2023中考数学一轮复习 勾股定理及其逆定理（基础篇）（真题专练）

专题4.n勾股定理及其逆定理（基础篇）（真题专练）

一、单选题

1.（2021.山东滨州•中考真题）在比一.ABC中，若/C=90。，AC=3,BC=4,则点C到

直线A8的距离为（）

A.3B.4C.5D.2.4

2.（2021・四川雅安・中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程/-7犬+12=0的两根，则

该直角三角形的面积是（）

A.6B.12C.12或辿D.6或迈

22

3.（2021・湖北襄阳•中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池

方一丈，葭（Jia）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何（丈、尺是长

度单位，1丈=10尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池

正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好

到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

»・10・T

困

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

4.（2021・贵州遵义中考真题）如图，将矩形纸片ABC。的两个直角进行折叠，使C3,AD

恰好落在对角线AC上，B',。分别是8,。的对应点，折痕分别为C凡AE.若A8=4,

BC=3,则线段577的长是（）

2

C.D.1

2

5.（2021・广西贵港•中考真题）如图，在ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=12,D为

AC边上的一个动点，连接8。，E为8。上的一个动点，连接AE,CE,当NABD=NBCE

C.5D.6

6.（2021.辽宁本溪•中考真题）如图，在ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到

的射线与AC交于点E,点尸为的中点，连接麻，^BE=AC=2,则△小尸的周

长为（）

A.5/3+1B.0+3C.75+1D.4

7.（2021•山东临沂・中考真题）如图，点A,8都在格点上，若BC=半，则AC的长为（）

A.V13B.C.2岳D.3屈

3

3

8.（2021・云南・中考真题）在ABC中，ZABC=90°,若AC=100,sinA=《，则A3的长是

（）

500503,

A.-----B.-----C.60D.80

35

9.（2020・广西河池•中考真题）在Rt/XABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,贝ljsinB的值

是（）

10.（2020•广西贺州•中考真题）如图，将两个完全相同的电△ACB和RtAACb拼在一起,

其中点4与点2重合，点。在边AB上，连接夕C,若/A2C=/A0C=30。，AC=4C=

2,则夕C的长为（）

A.277B.4近C.2石D.4季）

11.（2020•山东淄博・中考真题）如图，在△ABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的中线，

且AD_LBE,垂足为点F,设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是（）

A.a2+b2=:5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

12.（2020•山东滨州•中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕

EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM,BM与FF相交

于点N.若直线BA'交直线CD于点O,BC=5,EN=1,则OD的长为（）

A・口B.—*73C.—yfiD.—^3

34

13.（2020•山东聊城•中考真题）如图，在4x5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,

ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sinZACB的值为（）.

4

A.史B.手D.-

55

二、填空题

14.（2021•辽宁丹东•中考真题）如图，在，ABC中，ZB=45。,AB的垂直平分线交A3于点

D,交BC于点E（3E>CE）,点尸是AC的中点，连接AE、砂，若3c=7,AC=5,则△€£尸

的周长为

15.（2021・四川成都・中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形

的面积为

16.（2020•辽宁阜新•中考真题）如图，在LABC中，ZABC=90°,AB=BC=2.将ABC

绕点8逆时针旋转60。，得到VABG，则AC边的中点。与其对应点Q的距离是

A

17.（2020•黑龙江绥化•中考真题）在尺"ABC中，ZC=90°,若AB—AC=2,3C=8,则AB

的长是.

18.（2021•辽宁阜新中考真题）如图，己知每个小方格的边长均为1,贝kABC与△CDE的

周长比为.

19.（2021.广西玉林・中考真题）如图，某港口尸位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时

离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时

后两船分别位于点A,8处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，则乙

船沿方向航行.

20.（2021・湖南岳阳・中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有

户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比

宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10

寸）如图，设门高A3为x尺，根据题意，可列方程为.

D

BC

21.（2021•湖南常德•中考真题）如图.在一ABC中，ZC=90°,平分于

E,若CD=3,3。=5,则BE的长为.

22.（2021.黑龙江齐齐哈尔•中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直

角三角形斜边上的高的长为.

23.（2019・西藏・中考真题）若实数根、“满足|〃z-3|+而2=0,且加、〃恰好是直角三角形

的两条边，则该直角三角形的斜边长为.

24.（2019•浙江杭州•中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在

AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点

为4点，D点的对称点为点，若？FPG90?,△AffcP的面积为4,△£＞轲/的面积为1,则

矩形ABCD的面积等于.

25.（2021・河南•中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在中，

ZACB=90°,ZB=30°,AC=1.第一步，在4B边上找一点。，将纸片沿折叠，点A

落在4处，如图2,第二步，将纸片沿G4'折叠，点。落在次处，如图3.当点次恰好在原

直角三角形纸片的边上时，线段AD的长为.

BBB

三、解答题

26.（2021・贵州安顺•中考真题）如图，在矩形ABCD中，点M在。C上，AM=AB,且

BNA.AM,垂足为N.

（1）求证：_ABN、MAD；

（2）若A£）=2,AN=4,求四边形3cMN的面积.

27.（2021.四川自贡・中考真题）如图，ABC的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度

的直尺，作出，ABC的角平分线BO（不写作法，保留作图痕迹）.

28.（2020•湖南株洲•中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全

巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患.该斜坡横断面示意图如图所示，水

平线点A、B分别在乙、4上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C,且

线段AC的长为2标米.

（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）

（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚1为60。，

过点M作《于点N,求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？

参考答案

1.D

【分析】

根据题意画出图形，然后作0),42于点D根据勾股定理可以求得的长，然后根据面

积法，可以求得C。的长.

【详解】

解：作CDLAB于点。，如右图所示，

•?ZACB=90°,AC=3,BC=4,

22

-'-AB=yjAC+BC=5-

..ACBCABCD

,-2—-―2'

.3x4_5CD

"~2T~2,

解得CD=2A,

故选：D.

【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，

利用勾股定理和面积法解答.

2.D

【分析】

根据题意，先将方程Y-7x+12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边

和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可.

【详解】

解方程元2-7x+12=0得为=3,%2=4

当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为:x3x4=6；

当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为正彳=夜，面积为

9g3=第；

则该直角三角形的面积是6或9，

2

故选：D.

【点拨】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面

积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键.

3.C

【分析】

根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】

设水池里的水深为x尺，由题意得:

X2+52=(X+1)2

解得：x=12

故选：C.

【点拨】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的

方程式解题的关键.

4.D

【分析】

先利用矩形的性质与勾股定理求解AC,再利用轴对称的性质求解Ag,CD,从而可得答案.

【详解】

解：-矩形纸片ABCD,

：.AD=BC=3,AB=DC==ZD=90°,

.-.AC=V32+42=5,

由折叠可得：NCB'F=NB=90。,CB'=CB=3,

:.AB'=AC-CB'^2,

同理：CD'=2,

AC-AB'-CD'

故选：D.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题

的关键.

5.B

【分析】

如图，取2C的中点T,连接AT,ET.首先证明NCEB=90。，求出AT,ET,根据

AE>AT-ET,可得结论.

【详解】

解：如图，取8C的中点T,连接AT,ET.

AABD+ZCBD=9Q°,

ZABD=NBCE,

ZCBD+ZBCE=90°,

.-.ZC£B=90°,

CT=TB=6,

:.ET=；BC=6,AT=\/AB2+BT1=782+62=10，

AE>AT-ET,

:.AE>4,

AE的最小值为4,

故选：B.

【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT,

ET的长，属于中考常考题型.

6.C

【分析】

根据作图可知即平分/ABC,AB=BC,由三线合一，解处△3EC,即可求得.

【详解】

8。平分ZABC,AB=BC,BE=AC=2

:.BELAC,AE=EC^-AC^1

2

BC=[BE。+EC?=V22+l2=75

.•点/为3C的中点

EF=-BC=FC=—

22

△CEF的周长为：

CE+EF+FC=1+—+—=75+1

22

故选C.

【点拨】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出

2C边是解题的关键.

7.B

【分析】

利用勾股定理求出A3,再减去可得AC的长.

【详解】

解：由图可知：

AB=,6?+4?=,

••B(J-2屈

•一—-'

：.AC=AB-BC=2^/13-,

33

故选B.

【点拨】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求

出线段的长.

8.D

【分析】

根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC,然后利用勾股定理即可求解.

【详解】

3

解："?ZABC=90°,sinZA=^-=~,AC=100,

AC5

A100x3^5=60,

•••AB=7AC2-BC2=80,

故选D.

【点拨】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键.

9.D

【分析】

直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案.

【详解】

解：如图所示：

VZC=90°,BC=5,AC=12,

AB=^52+122=13-

••_AC12

••sinRB---——.

AB13

故选：D.

【点拨】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为

对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义.

10.A

【分析】

先根据直角三角形的性质可得A3=4,4®=4,N&AC=60。，再根据勾股定理和角的和差可

得BC=2®NB，BC=90。,最后在R中,利用勾股定理即可得.

【详解】

解：•<,ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZAB'C=30°,AC=A!C'=2,

，AB=4,A!B'=4,ZB'A'C'=60°,

•1•BC=VAS2-AC2=273，/BBC=ZABC+ZB'AC=90°，

则在Rt^B'BC中，B'C=slBC-+B'B2=《（2后+4。=2币，

故选：A.

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30

度角的直角三角形的性质是解题关键.

11.A

【详解】

设EF=x,DF=y，根据三角形重心的性质得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到

4x2+4y2=c2,4x?+y2=[b2,x2+4y2=-^a2,然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的

44

关系.

【解答】解:设EF=x,DF=y,

VAD,BE分别是BC,AC边上的中线，

・••点F为△ABC的重心，AF=-^AC=-^b,BD=-^-a,

・・・AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD±BE,・・・NAFB=NAFE=NBFD=90。，

在RtAAFB中，4x2+4y2=c2,①

RtAAEF4x2+y2=­b2,②

4

x2+4y2=-^-a2,

在RtABFD中,③

②+③得5x2+5y2=](a2+b2),

4x2+4y2=—(a2+b2),④

5

①-④得c2-4-(a2+b2)=0,

HPa2+b2=5c2.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1.也考查了勾股定理.

12.B

【分析】

根据中位线定理可得AM=2,根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得人2=人?4=2,过M

点作MGLEF于G,可求AC,根据勾股定理可求MG,进一步得到BE,再根据平行线分

线段成比例可求OF,从而得到0D.

【详解】

解:VEN=1,

・,•由中位线定理得AM=2,

由折叠的性质可得A，M=2,

VAD^EF,

.\NAMB二NANM,

VZAMB=ZAfMB,

・•・ZArNM=ZAzMB,

.\ATS[=2,

・・・A，E=3,AF=2

过M点作MGLEF于G,

・・・NG=EN=1,

・・・A，G=1,

由勾股定理得MG=j22-俨二囱,

.\BE=DF=MG=V3,

/.OF：BE=2：3,

解得OF二空,

3

：・OD=6-空二旦

33

故选：B.

【点拨】考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是得到矩形的宽和A，E

的长.

13.D

【分析】

过点A作于点八，在RtaACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦

函数的定义计算即可.

【详解】

解：如图，过点A作于点则NAT>C=90。,

AC^yjAD2+CD2=5>

..AZ)_4

・・sinNAC5=-----=一,

AC5

故选：D.

【点拨】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

14.8

【分析】

根据垂直平分线的性质求得NBE4的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出△CEF

的周长.

【详解】

解：是A2的垂直平分线，

；.NBAE=ZABE=45°,BE=AE,

：.ZBEA=90°,

-：BC=1,

BE+CE=7,

/.AE+CE=1,AE=7-CE,

又・・,AC=5,

・•・在一AEC中，

AE2+CE2=AC2,

（7-CE）2+CE2=52

解得：CE=3,

又：点尸是AC的中点,

EF=FC=-AC=~,

22

ACEF的周^z=CF+CE+FE=-+3+-=8.

22

故答案为：8.

【点拨】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质,

解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质.

15.100.

【分析】

三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形

的面积A=36+64=100.

【详解】

解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36,一条直角边的平方=64,则斜边

的平方=36+64.

故答案为：100.

【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理.

16.O

【分析】

先由旋转的旋转证明：8。4为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半求解8。，从而可得答案.

【详解】

解:如图，连接。

ABC绕点2逆时针旋转60。，D,D,分别为AC,AG的中点，

ZCBCj=ZDBDj=60°,BD=BDt,

8DQ为等边三角形，

DD、=BD,

/ABC=90。,。为AC中点，

AC=A/22+22=26,BD=、AC=夜，

2

DD、=-\/2.

故答案为：A/2.

【点拨】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判

定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

17.17

【分析】

在RSABC中，根据勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

解：•.,在RtAABC中，ZC=90°,AB-AC=2,BC=8,

.•.AC2+BC2=AB2,

即(AB-2)2+82=AB2,

解得AB=17.

故答案为：17.

【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中

的表示形式.

18.2:1

【分析】

设A尸、OG分别与3E交于点尸、G,则AR//OG,可得到/期G=N。。，在网格图

中，利用锐角三角函数值得到=4Z岩，继而N砌G=N(期，可得到证

得"BCADEC,然后分别求出AB、DE,即可解答.

【详解】

如图，

/A

/E

14Si[7

B4」Fc\/

D

设A尸、OG分别与BE交于点尸、G,则Ab//DG,

：.ZE4G=ZCDG,

'/tanZ.BAF=—=-,tanZ.EDG=—,

422

/.ABAF=AEDG,

：.ABAG=乙CDE,

：.ABUDE,

AABCADEC,

由图可知：AB=也2+42=26

DE712s=小

:•AB:DE=2a:指=2:1，

即一ABC与△CDE的相似比为2:1,

.ABC与MDE的周长比为2:1

故答案为：2:1

【点拨】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角

形的相似比.

19.北偏东50。（或东偏北40。）

【分析】

由题意易得”=12海里,尸2=16海里，ZAPN=40°,则有AP2+3尸=AB?,所以ZAPB=9Q°,

进而可得NBPN=50。,然后问题可求解.

【详解】

解：由题意得："=1x12=12海里，尸8=1x16=16海里，NAPN=40。，AB=20海里，

/.AP2+BP2=400=AB2,

：.ZAPB=9Q°,

：.ZBPN=5Q°,

，乙船沿北偏东50。(或东偏北40。)方向航行；

故答案为北偏东50°(或东偏北40。).

【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是

解题的关键.

20.f+(尤一6.8)2=1()2

【分析】

先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可.

【详解】

解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；

••・高比宽多6尺8寸，门高AB为无尺，

；.BC=(x-6.8)尺，

•••可列方程为：X2+(X-6.8)2=102,

故答案为：X2+(X-6.8)2=102.

【点拨】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能

将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边,

再利用勾股定理建立方程即可.

21.4

【分析】

证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出.

【详解】

解：由题意：AD平分NC4B,DELATE,

:.NCAD=/EAD,ZAED=9Q°,

又,AD为公共边，

ACD^,AED(AAS),

/.CD=DE=3,

在RJDEB中,BD=5,由勾股定理得：

BE=yjBD2-DE2=A/52-32=4，

故答案是：4.

【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，

再利用勾股定理进行计算可得.

22.2.4或迈

4

【分析】

分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3,斜边为4,首先

根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题.

【详解】

若直角三角形的两直角边为3、4,则斜边长为历不=5，

设直角三角形斜边上的高为人，

1…1

—x3x4=—x5/z,

22

：.h=2A,

若直角三角形一条直角边为3,斜边为4,则另一条直角边为J42-32

设直角三角形斜边上的高为九

—x3x^7=—x4/z,

22

.Z_3A/7

4

故答案为：2.4或迈.

4

【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

23.5或4.

【分析】

利用非负数的性质求出相、风再分情况求解即可.

【详解】

|m~31+—4=0,

m-3=0,71-4=0,

;.m=3,n=4,

①当根、〃是直角边时，

则该直角三角形的斜边=疹百=5，

②当“=4是斜边时，则斜边为4,

故答案为5或4.

【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

24.66+10.

【分析】

根据相似三角形的判断得到△AFP〜△DPH,由三角形的面积公式得到SAAEP,再由折叠

的性质和勾股定理即可得到答案.

【详解】

；A'E〃PF

.,.ZA'EP=ZD'PH

XVZA=ZA'=90°,ZD=ZD'=90°

ZA'=ZD'

.,.△A'EP-AD'PH

又：AB=CD,AB=A'P,CD=D'P

；.AP=D'P

设A'P=D'P=x

,**SAA'EP：SAD'PH=4:1

.*.A,E=2D,P=2x

/.SAA'EP=_xA宏xArP=—x2xxx=x2—4

22

Vx>0

x=2

・・・AP=DP=2

.\A,E=2D,P=4

EP=yjAE2+A'P2=A/42+22=2A/5

/.PH=-EP=y/5

2

：.DH=D'H=-A'P=l

2

/.AD=AE+EP+PH+DH=4+2y/5+y/5+l=5+3>/5

AB=AP=2

S矩形的8=xAD=2x(3-\/5+5)=6y[5+10

【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.

25.g或2-6

【分析】

因为点。时合好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当以落在A3边上和BC边上两种情况