2024届一轮复习人教A版 空间向量与立体几何 作业

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共4。分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知向量a=（2,-3,5）与向量5=（-4,尤，y）平行，则尤，y的值分别是（）

A.6和一10B.一6和10

C.16和一10D.6和一10

—4xV

=

A［由ci//b9得2=「=5，「・x=6,y­10.］

2.已知直线a的方向向量为a,平面a的法向量为“，下列结论成立的是（）

A.若〃〃小则a〃a

B.若Q_LM,则a_La

C.若a//n,则a.La

D.若a_L〃,则alla

C［由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C,对于选项D,直线〃在平面a

内，也满足a_L〃.］

3.平面。的一个法向量〃=（1,-1,0）,则y轴与平面a所成的角的大小为（）

,兀G兀­兀C371

A-6B-4C-3D.不

n-s_也

B[y轴的方向向量s=(0,1,0),cos(w,s)即y轴与平面a所成角

=丽=―2'

的正弦值是坐,故其所成的角是去］

4.平行六面体ABCD-AiBiGA，向量壶,AZ),看i两两的夹角均为60°,且I低1=1,府I

=2,|词=3,则|启|等于()

A.5B.6C.4D.8

A[设A8=a,AD=b,AAi=cf则AG=a+b+c,[启][2=°2+力2+。2+24协+2万・。+2c•〃

=25,因此|/J=5.]

5.已知a=(2,—1,3),6=(—1,4,—2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共面，则

实数力等于()

.62「63「60-65

A.-B.-C.万D.—

D[Va,万不共线，:・存在％,y,使c=xa+yb.

2x-y=7,

:・<—x+4y=5,解得2=写.]

、3x-2y=丸，

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD1

底面ABC。，M为底面ABC。内的一个动点，且满足MP=MC.则点M在正方形ABC。内的

轨迹为（）

A[如图，以。为原点，DA,0c分别为x,y轴建立如图所示空

间直角坐标系，设欣%y,0）,设正方形边长为a,则尸修，0,坐a

C(0,a,0),则\MP\=^\Kx~^+/+(一坐,.由

|MP|=|MC|得x=2y,所以/在正方形A8CZ）内的轨迹为一条直线y=$.]

7.正方体A8CZX4/1C1Q1中，M,N分别为棱441和的中点，则sin（CM,加V〉

的值为（）

A.|B.芈C.芈D.|

B[设正方体棱长2,以。为坐标原点，DA,DC,。口所在直线分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图），可知而=（2,-2,1）,加V=（2,

-~1-►-►4、/5

2,-1）,cosaCM,DiN）=~g,sin（CM,DiN〉=g-]

8.已知正方体ABCD-AiBiCiDr的棱长为3,点H在棱44i上，且Hh=1,尸是侧面BCCiBi

内一动点，HP=g则”的最小值为（）

A.^/13—2B.y[13—3

C.行一2D.V15-3

A[法一：作于G（图略），则BiG=l,所以GP=2,所以点尸的轨迹是以G

为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG—2=M15—2.

法二：分别以CD,CB,CCi为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H(3,3,2),

设尸(0,y,z),由HP=g,得(0—3)2+。一3)2+(2—2)2)=灰，所以(y—3)2+(z—2尸=4,

所以CP的最小值为(0—0)2+(3—0)2+(2—0)2)—2=行-2.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9.点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s=(l,-1,1)的直线/的距离为加，

则点"的坐标是()

A.(0,0,-3)B.(0,0,3)

C.(0,0,小)D.(0,0,一小)

AB[设M(0,0,z),直线的一个单位方向向量so=pF，—坐，甯,故点M到直线/

的距离而2一|血80|2=叱2Vz2=加,解得z=±3.]

10.如图，在正三棱锥尸-4BC中，。是侧棱P4的中点，。是底面ABC的中心，则下列

四个结论中，对任意正三棱锥尸-43C,不成立的是()

A

AB

A.0。〃平面PBCB.ODLPA

C.ODLACD.PA=2OD

AB[取8C中点Af,连接AM,PM,贝UOGAM,

'：AO=2OM,：.OD与PM不平行，

...OO〃平面尸BC不成立，即A不成立;

连接OP,

\'OA^OP,。为心中点，

；.0£>_LE4不成立，即B不成立；

:尸-4BC为正三棱锥，C.BCLPM.

BC±AM,；.BC_L平面

：.OD±BC,即C成立；

；尸。垂直于平面ABC,0A属于平面A3C,

垂直于。4,三角形A。尸为直角三角形.

•。为AP的中点，：.PA=20D.

即D成立.故选AB.]

11.下列结论不正确的是()

A.两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等.

B.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.

C.二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角.

D.若二面角两个面的法向量的夹角为120。，则该二面角的大小等于60。或120。.

[答案]ABC

12.已知点尸是平行四边形ABC。所在平面外一点，如果筋=(2,-1,-4),元)=(4,

2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结论正确的是()

A.AP±AB

B.APIAD

C.廉是平面ABC。的法向量

D.AP//BD

ABC[VABAP=0,ADAP=0,：.AB±AP,ADLAP,则选项A和B都正确；又E与

方)不平行，，还是平面48。的法向量，故C正确；'：BD=Ab-AB=(2,3,4),崩=(一1,

2,-1),...砺与弱不平行，故D错误.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13.已知向量”=(1,1,尤)，Z>=(1,2,1),c=(l,1,1),若|c—a|=2,则苫=；

若(c—a)_L(2Z(),则x=.(本题第一空3分，第二空2分)

—1或31[：c=(l,1,1),a=(l,1,x),；.c—a=(0,0,\~x),

由|c一a|=2,得N(1—X)2=2,；.x=—1或3;

当(c-a)J_(2①时，.：(c-a)・(2Z»)=(0,0,1一x)(2,4,2)=2(1一劝=0,]

14.若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。，则直线/与平面a所成的

角为•

30°[由题设，/与a所成的角6»=90°—(180°—120°)=30°.]

15.平面a经过点A(0,0,2)且一个法向量〃=(1,-1,-1),则平面a与x轴的交点

坐标是•

(-2,0,0)【设平面a与x轴的交点为M(x,0,0),则AM=(x,0,-2),

又平面a的一个单位法向量是〃o=C，—3—2J,

所以点Af到平面a的距离d=|4W-“o|=雪=0,得x=-2,

故x轴与平面a的交点坐标是(一2,0,0).］

16.已知三棱锥P-A8C各顶点的坐标分别是P(—1,0,0),A(0,1,0),8(—4,0,0),

C(0,0,2),则该三棱锥底面ABC上的高/?=.

,\/21

［由已知，AP=(—1,—1,0),A5=(—4,—1,0),AC=(0,—1,2).设平面ABC

的法向量〃=(%,y,z),

nAB=—4x—y=09\y=­4x,

<则j_取％=—1,得”=(—1,4,2).

n-AC=-y+2z=0,)乜

\n^AP\|-lX(-l)+(-l)X4+0X2|叵.

则2F=-g1)2+42+22=7.］

三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)如图，在△ABC中，ZABC=60°,NBAC=90。，AD是BC上的

高，沿把△AB。折起，使/BDC=90。.

(1)证明：平面平面3OC；

(2)设E为8C的中点，求蕊与防夹角的余弦值.

［解］(1)证明：：折起前是BC边上的高,

.•.当△43。折起后，AD1DC,ADLDB,又。

平面BDC,

平面ABD,

平面平面BDC.

⑵由NBDC=90。及(1)知DA,DB,。。两两垂直，不妨设|。2|=1,以。为坐标原点,

以DB,DC,ZM所在直线为x,以z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

易得：0(0,0,0),5(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,小),心|,0

所以AE=(；,I，一小)，DB=(1,0,0),

__1

.,T*-*x京法,调

•.cos(AE,DB)=―—.后=22

\AE\-\DB\IX^/y

F—A/22

所以AE与£)8夹角的余弦值是看

18.(本小题满分12分)如图，在正方体A8CD-481Goi中，E、F分别是8历、CD的中

点.

⑴证明：AD±DiF；

(2)求AE与。1尸所成的角；

(3)证明：平面AEO_L平面4FD1.

［解］以。为原点，DA,DC,Od为无，y,z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体

的棱长为1,则有4(1,0,0),《1,1,2J，*，；，0),A(0,0,1),4(1,0,1).

(1)证明：由石=(一1,0,0),£>=(0,一1),得最)・67=0,

：.AD±DiF.

(2)由麻=(0,1,*赤=(0,T)得，AE-D^F=0,

：.AE±DiF,

：.AE与DiF所成的角为90°.

(3)证明：由⑴(2)可知。F_L平面AE£),又。F在平面A迅A内，

平面A£®_L平面AFA.

19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，R1_L底面ABC。，AB±AD,

ACLCD,ZABC=6Q°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

p

证明：(1)A£±CZ)；

(2)PD_L平面ABE.

［证明］AB、A。、A尸两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设B4=A8=BC=1,

则P(0,0,1).

(1)VZABC=6Q°,.♦.△ABC为正三角形，坐，0),E(j,坐，£j

设。(0,y,0),由AC_LCD,得启•无=0,即y=平，则。(0,芈，0

CD=叉AE=

2'*,。),a坐,a

X/+*X坐=0,

：.AE±CD,AELCD.

(2)法一：：P(0,0,1),.•.防=(0,半，一1),

又矗•丽=坐x半+3x(—i)=o,

：.PD1AE,PD±AE,低=(1,0,0),：.PDAB^0,

：.PD1AB,又A8nAE=A,.•.PZ)_L平面ABE.

法二:AB=(1,0,0),蕊=Q,9,£),

设平面ABE的一个法向量为〃=(%,y,Z),

I取y=2,则2=一小，

力+呼=0,

.••n=(0,2,f),

VPD=^0,平,—l),显然坊=鼻.

'：PD//n,平面ABE,即P£)J_平面ABE.

20.(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，B4垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

C

(1)求证：平面B4C_L平面PBC；

(2)若A2=2,AC=1,B4=l,求二面角C-PRA的余弦值.

［解］⑴证明：由A3是圆的直径，得ACLBC,

由E4_L平面ABC,2CU平面ABC,得P4_L3C.

又出CAC=A,融u平面B4C,AC<=平面E4C,所以BC_L平面B4c.

因为8CU平面PBC.

所以平面P8C_L平面PAC.

(2)过C作CM〃AP,则CM_L平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线C2,

CA,CM为无轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

C

在Rt^ABC中，因为A3=2,AC=1,所以BC=小.

又因为24=1,所以A(0,1,0),B他,0,0),P(0,1,1).

故办=(小，0,0),CP=(0,1,1).

设平面8C尸的法向量为〃1=(尤1,yi,zi),

CB-HI=0,[y[3x\=0,

则J所以J取yi=l,则%=(0,1,—1).

〔"=o.。=0，

因为寿=(0,0,1),赢=电,-1,0),

设平面A5P的法向量为"2=(X2,>2,Z2),

AP•改=0,

则<

、AB〃2=0,

尸2=0,

所以1小工2一丁2=0,

取％2=1,则"2=(1,小,0).

V3^6

于是COS〈〃1"2〉=2也=4・

由题知二面角C-PRA为锐角，故二面角C-PB-A的余弦值为」

21.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBCA=90°,AC=BC=2,4在

底面ABC上的射影恰为AC的中点。，又知BAi±ACi.

(1)求证：平面48C；

(2)求二面角A-ArB-C的余弦值.

［解］(1)证明：如图，设4。=7(〉0),取AB的中点E,则OE〃BC,因为BC_LAC,

所以£>E_LAC,又A。_L平面ABC,所以。E,DC,D4两两垂直.

以DE,DC,04分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,-1,0),C(0,1,0),8(2,1,0),Ai(0,0,f),Ci(0,2,t),

所以公i=(0,3,t),而i=(-2,-1,f),d=(2,0,0),

由启i=0,知AG_LCB,又BAJAG,BAiClCB=B,

所以AG_L平面AiBC.

(2)由/i・/i=-3+产=0,得t=3.

设平面Ai4B的法向量为"=(x,y,z),又看i=(0,1,3)，AB=(2,2,0),

[y+y/3z=0

所以f,取z=l,贝”〃=(小，一小，1).

[2x+2y=0

再设平面A/。的法向量为m=(〃，v,w),

又占1=(0,-1,小)，d=(2,0,0),

(—V+\[3W=O9R

所以取讪=1,则根=(0,小,1).

,2〃=。,

故cos〈机，〃〉

|/n|*|n|7•

因为二面角A-AiB-C为锐角，所以可知二面角A-AiB-C的余弦值为拳.

22.(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥尸-ABC。中，附，平面A3CD,

BD交AC于点E,歹是PC中点，G为AC上一点.

(1)求证：BDUG；

(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG〃平面尸