人教A版《数学》选修1-1教案：复合函数的导数

人教A版《数学》选修1-1教案：2.3复合函数的导数-附答案

§1.2.3复合函数的导数

【学情分析】：

在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继

续介绍复合函数的求导方法.

【教学目标】：

(1)理解掌握复合函数的求导法则.

(2)能够结合已学过的法则、公式,进行一些复合函数的求导

(3)培养学生善于观察事物,善于发现规律,认识规律,掌握规律,利用规律.

【教学重点】：

简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的,要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程

的基础上熟记基本导数公式,从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.

【教学难点】：

复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.

【教学过程设计】：

教学环节教学活动设计意图

(1)复习常见函数导数以及作业讲评及提问，回忆常见函数的导数公式

为课题引入作铺垫.

四则运算.和导数四则运算,会解释导数实际意义.

(2)教科书P16思考题如何求函数y=ln(x+l)的导数？开门见山提出问题.

直接给出定义，并与基

(1)复合函数的定义.

(3)复合函数的定义.本初等函数相区别和

(2)比较复合函数与基本初等函数的异同？

联系.

(4)例题选讲

例1试说明下列函数是怎样

复合而成的？

⑴y=(2-/)3；

说明：讨论复合

函数的构成时,''内层”、

(2)y=sinx2;允许讨论，

允许提问，“外层”函数一般应是

(3)y—COS。-x)允许争论，基本初等函数,如一次

允许修正，

函数、二次函数、指

⑷y=lnsin(3x-l).允许置疑.

数函数、对数函数、

例2写出由下列函数复合而老师点评.

三角函数等.

成的函数：

(Dy=cosw,〃=1+工2；

(2)y=Inw,u=\nx,

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(1)能否用学过四则运算解决问题？

(2)新方法：将函数》=(3x-2)2看作是函

数了=〃2和函数〃=3》一2复合函数，并分

别求对应变量的导数如下：

2

y'u=(»)'=2〃，u'x-(3x-2)'=3

两个导数相乘，得

两种方法作对照与比

例3.求函数y'u'=2»3=2(3%-2)CB=18x-12,从而

ux较，体会不同的解决方

y=(3x-2)2的导数.法与策略.鼓励学生模

有月=刈叽

仿并及时修正.

对于一般的复合函数,结论也成立，以

后我们求V,时，就可以转化为求为'和

*的乘积，关键是找中间变量，随着中间

变量的不同，难易程度不同.

(3)能否用方法(2)解决⑵教科书P16思考

题：如何求函数y=ln(x+l)的导数？

(4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评.

(6)自学教科书P17例4.学生自学,教师巡堂并答疑.在摸索中熟悉.

⑺例4：TT

分析：设w=sin(2x+7)时，求i/J,但此时

冗

求产sin2(2^+—)的导数.必要时老师应板书详

3

TT细过程.

〃仍是复合函数，所以可再设厂2G—.

3

解略.

(8)课堂练习：

1.求下列函数的导数(先设(1)20(5x7)3

中间变量,再求导).(2)15(2+3x)4

(1)7=(5%—3)4(3)—6x(2—x2)2

巩固提高.

⑵产(2+3x)5(4)24x5+16x3+2x

⑶产(2T”可板演,可小测.

(4)y=(2/+x)2核对答案、讲评并小结.

⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合

(10)课堂小结函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；

⑵复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代.

2

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(11)作业布置：教科书Pl8A3,4⑹，8,B3

练习与测试：

1.填空：

2

⑴(x,=()(/+1)一双),(}J+x=()sinx-(1+/)()

%2+1(x2+l)22sinx4sin2x

2.求下列函数的导数：(l)y=0——(2)y-X+(3)y=tanx(4)y=-----------

a+x3『1—COSX

3.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正.

1+COSX、，2x(1+cosx)+x2sinx

--3—)=

Xx2

4.求y=4

的导数

sinx

4-x3

5.求y=的导数.

-X2cosx

6.求函数y=(2x2—3)Jl+蛇的导数.

参考答案：

1⑴••/XV(l)(x2+l)-x(2x)

1.⑴・(―------)=---------------；-------：-----------=-------------z-------;--------

X+1(X+1)*(X+1)~

1+X2(1+x2)'2sinx-(l+x2)(2sinx)'

⑵5)’=

(2sinx)2

2x•2sinx-(1+x2)(2cosx)_(4x)sinx-(l+x2)(2cosx)

4sin2x4sin2x

Q小，x)'(a+x)—x)(a+x)'

/•\A/y—\)—2

a+x(Q+X)-

一(Q+x)(Qx)-2cl

(a+x)2(a+x)2

x+2(x+2)'(3x2)_(x+2)(3x2y

⑵y'=()

(3一)2

3

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3x--(x+2)(6x)-3x2—12xx+4

9x4―97

，/「/Sinx、，(sinx\cosx-sinx(cosx)f

(3)y=(tanx)=(-----)=---------------------------

cosx(cosx)

cosx+sinx1

=---------------=-------=sec2x

COSXCOSX

ir(i-cosx)-i-(i-cosxy

⑷y=(--------)=------------------；--------

1-cosx(1-cosx)

0(1-cosx)-sinx_sinx

(1-cosx)2(1-cosx)2

3.不正确,分母未平方,分子上正负号弄错.

1+cosx,(1+cosx)fx2一(1+COSx)(x2y

\2/

X

xsinx+2cosx+2

1-x2(1-x2)'sinx-(l-x2)(sinx)'

4.y'=(---------)'

sin尤(sin%)2

-2xsinx-(l-x2)cosx

sin2x

4-x?(4-x3)'x2cosx-(4-x3)(x2cosx\

5.y'=(二------)'

Xcosx(x2cosx)2

-3x2-x2cosx-(4-x3)(2xcosx-x2sinx)

一

X4COS2X

-x4cosx-8xcosx+4x?sinx-sinx

=------------------;----;-------------------

XCOSX

_(4-x4)sinx-(x3+8)cosx

x3cos2X

-2xsinx-(l-x2)cosx

sin2x

4-x',(4-x3)zx2cosx-(4-x3)(x2cos%)1

X"cosx(xcosx)

4

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-3x2-x2cosx-(4-x3)(2xcosx-x2sinx)