浙江省嘉兴市2023-2024学年高二年级上册期中联考数学模拟试题（含答案）

浙江省嘉兴市2023-2024学年高二上学期期中联考数学

模拟试题

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3.所必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

22

1.若椭圆土+匕=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5,则点M到另外一个焦点的距离（）

369

A.6B.7C.8D.9

2.已知向量a=,b=（2,x,4）»且1_16,则实数1的值是（）

A.1B.2C.3D.4

3.若直线/的一个方向向量:=则/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知圆G：Y+y2=l与圆G：（x+3）2+（y+4）2=16,则两圆的公切线条数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点为45,则以力B为直径的圆的方程为（）

A.%?+—3x-4）—0B./+j/2—4x—3y-0

C.x2+y2+3x+4y=0D.x2+y2+4x+3y=0

6.正方体ZBCD—44GA中，二面角4-"A-4的余弦值为（）

R屈

V23D.----

AC.03

2一D.—

3

7.已知点尸为椭圆C:[+2=l的右焦点，点?是椭圆C上的动点，点。是圆M：（x+3）2+/=l上

2516

PF

的动点，则再■的最小值是（）

2

AB.一D

-i9-I-I

8.如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在

地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为（）

由百

3B.

AC.@V

2D.

2

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.直线/经过点（2,-3）,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程可能是（）

A.3x+2y=0B.2x+3y=0C.x-y-5=0D.x+y+l=0

10.在空间直角坐标系。肛z中，点0（0,0,0）,，（-2,-1,1）,5（3,4,5）,下列结论正确的有（）

A.网=3若

B.向量刀与历的夹角的余弦值为-当

6

C.点A关于Z轴的对称点坐标为

1ULHT

D.向量9在砺上的投影向量为-历08

11.如图，在四棱锥S-N3CO中，底面4BCD为正方形，AB=2,底面48c点E、尸分

别为SC、的中点，若线段⑼上存在点G,使得GELG尸，则线段SD的长度可能值为（）

A.3B.4

C.5D.6

22

12.画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C:三+鼻=1(。>方>0)中，任意两条互

相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算

术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为/+产=片+好.已知椭圆C的离心率为如，

3

点48均在椭圆C上，直线/：bX+ay-4=0,则下列描述正确的为()

A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为6

B.若/上恰有一点尸满足：过尸作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为土+才=1

3•

C.若/上任意一点。都满足7•柒>0,则6>1

D.若&=1,椭圆C的蒙日圆上存在点/满足阳1MB,贝面积的最大值为立

2

非选择题部分

三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知椭圆反+片=1的一个焦点是(2,0),则左的值为

5k-

14.已知实数满足x-2y+4=0,则尸了的最小值为一.

15.已知点48分别为圆M：(x+4y+(y_l)2=l与圆N:(x-2)2+(y-7)2=4上的动点，点尸为X轴上

的动点，则|「/|+|心|的最小值为一.

16.已知正方体NBCD-4BCQi的棱长为2,E,尸分别为明，4。的中点，点P在正方体表面上

运动，若直线。P〃平面则点尸的轨迹长度为一.

四、解答题：(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知直线x-y-l=0和直线x+2>+2=0的交点为尸

(1)求过点P且与直线x-2y+l=0平行的直线方程；

(2)若点尸到直线/：见+>+加=。距离为后，求加的值.

18.如图，直三棱柱48。-/百G，AC=BC=CCl=2f,点“是线段的中点.

C.4

BM

(1)证明：平面MCG，平面/2月4.

(2)求异面直线CA与BXM所成角的余弦值；

19.已知圆C.(尤-3『+(y-4)2=4

(I)若直线/过定点/Q,0)且与圆c相切，求直线/的方程；

⑵若直线/：履-了-2左+3=0与圆c交于48两点，求H却的最小值.

20.已知椭圆C:[+，=l(a>6>0)的离心率6=手，且椭圆C经过点，,

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点尸(2,0)且斜率不为零的直线与椭圆C交于8,。两点，3关于x轴的对称点为A,求证：直

线4D与x轴交于定点。.

21.已知空间几何体45CDE尸，底面/BCD为菱形，NDAB=6G,EFHAB,AE=DE,AB=2,

umriuir__.i__.

EF=1,平面/OE，平面/BCD,BM=-BF,AN=-AD.

32

(1)求证：ENIBC；

(2)若直线AE与平面ABCD所成角为60°,求直线AM与平面BCF所成角的正弦值.

22.已知椭圆T：3+/=I,耳、月为椭圆的左右焦点，C、。为椭圆的左、右顶点，直线

/:了=gx+机与椭圆T交于A、8两点.

⑴若加=-g,求|/同；

k

(2)设直线和直线8C的斜率分别为左、k2,且直线/与线段片外交于点求1的取值范围.

1.B

【分析】根据椭圆的定义进行求解.

【详解】由椭圆方程可知/=36,解得〃=6.

又椭圆上一点M到两焦点的距离和为24=12,

所以河到另一个焦点的距离为12-5=7.

故选：B

2.A

【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为力=(2,x,4)，

所以。•Z?=—6+2x+4=0，解得x=l，

故选：A

3.C

【分析】利用方向向量可求得其斜率为左=-百，即可求得倾斜角6=120。.

【详解】由方向向量为；=(l,-g)可知，直线斜率为左=手=-6,

所以倾斜角。满足左=tan。=-g,即可得6=120°.

故选：C

4.C

【分析】根据圆的方程可确定两圆圆心和半径，易得圆心距等于两半径之和，即可得两圆外切,

所以可得两圆有3条公切线.

【详解】易知圆G的圆心为G(0,0),半径〃=1,

圆C2的圆心为Q(-3,-4),半径々=4,

易知两圆圆心距,Cl='3?+4?=5,两半径之和为=5,

即满足|GG|=4+4=5,此时两圆外切，

因此两圆有3条公切线.

故选：C

5.A

【分析】根据48点坐标写出以为直径的圆的方程即可.

【详解】直线以+3了-12=0与两坐标轴的交点为/(3,0),8(0,4),

贝同=J32+42=5,

则以AB为直径的圆半径为圆心即为48中点坐标为(I，，

所以以为直径的圆的方程为1-1J+(y-2『=仁：，

化简得+y2-3x-4y=0

故选：A

6.D

【分析】依题意建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量后可得所求二面角的余弦值.

【详解】分别以为'J/轴建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1,可得2(0,0,1)出(1,1,1),40,0,1),1(1,0,0),

UULU.UULIH

=(-1,0,1),^=(-1,-1,0),

-/、n-AD,=0J

设〃=(xj,z)是平面4月2的一个法向量，则一」,即

-x-j=0

hBxDx=0

取x=],得y=Tz=i,故〃=(1,-1,1),

又±平面442,故平面/由2的一个法向量为=(o,o,i),

uuir「n

所以cos〈44],“〉=

r；1x6_3，

所以二面角的余弦值为由.

3

故选：D.

7.B

PF

【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得近的最小值.

【详解】如下图所示：

则尸(3,0),

圆V:(x+3>+/=1的圆心M(-3,0),半径厂=1,

圆心M(-3,0)为椭圆C的左焦点，由椭圆定义可得|尸尸|+|尸叫=2“=10,

\PF\=^IO-\PM\,

由椭圆的几何性质可得”c引而归。+c,即2V\PM\<8,

由圆的几何性质可得\PQ\<\PM\+\QM\=\PM\+1,

^PF>\PF\10-W_n__

PQ~\PM\+1\PM\+1\PM\+l~8+19)

PF2

所以历■的最小值是

故选：C.

8.D

【分析】由图可得，求出椭圆的凡6,再代入离心率公式，即可得到答案;

【详解】由图可得，椭圆的2b为球的直径，故26=24nb=12,

~/—--2-4----2-4->a——24

椭圆的2a为球在地面投影45,故一sin600一百一百，

2

故选：D.

9.ACD

【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解.

3

【详解】当直线过原点时，设直线歹=履，则-3=2左，得左=-9,

2

3

即>=-：%，整理为3x+2y=0,

当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线二十上=1,

aa

2-3

则一+一=1,得a=7,方程为x+y+l=O,

aa

当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相反时，设直线二+上=1,

a-a

2-3

则4+-=1,得a=5,方程为-5=0.

a-a

故选：ACD

10.BD

【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对

称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.

【详解】记£=况=(-2,-1,1),S=05=(3,4,5),

对于A,\AB\=A/52+52+42=V66,故A错误；

对于B,|5|=7(-2)2+(-1)2+12=V6,|5|=732+42+52=572,£石=-2x3-lx4+lx5=一5，

八a.b—5yf3

设与3的夹角为0,则=旗及行二一"1，故B正确；

对于C,点A关于z轴的对称点坐标为(2,1,1),故C错误;

对于D,Z在右上的投影向量为卜卜05卜,刀•白=痛又[--x-^==-^Z>,D正确.

故选：BD.

11.BCD

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算可得2-彳1]-0=0,再由

基本不等式，即可得到结果.

【详解】

T^SD=a,a>0,DG=A,0<A<a,建立如图所示的空间直角坐标系，

则S（0,0,a）,G（0,（U）,E|0,l,£|zQ,l,0）,

则面=（0,丐-0,d=（2,一），

因为GELGF,所以演•讦=1一彳（|-4]=0,

贝Ua=2[2+1]z2x2,当且仅当2时，即4=1时，等号成立,

所以024,即SDN4.

故选：BCD

12.BD

【分析】根据椭圆上点到原点距离最大值为。，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减。

判断A；根据相切列方程，求出椭圆方程，判断B；分析得到点。应在蒙日圆外，从而判断C；

根据题意表示出面积，求面积最大值，判断D.

由离心率e=£=逅且/=〃+，得：a2=3b2,C的蒙日圆方程为：x2+y2=4b2,

a3

对于选项A,由于原点。到蒙日圆上任意一点的距离都为26,。到椭圆上任意一点的距离最大值

为Q=y/3b，

所以C上任意一点A与C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2-6)6,选项A错误；

对于选项B,由蒙日圆的定义可知：直线/与蒙日圆：相切，

44

则圆心。到直线/的距离为八京瓦=瓦=26,所以6=1,

则C的方程为：—+y2=l,选项B正确；

3-

对于选项C,由蒙日圆的定义可知：点。应在蒙日圆外，所以直线/与蒙日圆：相离，

44

则圆心。到直线)的距离为"=+/=5＞2b,所以0＜。＜1,选项C错误；

对于选项D,椭圆C的方程为：/+3/=3,蒙日圆方程为：x2+y2=4,

设%)，则V+为2=4,设4(再,必),B(x2,y2),

贝UMA:xxx+3必歹=3,MB:x2x+3y2y=3,

将/(%,%)代入M4、A®方程中，贝1］为%+3乂％=3,x2x0+3y2y0=3,

所以直线48的方程为豌x+3yoy=3,

将直线的方程与椭圆C的方程联立：“+丫

g+3%歹=3

2

得：(XQ+3^o)x-6x0x+(9-9^)=0,

所以占+三=三程，虫广之2等，所以以"=」),

%+3%工；+3弁11I'2：+?X

33

又因为原点。到的距离为/=不疏=石茂!,

所以“^=：|/同0=:与厚，设年小4

222+歹0

则5“奥=3・占=3・二行，因为t+12、口=2瓜,所以54呢=3-1至《乎，

t+3t+-tytt+-

♦t

Q

当且仅当":，即/=百时，等号成立，所以选项D正确.

故选：BD.

13.1

【分析】根据方程为椭圆，以及焦点坐标求参数左值即可.

【详解】因为椭圆工+2=1的一个焦点是Q，。)，

5k

所以左〉0,且5—左=2?=>k=1.

故1

14.逑

5

【分析】根据正17的几何意义求最值.

【详解】因为实数X4满足x-2y+4=0,

yjx2+y2=+(y-Oj表示原点。(。，。)与

直线x-2y+4=0上点(x,y)之间距离，

|4|4475

因为。(。,0)至!J直线％—2>+4=0是巨园为d=&£-=—^―;

所以旧K的最小值为竽.

故拽

5

15.7

【分析】作出圆M关于x轴的对称圆圆“，根据对称性可知，(|尸闻+|尸邺=也N|〃-4.

【详解】如图，圆M关于x轴的对称圆为圆AT,点/关于x轴的对称点为点©.

圆加:(x+4)2+(y-l)2=l,圆心M(-4,l),半径6=1,则圆“关于x轴的对称圆圆圆心

”(一4,一1),半径4=1；

圆N:(x-2y+(y-7)2=4,圆心N(2,7),半径々=2.

当AT,H,尸,8,N共线时,+陷最小,

r2

M\PA\+|PS|=\PA|+|=|J'B^=\MN\-r-r2=7-4-2)^-(-1-7)-1-2=7.

故7

16.275+372

【分析】过2作面8环的平行平面，该平面与几何体的截面为四边形。MGW,求出周长即可得

结果.

【详解】分别取BC,CG中点G,M,连结242",MG,NG,

因为E,尸分别为力4,4A的中点，所以Q4//EE,

因为2』（Z面BE尸，EFu面BEF,

所以2，//面8E/，

由正方体的性质易得面8昉，BEu面BEF,

所以，///面8£尸，

又因为O/u面。々Mu面

所以面A4W7/面尸，

由于AfG〃BC,,BCJ/AD1,

所以MG//。/,即4。,/,G四点共面，

由于直线。尸//平面所以点P的轨迹为四边形2/GW,

轨迹长度为：肛+D、M+MG+AG=2近+#+应+&=3叵+2店,

故答案为.2指+3后

17.(^)x-2y-2=0

(2)m=-1.

【分析】(1)首先求点尸的坐标，再根据两直线平行，即可求解直线方程;

(2)代入点到直线的距离公式，即可求解.

\X—y-1=0fx=0/、

【详解】(1)联立方程组；、八，解得，，所以点PO,T,

又所求直线与直线x-2y+l=0平行，所以所求直线的斜率为1，

2

则所求的直线方程为：歹+1=3,即X-2y-2=0；

(2)点尸至心：加%+入+加=0的星巨离为:」加01^J2+刈二也

7m+1

解方程可得加=-1.

18.(1)证明见解析

【分析】(1)根据线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直得出面面垂直;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)直三棱柱N3C-/百C中，CC平面/3C,

又：等腰Rt4/CB中，点"为AB得中点，

ABLCM,

XQCMICC1=C,平面MCG，

又ABu平面ABBXAX,平面MCG1平面4BB4.

(2)以C为坐标原点，分别以C5,CA,CG为x轴，了轴，2轴建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),/(0,2,0),5,(2,0,2),Ml,1,0),

-------►UUUUL

所以C/=(0,2,0),耳M=(-l/,-2),

设异面直线CA与B.M所成角为0,

贝I]cos。=1cos<CA,B^M>1=Q呵=—,

\CA\-\B^M\6

19.(1)直线/的方程为3x-4y-3=0和x=l.

(2)272

【分析】(1)根据题意，分切线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，

代入计算，即可得到结果.

(2)根据题意，由条件可得当直线/与直线CP垂直时，直线/被圆截得的弦|/为最小，再由弦

长公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)已知圆心C(3,4),半径厂=2,

当直线斜率存在时，设直/：y=a(x-l),即丘-，-左=0,

圆心C(3,4)到直线/的距离为"=彳工)=2，解方程可得左=:,

此时直线方程为3:x-y-；3=0,整理得3x-4y-3=0.

当直线斜率不存在时，直线/的方程为x=l,满足题意.

所以直线/的方程为3x-4y-3=0和x=L

(2)直线/的方程可化为点斜式了-3=左(》-2),所以/过定点尸(2,3).

又点尸（2,3）在圆。内，当直线/与直线CP垂直时，直线/被圆截得的弦|“切最小.

4-3

因为电＞=屋万=1，所以/的斜率4=一1,

所以/的方程为广3=-（尤-2）,即x+y-5=0,

因为|CP|=J（3_2）2+（4—3）2=血，r=2,

此时\AB|=27r2-1CP|2=2V2

所以当左=-l时，M团的最小值为2jL

v2

20.d）y+y2=l

（2）证明见解析

【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆C的标准方程；

（2）设直线P3的方程为了=町+2并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线/。的方程，求出点。

横坐标表达式即可得。。,0）.

【详解】（1）由离心率可得e=£=也，

a2

将点代入椭圆方程可得1又。2=^+c2；

解得■，

2

所以椭圆。的方程为、+/=1

（2）设点B（X],必），。优,力）,则，（演,-％）,直线尸8的方程为了=加歹+2,

r2

直线尸5与椭圆C:了+y=1联U,消去X,得（加2+2）y2+4mj?+2=0,

则可得i=二，乂%=丁丁

机+2m+2

易知A=8加2—16＞0,得知＞2

由题意，直线AD的方程为y=%.凹（x-2）+耳,

x2一再

令y=o,所以点。的横坐标内=再“厂血=2=1,

所以直线4D与x轴交于定点。。,0）

21.（1）证明见解析

/c、6G_6V5W

Vno-170

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理，即可求证；

(2)根据垂直关系，以点N为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.

【详解】(1)证明：・•・平面平面”CD,

平面ADEA平面ABCD=AD,

ENLAD,ENu平面ADE,二EN_1_平面/BCD,

又BCu平面ABCD,:.EN工BC.

(2)•.•ENJ_平面/BCD,

与平面48co所成角为N£4N=6(T,又AE=DE,

所以V4DE为正三角形，i^AE=DE=AD=2.

AD=AB,ZDAB=60°..1A/BD为等边三角形，NALNB,

以N为坐标原点，分别以俄，潴，避为尤，y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，

N(l,0,0),5(0,73,0),C(-2,V3,0),£(0,0,73),尸(方学6),

-：BM=-BF,故可得M点坐标为3)

3663

~,uumr7

所以/M二(二，至包)，

663

设平面BC77得法向量为比=(x,y,z),又5。=(一2,0,0),8F=^^，君

BC-m=-2x=