

（其中s奇=〃4,s偶=5-1）%）.

③S.，52„-S„,53.一52”成等差数歹!1・

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：a向-*=d（常数）"eN*）n｛%｝是等差数列

②中项法：2an+l=an+an+2（"eN*）n｛%｝是等差数列

③通项公式法：an=kn+b（A/为常数）n｛%｝是等差数列

2

④前〃项和公式法：Sn=An+Bn（A,3为常数）n｛an｝是等差数列

三'等比数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：幺旦=展常数）

a“

2、通项公式

（1）、若等比数列｛%｝的首项是％,公比是“，则a〃=%q"T.

（2）、通项公式的变形：①a〃=a「；②广”=组.

am

3、等比中项：在。与6中插入一个数G,使a,G,6成等比数列，则G称为。与6的等比中

项.若G2=ab,则称G为a与Z?的等比中项.注意：。与Zj的等比中项可能是土G。

4、等比数列性质

若｛。“｝是等比数列，JLm+n=p+q（m、n、p、qeN*）,则・%=%,•%;

若｛。“｝是等比数列，且2"=夕+q（九、p、qeN*）,则可；=4•%.

5、等比数列｛4｝的前几项和的公式:

nax(q=1)

(1)公式：Sn=<q(IT)

%—4M(E)

、i-qi—q

（）公式特点：1i(1_q")=k(l-q")=A-Aq"

2»sn

（3）等比数列的前几项和的性质：①若项数为2M“eN*）,则也=心

②Si=S"+q".Sm.③%S2n-Sn,%-邑“成等比数列（S,尸0）.

6、等比数列判定方法：

①定义法：-=q（常数）=｛%｝为等比数列；

册

2

②中项法：an+l-an-an+2（%w0）=>｛%｝为等比数列；

n

③通项公式法：an=k-q（左国为常数）n｛a“｝为等比数列；

④前〃项和法：S"=左（1-/）（左国为常数）0｛4｝为等比数歹％