河北省张家口市涿鹿中学2023-2024学年数学高二年级上册期末调研试题含解析

河北省张家口市涿鹿中学2023-2024学年数学高二上期末调研试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设命题:Vxe7?,%3>0,则为（）

A.Vxe7?,x3<0B.Hx7?,%3<0

C.e7?,x3>0D.$x?R,x30

2.如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，圆锥P。的轴截面”LE是边长为2的等边三角形，ABC是底面圆

的内接正三角形.则通.寿=（）

3.如图所示，已知三棱锥O—ABC,点河，N分别为AB,0c的中点，且。4=。，OB=b，OC=c>用a，

b-c表示MN，则MN等于（）

17,

A.一Ic—ci—bB.-+6+c

2、

1/7

C.—Ici—b+ci一，

2V>2V>

4.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点

的曲率等于2开与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上

非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个

ITTT

面角是一，所以正四面体在每个顶点的曲率为2乃-3x—=》，故其总曲率为4%.给出下列三个结论:

33

n

①正方体在每个顶点的曲率均为

2

②任意四棱锥总曲率均为4万；

③若某类多面体的顶点数V,棱数E,面数R满足丫-E+尸=2,则该类多面体的总曲率是常数.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

22

5.已知圆G：/+/=〃和椭圆。2：=+==l（a〉6〉0）.直线y=H与圆G交于A、A两点，与椭圆。2交于

ab

B、耳两点.若左eH时，7M的取值范围是（L2],则椭圆的离心率为（）

（-ZZTL

1

A.一DR,---------

22

「V33

U.---D.-

24

6.如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照

图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（）

A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为二

512

B.前七个矩形块中所填写的数字之和等于12累7

128

C.矩形块中所填数字构成的是以I为首项，!为公比的等比数列

D.按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是3

22

7.已知抛物线C：y2=2“x("之0)的焦点歹与椭圆E:?+g=l的一个焦点重合，过坐标原点。作两条互相垂直

的射线加，ON,与。分别交于则直线MN过定点()

A.(4,0)B.(T,0)

C.(-l,0)D.(l,0)

8.已知圆锥的表面积为12万，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为()

A.4万B.生后万

3

CMn86

C.67TU.---------兀

3

9.已知点A(3,0,-4),点A关于原点对称点为3,贝！l|A5|=()

A.25B.12

C.10D.5

22

10.已知椭圆L+2L=1的一个焦点坐标为(—1,0),则m的值为()

m3

A.2B.4

C.5D.6

11.如图，正方形ABC。与矩形ACM所在的平面互相垂直，AB=y/2,AF=1,M^EF±,且平面皮

则M点的坐标为()

、

7

(也正叵

[222JD.(1,1,1)

12.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至

少需要等待18秒才出现绿灯的概率为()

2011

A—B.—

2920

99

C.—D.—

2029

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

，!+1

13.已知数列｛。“｝满足q=2,an+l+(-l)an=n,｛an｝的前n项和为S“,则S61=.

2

14.已知〃=(一1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若〃=则—=.

A

15.若函数〃x)=gx3+g/，⑴炉―/,(2卜+3,则/(力在点(o,〃o))处切线的斜率为

16.。为2和6的等差中项，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线/过点P(l,2),与两坐标轴的正半轴分别交于A,5两点，。为坐标原点

25

(1)若Q钻的面积为一，求直线/的方程；

4

(2)求。钻的面积的最小值

18.(12分)设命题p：(m+3)(m-2)<0,命题g：关于x的方程4炉+4(相—2)x+l=0无实根.

(D若P为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若。人4为假命题，为真命题，求实数机的取值范围

19.(12分)我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最

省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆

的半径是1米，弧A3的长为了米(0<x<1),/(x)表示劣弧AB与弦A3所围成阴影部分的面积.

图1图2

(1)请写出了(%)函数表达式；

(2)用求导的方法证明/(尤)>0.

20.(12分)已知椭圆。：0+/=1(。〉6>0)的焦距为2,左、右焦点分别为耳心，A为椭圆C上一点，且亚U

\OM\2

轴，OMLAFX,河为垂足，。为坐标原点，且岛=工

|9|5

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过椭圆。的右焦点B的直线/(斜率不为0)与椭圆交于P,Q两点，G为X轴正半轴上一点，且

ZPGF2=ZQGF2,求点G的坐标

21.(12分)如图，正方体A3CD—的棱长为2,点E为8瓦的中点.

(1)求直线A/与平面AAE所成角的正弦值；

(2)求点A到平面D.AE的距离.

22.(10分)已知圆N的圆心在直线x—2y+5=0上，且圆N经过点43,1)与点3(6,4).

(1)求圆N的方程;

(2)过点。(6,9)作圆N的切线，求切线所在的直线的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.

【详解】因为命题〃：\/》€火,兀320是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即$X?民V0,

故选：D

2、B

【解析】先求出PO=6,再利用向量的线性运算和数量积计算求解.

【详解】解：由题得PO=A/22-12=73，NBOC=120,

PB-PC=^PO+OB^^PO+OC^=PO+<95-OC=3+lxlx^-1^=|

故选：B

3、A

【解析】连接先根据已知条件表示出OM,ON,再根据MN=ON-求得结果.

【详解】连接如下图所示:

o

因为河为A3的中点，所以0河=工(04+06)=，〃+，人，

2、122

又因为N为。。的中点，所以ON=^OC=LC,

22

所以MN=ON—OM-—c-—a-—b-—(c-a-b\9

2222、7

故选：A.

4、D

【解析】根据曲率的定义依次判断即可.

7TTT

【详解】①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为2〃-3x°=」，故①正确；

22

②由定义可得多面体的总曲率=2〃x顶点数-各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1

个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为2〃X5—(〃X4+2〃X1)=4〃，故②正确；

③设每个面记为4(，e[1,F])边形，

FF

则所有的面角和为£(q-2)乃=乃24一2万e=乃.2£-2万歹=2〃(E-E),

z=li=l

根据定义可得该类多面体的总曲率2我—2»(E—E)=4不为常数，故③正确.

故选：D.

5、C

OBaa

【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设A,B在第一象限可得f结合已知有7=2,进而求椭圆

OAbb

G的离心率.

【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示:

又左£H时,的取值范围是（L2],结合圆与椭圆的对称性，不妨假设A3在第一象限,

扁OB\地》a故Q厂

...后从0逐渐增大至无穷大时,2,

c_yja2-b2_A/3

aa2

故选：C.

6、B

【解析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.

【详解】设每个矩形块中的数字从大到小形成数列｛4｝,则可得｛4｝是首项为:，公比为;的等比数列,

1（1Y"1

所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为/=!=工，故A错误;

28256

前七个矩形块中所填写的数字之和等于2[12）」=127,故B正确；

「128

2

矩形块中所填数字构成的是以《为首项，4为公比的等比数列，故C错误;

22

按照这个规律继续下去，第〃-1个矩形块中所填数字是击，故D错误.

故选:B.

7、A

【解析】由椭圆方程可求得R坐标，由此求得抛物线方程；设MN：x=my+/,与抛物线方程联立可得韦达定理的形

式，根据OMLON可得OA1.ON=0，由此构造方程求得人根据直线过定点的求法可求得定点.

【详解】由椭圆E方程知其焦点坐标为(±1,0),又抛物线C焦点

.,(=1,解得：P=2,则抛物线。的方程为V=4x,

由题意知：直线肱V斜率不为0,可设=+

[x=my+t.

由<2/得：y-4my-4t=Q9则△=16/+16%>0，即疗+，>0，

J=4x

设N(%2，%)，则%+%=4加，%%=-4f,.•.x/2=至^=〃，

16

OM_LON9..OM•ON=不兀2+X%=产—4,=0，解得：1=0或%=4；

又〃,N与坐标原点。不重合，.•7=4,MN:x=my+4,

.•.当y=0时，x=4,.•.直线肱V恒过定点(4,0).

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于％或y的一元二次方程的形式；

②利用A>o求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

8、D

【解析】设圆锥的半径为广，母线长/,根据已知条件求出入/的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求

得结果.

【详解】设圆锥的半径为r，母线长/,因为侧面展开图是一个半圆，则㈤=2%r，即/=2厂，

又圆锥的表面积为12万，则万,+万〃=]2%，解得r=2,1=4,

则圆锥的高/z=炉下=2出,所以圆锥的体积V=；兀户八;当兀，

故选：D.

9、C

【解析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可.

【详解】因为点A(3,0,-4)关于原点的对称点为3,所以8(-3,0,4),

因此IAB|=7（-3-3）2+（0-0）2+（4+4）2=10，

故选：C

10、B

【解析】根据题意得到机=3+1=4得到答案.

【详解】椭圆焦点在x轴上，且c=l,故帆=3+1=4.

故选：B.

11、A

【解析】设"点的坐标为（龙由CM,平面史,可得出血,族,血,法,，利用空间向量数量积为0

求得％、V的值，即可得出点”的坐标.

【详解】设"点的坐标为（X,y,l）,C（0,0,0）,D（V2,0,0）,B（0,V2,0）,£（0,0,1）,则。E=「0,O,1）,

DB=卜0,0,0）,CM=（尤,y,1）,

CM，平面

CM

工DE,CM±DB,即而，族,血，法,，

也

%二

-A/2X+1=02

所以，L厂，解得＜,所以，河点的坐标为，

-12x+J2y=0A/2I22J

y=~T

故选：A.

12、B

【解析】由几何概型公式求解即可.

40-1811

【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为------=一,

4020

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、962

【解析】分析出当“为正奇数时，an+aII+l=n,可求得$6。的值，再分析出当〃为正偶数时，^+3-^_,=4,可求

得。61的值，进而可求得$61的值.

【详解】由题知，当”为正奇数时，an+an+1=n,

于是％+a,=1,%+%=3,a5+a6=5,L,a59+a60=59,

所以Seo=1+3+5++59=—--=900.

a”+

又因为当“为正偶数时，an+l-an=n,且。鹏=〃T,

所以两式相加可得a”+i+a“.i=2"一1,于是a〃+3+a〃+i=2”+3,

两式相减得为+3-an-\=4.

所以=囚+15x4=2+15x4=62,故S6l=900+62=962.

故答案为：962.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分析出当“为正奇数时，4+4+1=〃，以及当〃为正偶数时,

%+3-an-i=4,找出规律，结合并项求和法求出560以及％,1的值.

14、-3

【解析】根据题意，由向量坐标表示，列出方程，求出X,〃，即可得出结果.

【详解】因为a=（-U）,方=（2,—1）,c=（L2）,

—1=2A+〃5A.

若a=劝+,贝！J〈，„一解得।，所以一=-3.

尸[1=_2+2〃1〃

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.

15、-1

【解析】根据条件求出广⑴=-1,广⑵=1,再求/''（（））=一1即答案.

【详解】•••〃x）=$3+gr⑴/―/（2）%+3,.-.r（x）=x2+r（i）^-r（2）,

则r（i）=i+r。）-/⑵和r⑵=4+2/（1）-r⑵,得广⑴=-i,r（2）=i,

x3-x2-x+3,/f（x）=x2-x-1,/./*（0）=-1,

所以/（同在点（0"（0））处切线的斜率为-1.

故答案为：-1

16、4

【解析】利用等差中项的定义可求得结果.

【详解】由等差中项的定义可得a=212=4.

2

故答案为：4•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/:x+2y—5=0或8x+y—10=0

(2)4

【解析】(1)设直线方程为二+)=l(a/>0),根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方

ab

程，我们也可以设直线/：y-2=左(％-1),利用面积求出左后可得直线方程.

(2)结合(1)中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.

【小问1详解】

法一：(1)设直线/:<+==l(a/>0),贝!!；b

ab

124

<7=55

d——

解得4,所以直线/:x+2y-5=0或8x+y-10=0

b,=—5或<

2b=10

法二：设直线/:y—2=左(x—1),k<0,则Al——,0j,3(。，2-k)

则1左)=251

S=g(l-1■42-——21+17左+8=0,・・.2=—上或一8

242

所以直线/：%+2,一5=。或8%+'-10=0

【小问2详解】

12121

法一：V1=-+->2J——，：.ab>S,：.S=-ab>4,此时a=2,b=4

ab\ab2

ABC面积的最小值为4,此时直线/:2x+y=4

法二：'：k<Q,

；•S=g1(lj](2—左)=g14+(一止14

>—4+2=4,

222k

此时左=—2,ABC面积的最小值为4,此时直线/：2x+y=4

18、(1)-3<m<2(2)(-3,1]L[2,3)

【解析】(1)解一元二次不等式，即可求得当。为真命题时机的取值范围；

(2)先求得命题q为真命题时加的取值范围.由。人4为假命题,为真命题可知0月两命题一真一假.分类讨论，即

可求得机的取值范围.

【详解】⑴当。为真命题时,(加+3)(加—2)<0

解不等式可得-3<机<2；

(2)当4为真命题时，由A=16(w—2『—16<0,

可得1<加<3,

・・・PA9为假命题为真命题，

两命题一真一假，

fm<一3或相>2[-3<m<2

，《或《3,

l<m<3\m>3或机<1

解得2<加<3或一3<根<1,

...机的取值范围是(—3,1][2,3).

【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围，由复合命题真假判断命题真假，并求参数的取值范围,属于基础题.

,、\九sinx

19、(1)/(x)=---=3x-sinx),(0＜龙＜»)

(2)证明见解析

【解析】⑴由弧长公式得NA06=x,根据〃x)=S扇形AOB—SA°B即可求解;

(2)利用导数判断出八％)在(0,句上单调递增，即可证明”x)>0.

【小问1详解】

由弧长公式得NA05=x,

于是/(x)=S扇形AOB—SAOB=57=5(x—sinx),(0<x<zr)

【小问2详解】

f(x)=g(x-sinx),:./'(x)=g(l-cosx)

显然/'(x)>。，；"(x)在(0,兀)上单调递增,

于是〃用>/(0)=0.

22

20、（1）」上=1

43

（2）G（4,0）

【解析】（1）利用△片加。84£月^构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出为+%和%%，利用几何关系可知左GP+七。=0，即可得

2myy1

%=一}^?+1，将韦达定理代入化简即可求得点G坐标.

【小问1详解】

•.•椭圆的焦距为2,；.2c=2,即c=l,

AF2LX^,=—,贝!||AE|=2a—|AK|=2a_^-=^^-,

aaa

由AB_LKE，OMA.AFi9则△耳&A,

.\OM\_OF^aC_2

,•阿一研即厂

整理得5。。=2/+2。2,即2e?—5e+2=0,解得e=1或e=2（舍去）

2

:•a=2,***b1=a2—c2=3>

22

则椭圆C的标准方程为土+匕=1,

43

【小问2详解】

设直线/的方程为％=阳+1,且。（%,％），。（马,%）,G（xo,O）,

[22

土工=[

将直线方程与椭圆方程43~联立得（3病+4）9+6叫;—9=。，

x=my+l

A=36m2-4x（-9）x（3m2+4）=144（m2+1）＞O,

-6m-9

则X+%=

3m2+43m2+4

•：ZPGF2=ZQGF2f：.kGP-^kGQ=0f

用2-+%%一%%=0，

XW+以再_X®+1)+%(7盯1+D

x+%%+为

=迎匹+1=2=3〃/+4+]=卫+]=4

%+v2—6m-6m

3m2+4

即G(4,0).

2

21、(1)-

3

【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面〃AE的一个法向量及A4,,利用向量的夹角公式即可得解;

（2）直接利用向量公式求解即可

【小问1详解】

解：以点A作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

X

则A(2,0,0),E(2,2,1),2(0,0,2),4(2,0,2),

设平面D]AE的一个法向量为zn=(x,y,z),又AR=(-2,0,2),AE=(0,2,1),

,m•AD=-2x+2z=0,

则〈i}