利用导数讨论单调性和极值讲义-高三数学一轮复习

利用导数讨论单调性

导数可以用来求函数在某一点的切线斜率，而切线斜率的正负可以反映函数的单调性，因此

我们可以利用导数来研究函数的单调性.利用导数研究函数单调性的主要考点有：利用导数

对函数的单调性进行讨论(含参函数或不含参函数)和利用导数解决函数单调性的参数范围.

一、讨论单调性

1、不含参

例1、已知函数〃x)=smx+：°sxT.(1)求函数/(x)在(0/)内的单调递增区间;

解：由题意知，广(x)=I"：-》,xe(O,»),

ex

所以当/'(x)〉0时，解得xe

即/(x)在(0")的单调递增区间是10,3已小］

例2、已知函数/(x)=3。-1)-2xInx.求“X)单调增区间；

解：/(X)=1-21nx,

令广(x)〉0,解得x(0,1

所以“X)单调增区间为.0,一

2、含参类

例3、(导函数只有一个根)已知函数/(x)=+“(。€尺).讨论了比)的单调区间.

X

解：(1)由题意，函数/'(jOu@ULSeR),可得/(x)的定义域为(0,+。)

尤

且,(x)=l—"Inx

X

由/<x)>0,即1—q—lnx〉o,解得o<x<e-

由/<x)<0,即1—q—lnx<0,解得

故/(x)的单调递增区间为(0,e〜)，单调递减区间为(ej,+8).

例4、(导函数有两个根之能因式分解)已知函数/(x)=e、-2ae—x—(2+a)x(aeR).讨

论函数/(x)的单调性；

到〃、,.e2x-(2+a)ex+2a(ex-2)(ex-a)

解：/(x)=e+2ae-(2+6/)=-----——------=--------------

ee

若QWO,由e”-2=0，得x=ln2

由/，(x)<0得x<ln2；由/'(x)〉0得x>ln2

所以/(x)在(-叫In2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增；

若a>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

当0<a<2时，由/'(x)<0,得lna<x<ln2；

由/'(x)〉0,得x>ln2或x<lna,

所以/(x)在(lna/n2)上单调递减，在(―oo,lna),(in2,+oo)上单调递增；

当a=2时，/'(x)20在R上恒成立，所以/(x)在(-*+8)上单调递增；

当a>2时，由/'(x)<0,得ln2<x<lna；

由/'(x)〉0,得x>lna或x<ln2,

所以/(x)在(ln2,Ina)上单调递减，在(-oo,ln2),(ina,+oo)上单调递增.

例5、(导函数有两个根之不能因式分解)已知函数/(x)=1x2+mln(l-x),其中用eR.

求函数/(x)的单调区间.

2

解：函数/(X)定义域为(—8,1),且/•'(*)=x—F=_x—加,l-x>0

令+%_加=o,判别式A=1-4m

当A<0,即加2—时，--+x-m<0恒成立

4

所以/'(x)<0.../(X)在(-叫1)上单调递减；

当A>O,切<，时，由——冽=o,解得项=匕匹亚，i+VEfE,

4122

若0<加<；,则须<》2<1

二xe(—oo,xj时，/,(x)<0,/(x)单调递减；

%«演户2)时，/'(x)〉0，/(x)单调递增；

■re"/)时，/'(%)<0,/(X)单调递减；

若打40,则石<1«々，；.xe(—oo,xj时，/'(%)<0,/(x)单调递减;

xe(X1,l)时，/,(x)>0,/(x)单调递增；

综上所述：加W0时，/(x)的单调递减区间为—加,单调递增区间为

1-J1-4加

2J；

1/、(1—ji—4加、r1+ji—4加

0<7〃〈一时，/(X)的单调递减区间为-00,---------,---------,1,单调递

4\Jv>

__IAI_fl-yjl-4m1+J1-4加、

增区间为-----------,-----------；

\227

加时，/(X)的单调递减区间为(一8,1).

注：含参类问题求解单调性的重难点是如何对参数进行分类，讨论的关键在于导函数的零点和

定义域的位置关系.

分类讨论的思路步骤：

第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论：当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系

及与区间的位置关系(分类讨论)；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号(画导图、标正

负、截定义域)；

第四步、(列表)根据第三步的草图列出函数和导函数随X的变化情况表，并写出

函数的单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点、极值

与区间端点.

二、求参数范围

（1）/（X）在区间D上存在递增（减）区间：

方法1：转化为'/（X）的导函数大于零（小于零）在区间D上有解"

方法2：转化为'存在区间D的一个子区间使/（X）的导函数大于零（小于零），.

（2）/（X）在区间D上单调递增（减）：

方法1：转化为'/（X）的导函数在区间D上恒大于等于零（恒小于等于零）'；

方法2：转化为区间D是/（X）的单调递增（减）区间的子区间.

例6、（20112012石景山一模文18）已知函数/（x）=x+2aInx.

若函数g（x）=f+/（x）在［1,2］上是减函数，求实数。的取值范围.

2

解：g（X）q+x2+2aInx

g'（x）=4+2x3

XLX

由已知：函数g（x）为［1,2］上的单调

减函数

则g'（x）W0在［1,2］上恒成立，

即在［1,2］上恒成立

X

令h（x）」x2

X

则h'（x）=-（-4+2X）

可知〃（x）单调递减，最小值为：

h（2）=箫a<\.

1…*.

例7、已知/(x)=lnx,g(x)=-ax2+2x(办0),若〃(x)=f(x)g(x)存在

单调递减区间，则。的取值范围为(1,0)U(0,+oo)

解：h(x)=Inx-|ax2-2x

求导得(x)=--ax—2

X

由题意知：h(X)存在单调递减区间

则1(x)<0在(0,+OO)上有解

即工—ax一2<0在(0,+oo)有解

X

解得一l<a<0或a>0

注：对于导函数中关于函数单调性与参数的综合问题，首先是要区分好是恒成立问题还是存

在性问题，进而将问题转化为不等式问题，进而得到答案.

利用导数求极值、最值

与单调性并列，极值与极值点是导数的第二个运用.与单调性类似，导数与极值、极值点也

主要有两种考查方式:第一种是求函数的极值或极值点(多个极值比较大小，最大即为最值),

第二种是知道了极值或极值点求参数范围.

注：极值点是函数的导函数为零时的横坐标，而不是真正的一个点.

一、求极值(点)、最值

例1、已知函数/(力=)+：—1.求函数手=/(x)的极值.

解：­//，3=-(弋(7)又d>o,

由/'(x)=0得了=—1或x=2,

当》€(-00,-1)和(2,+8)时，/，(X)<O,此时/(X)为减函数；

当xe(—1,2)时，/,(x)>0,此时/(%)为增函数,

由f(x)的单调性知函数的极小值为/(-1)=-e,极大值为/(2)=5e-2=4.

例2、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2在l=-1处取得极值7.

(1)求的值；

(2)求函数/(%)在区间[-2,2]上的最大值

解：(1)因为/(x)=%3+乐+2,所以/'(')=312+2ax+b,

又函数f(x)=x3+ax2+&r+2在％=-1处取得极值7,

f(—1)——b—la=—3

[/'(—1)=3—2。+6=0'解得]6=—9；'

所以/(x)=3x3-6x-9=3(x-3)(x+1),

由/''(x)>0得x>3或x<-l；由/'(x)<0得T<无<3；满足题意；

(2)又xe[-2,2],

由(1)得〃x)在xe(-2,-l)上单调递增，在xe(-1,2)上单调递减，

因此/(x)1mx=/(T)=7・

二、已知极值(点)求参数范围

1、根据极值点特点求参数范围

例3、已知函数/(x)=alnx-x2+(tz-2)x--.

求函数/(x)的极值，并求当/(x)有极大值且极大值为正数时，实数。的取值范围.

._/、a—(2x—ci\(x+1)

解：/'(x)=——21+。-2=---------------•

XX

⑴当aVO时，/'(x)<0,所以，/(x)在(0,+“)递减,/(x)无极值.

(2)当a>0时，由/'(x)=0得x=；

随x的变化/'(X)、/(x)的变化情况如下:

a

X

2

/'(X)+0

/(X)/极大值

故/(X)有极大值，无极小值;

a2aa2ia°

/(x)极大=aln]_I+(«-2)x-----=aIn——a,

2242

a

由/(x)极大=aIn,一a>0,丁q〉0,q>2e.

所以，当/(x)的极大值为正数时，实数。的取值范围为(2e,+8).

2、根据极值点求参数时忘检验致错

例4、已知/(x)=|^3+|(M)x2+b2x(b为常数)在x=l处取得极值，则6=0

解：f\x)=x2+(61)x+b2

因为在x=l处取得极值

则/(1)=1+(Z?l)+b2=0

得b=0或6=-1

当/?=-1时，f\x)=x2-2x+l>0,无极值

故b=0.

注：/'(%o尸0是/(%)在％三V。处取得极值的比要不充分条件.

三、已知最值求参数范围

已知最值求范围主要有两种情况，第一种是定区间加最值求函数参数；第二种是动区间加最

值求动