2022-2023学年湖北省荆州市部分校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省荆州市部分校联考高一(下)期中数学试

卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.AB-2AC+BC=()

A.CAB.ACC.^BCD.Cfi

2.若复数z=Ci,则()

A.z2=2B.Z2=—4C.z4=2D.Z4=4

3.已知集合4={x∣2x-1<1},B={y∣y=广制，则力DB=()

A.(―∞,0]B.[0,l)C.(-∞,1)D.0

4.已知两个非零向量五=(l,χ),K=(x2,4x).则“因=2”是ua∕∕bn的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.记△4BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,且2sin2∕l+2s讥=2s讥2(4+8)+

SsinAsinB,贝∣JcosC=()

233

CD

A.3--4-4-

6.在正方形ABCD中，4B=4,P,Q分别为BC,Cn的中点，BM=3MA,则PQ∙PM=()

A.2B.1C.10D.4

7.已知函数/(乃=1211(3%+3)(|0|号)的图象关于点(3,0)对称，则/给)=()

A.-2—V^^3B.-2+V^^3ɑ.2—V3D.2+V~3

8.在△力BC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M,N分别为线段4B,AC上的动点(不

包括端点4B,C),且M,N,G三点共线，若加=2荏，AN=μAC,则;I+4〃的最小值

为()

A.IBTC.2D.7

224

二、多选题(本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.在AZBC中，内角A,B,C所对的边分别为α,b,c,根据下列条件判断三角形的情况,

则正确的是()

A.b=19,A=45o,C=30。，有两解

B.α=y∕~39b=2-∕^2,A=45°,有两解

C.ɑ=3,b-2ΛΓ~2>A=45。，只有一解

D.a=7,b=7,A=75°,只有一解

已知复数在复平面内对应的点分别为且。

10.Zl=l-i,z2=2-i,z3=2+2i4,B,C,

为复平面内的原点，贝∣J()

A.Z1+Z2的虚部为一2i

B.Z2-Z3为纯虚数

C.OA1OC

D.以IOal,∣OB∣,∣oc∣为三边长的三角形为钝角三角形

11.在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,NABC的角平分线交4C于D,E为AC的

中点，则()

A.若BD=->则乙4BC=≡

Q+CJ

B.若BD=9，则NABC=3

a+c6

C.若BE='α2+c2-ac,则NABC=≡

2J

D.若BE=α2+c2-ac,则乙4"=算

12.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边

形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形4BCDEFGH的边长为

√^1,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是()

B.而在布向量上的投影向量为(9+1)荏

C.若瓦？•芯=(I+/1)可•前，则P为ED的中点

D.若P在线段BC上，且布=X而+y用，则X+y的取值范围为［1,2+d

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知复数Z满足Z=半，则IZl=.

14.若不等式QX2-6%+3>O对％∈R恒成立，则Q的取值范围是____，a+J∙的最小值

a—1

为.

15.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2,/-BAD=E,存=2PC，延长DP交BC于

点M,则加∙AC=

16.广州国际金融中心大楼，简称“广州/FC”，又称“广州西塔”，位

于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，*∣∣/

南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测I

量其高度，在点M处测得广州国际金融中心大楼顶端P处的仰角为也在点N-

处测得广州国际金融中心大楼顶端P处的仰角为也在点Q处测得广州国际金

融中心大楼顶端P处的仰角为半其中M,N,Q三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同

一水平高度，已知MN=NQ=145，%米，则广州国际金融中心大楼的高度为米.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知复数Zl=a-5i与Z2=-2+bi(a,b∈R)互为共扼复数.

(1)判断Z2在复平面内对应的点在第几象限，并说明理由；

(2)在复数范围内，解关于Z的一元二次方程z2+az+b=0.

18.(本小题12.0分)

设五，E是不共线的两个向量，若市=m五一&Oβ=(m+l)a+b,OC=a-3b.

⑴若m=—：,同=2。|9|，且说1就求五与方的夹角。；

(2)若4B,C三点共线，求m的值.

19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ð-ɪ(a>0,且a≠1),当f(x)的定义域是［0,1］时，此时值域也是［0,l］∙

(1)求α,b的值；

(2)若αbR1,证明/(x)为奇函数，并求不等式/(2X-1)+/'。-4)>0的解集.

20.(本小题12.0分)

已知α,b,C分别为△/!BC的内角4,B,C所对的边，AB-AC=4,且αcsMB=8sin4.

⑴求A;

(2)求SinaSiTIBS讥C的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=Asin(ωx+W)QI>0,ω>0,0<φ<》的部分图象如图所示，且图中的b=

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断函数g(x)=〃>)-7%+2在［0,+8)上的零点个数，并说明理由.

22.(本小题12.0分)

在某郁金香主题公园景区中，春的气息热烈而浓厚，放眼望去各色郁金香让人心潮澎湃，黑

色“夜皇后”低调而奢华；白色"塔克马山"叶片叠层丰富；姿态雍容华贵；粉色“香奈儿”

微微张开花瓣，自带芬芳.园区计划在如图所示的区域内种植樱花和风信子，让游客在花的海

洋里有不一样的体验，其中AACD区域种樱花，△力BC区域种植风信子.为了满足游客观赏需

要，现欲在射线4。，ZB上分别选一处F,E,修建一条贯穿两区域的直路EF,EF与力C相交

于点G,其中每百米的修路费用为，万元，已知"4。=Z.CAB=≡ΛG=1百米，设NGEA=

a.

(1)试将修路总费用S表示为α的函数S(α);

(2)求修路总费用S(α)的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：AB-2AC+BC=AB+BC-2AC=AC-2AC=-AC=CA-

故选:A.

根据向量加法、数乘的几何意义和向量的数乘运算即可得出正确的选项.

本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：z=√-2i>

WJz2=2i2=-2,z4=(√-2i)4=4i4=4.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由己知可得，A={x∖2x-1<1}={x∖x<1),

由一X≥O可得，X≤0.

因为函数y=C在［0,+8)上单调递增，y=—%在(一8,0］上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，y=J^=≡在(-8,0］上单调递减，

所以y≥0,所以B={y∣y≥O},

所以4=(—8,1),B-［0,+∞),

所以4CB=［0,1).

故选：B.

根据已知解出4,根据复合函数的单调性，得出函数y=广7的单调性，即可解出8,然后根据

交集的运算，即可得出答案.

本题考查交集的运算，属于基础题.

4.【答案】C

22

【解析】解：非零向量α=(l,x),b=(XI4X),α∕∕b<=>%=4<=>∣X∣=2.

故选：C.

根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解.

本题主要考查向量平行的性质，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由三角形内角关系/+B=Tr-C可得，sin(∕l+F)=sinCf

所以满足2si∏24+2sin2B=2sin2C+SsinAsinB,

由正弦定理可得24+2b2=2C2+ɜɑð,即ɑ?+fa2-c2=∣αfe,

利用余弦定理推论可得CoSC=a2+b2-c2=ɜ.

2ab4

故选：D.

22

利用三角形内角关系和诱导公式即可得2siτι2j4+2sinB=2sinC+3sinAsinB,再利用正弦定理

和余弦定理计算即可求解.

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题.

6.【答案】A

【解析】解：由题知，在正方形ABCD中，AB=4,

所以以B为原点，BC,B4所在直线分别为X,y轴,

建立如图所示的平面直角坐标系，

由题可知P(2,0),(2(4,2),由于前=3而彳，则M(0,3),

则前=(-2,3)，^PQ=(2,2)，

所以丽•丽=-2×2+3×2=2.

故选：A.

建立坐标系，用坐标表示向量即可求得数量积.

本题考查向量的应用，向量的计算，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为/(久)=tan(3x+0)(|例≤》的图象关于点(一aO)对称，

所以3X(―5)+W=券,k∈Z>

所以3=÷^yΛ6Z.

因为∣9∣≤%所以口=一*BP∕(x)=tan(3x-ξ),

n.π√-5

则呜)=tanR)=詈*⅞=上λ百=2-C

12y46，l+tan^tan^ɪ∣v3

故选：C.

根据函数的对称中心，结合0的范围，可得出S=Y，f(x)=tan(3%Y).代入X=5，根据两角

差的正切公式，即可得出答案.

本题考查了正切函数的图象性质，考查了学生的运算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：由题意芯=J而=:(荏+前)=：(南+,前)=：荏+；(正-荏)=；荏+

4

乙乙LΛLΛ‰ι1T

⅛,

4

设而=X而，O<X<1,

BDC

则Z=^AM+^MG=AM+x^MN=AM+x(AN-AM)=xAN+(1-x)AM=λ(l-x)AB+

μxAC<

所以;I(I-X)=；,=；,得超+5=1，

所以，+4〃=3(4+44)G+}=*(5+华+》≥](5+4)=3，

当且仅当?=4,WA=p〃时等号成立,

Λμ4r8

∙∙∙Λ+44的最小值为

故选：D.

利用平面向量的基本定理，用彳屏前表示E，设丽=xMN，O<x<l,再用含参的方式用荏，

正表示怒，得到关于参数的方程组求得;0+》=1,最后应用基本不等式“1”的代换求;1+4〃

的最小值，注意取值条件.

本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，考查利用基本不等式求最值,

是中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：对于A,∙.∙A=45tj,C=30°,则B=Io5。，

•••由正弦定理E=三=—%,

SinArsιnCSinB

可得α=膂,c=若，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；

SinBSinB

对于8,a=√-3,b=2yΓ2<4=45。，

由正弦定理得SinB=咏=空鬻竺：=£>1,无解，8错误；

a<3<3

对于C,%∙α=3,b=2√-2,A=45°,:∙a>b,∙,∙B<A=45°,

由正弦定理得SinB=姐吧=迎产=,<1，有唯一解，C正确；

a33

对于。，"a=7,b=7,A=75°,：.a=b,.'-B=A=75o,

此时C=30。，有唯一解，。正确.

故选：CD.

利用正弦定理，逐项计算判断作答.

本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：对于A项，因为Zl+z2=3-2i,所以Zl+Z2的虚部为—2,所以A错误;

对于B项，因为Z2—Z3=-3K所以Z2-Z3为纯虚数，所以B正确；

对于C项，因为刀=（I,一1）,OC=（2,2）.

所以成•元=0，所以。41OC,所以C正确；

对于0项,由已知可得IoAl=IZJ=√"1,∖OB∖=∣z2∣=y∕-5,∖OC∖=∣z3∣=2√^2.

且|。川2+∣OB∣2=7<8=∣0C∣2,所以，|0*2+∣0B∣2一∣0Q2<（J,所以。正确.

故选：BCD.

结合复数的概念，即可判断4、B；

由已知得出汉,灰，求解数量积即可判断C；

由已知求出|0川，∣0B∣,IoCl的长，根据三边之间的关系，即可判断D.

本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解:对于√4项,由SAABC=SMBD+SABCD可得，

ɪacsinZ.ABC^iɪa-BDsinC+ɪe∙BDSin

LLΛLΛLΛ乙

则2acs出乙”,CoS=a∙BDSirl",+c∙BDSirι"},

所以2QCCOS^^=(Q+c)80,CoS^^=(胃)叱

2'’22ac

因为BD=W竺，

a+c

则COS半=空，即NABC故4正确；

22o

对于B项，由4知，/-ABC=≡,B项错误；

对于C项，由题可知而=；（瓦？+品）,

所以而2222

2=1(BA+Bcy=l(gɪ+BC+ZBA-BC)=^(a+c+2accos^ABC).

因为BE=4竽生,

所以q+；~^^^=+c2+2accos∆ABCy

整理可得CoS乙4BC=-ɪ,

所以NABC=半，故C错误；

对于。项，由C可知，/.ABC=y,故。项正确.

故选：AD.

根据SMBC=SΛABD+SABCD可推得，CoS弩=吗詈.结合已知即可得出COS等=岭

NABC=判断力、B项；根据已知可知或=；（瓦？+瓦f）,平方整理可得而t

ɔZ

2accosΛABC）,结合已知即可得出CoS乙4BC=-右乙4BC=与，即可判断C、D.

本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：如图所示：以AE所在直线为y轴，GC所在直线为K轴建立直角坐标系,

设OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a,

则2=α2+α2-2a2XCoSa整理得到α?=2+y∕~2>

J4(0,—a),B(-ʃa,—殍a),C(α,0),。(殍α,容α),E(O,α),F(—号a,a)<G(—a,O),

H(―a,—a)>设P(XO,¾))'

对选项A：BG=(-a—-ʃa,^ɪa)ɪAH=(―a,a--ʃa)>^BG≠2AH>错误;

222r

yΓ2>Γ∑ADABla+a-∣a1v^2,

对选项B：^AD=(j-γ-a,a+a)>AB=(Ta,Q-〒a)，底二资+g一苧4=E=亍+

即投影向量为（好+1）宿，正确;

2

对选项C：^0A∙FC=(O,—a)∙(a+ɪa,—ɪa)=ɪa<TA-FD—(—x0,—a—y0)-

(Pa,pa-a)=-容a&-(a+y())(?a-a)，OA-FC=+yJ~l.)PA-^ED，整理得到

—好ax°_（a+yθ）（[!a—a）=^，即％=（「+1）&，与正八边形有两个交点，错误；

对选项。：而=（Xo,%+α）,南=存α,α—浮α）,而=（一号α,α一号α）,和=xAB+yAH^

（⅞（7o+a）=%（^y^a,ɑ—2~a^+,（—2~a,a—2~a^'

y0+arʒ

整理得到X+y=y0∈[-γa,0]，故％+y6[1,2+/2],正确.

故选：BD.

以AE所在直线为y轴，GC所在直线为X轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算打消2科，A错

误，投影向量为（殍+1）荏，B正确,直线与正八边形有两个交点，C错误，x+y=^∑φ,D

正确，得到答案.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

13.【答案】y[~2

22

【解析】解：VZ=—,.l7l=∣i+i,_|1+.|_J1+1-

1"11-1i1-∣t∣1一

故答案为：V^^2∙

直接利用商的模等于模的商求解.

本题考查复数模的求法，考查转化思想，是基础题.

14.【答案】（3,+8）7

【解析】解：因为不等式a--6x+3>O对X∈R恒成立,

所以当a=O时，X不符合题意，舍去；

当a≠0时，则L°,?∕n,

M<O136-12a<O

解得Q>3,

综上a的取值范围是（3,+∞）;

9QIg~

Q+3=Q-1+3+1≥2（Q-1）∙3+1=7,

a-1a-1ΛJ`ja-1

当且仅当a-l=2,即a=4时取等号，

a-1r

则a+々的最小值为7.

故答案为：（3,+8）,7.

对α分情况讨论即可求解；α+言=α-l+言+l≥2j(α-l)∙^+l=,利用基本不等

式即可求解.

本题考查了函数的恒成立问题和基本不等式的应用，属于中档题.

15.【答案】I

【解析】解：由已知可得AD〃8C,差=2,

所以若=需=蔡=2,即M为"的中点,

所以而=IDM=|(DC+CM)=IAB-g而.

又AB∙AD=2×1×cos2=1,

所以前∙AC=(∣ΛF-∣½D)-(AB+AD)=|/+⅛∙AD-∖AD'=IX22

ɔɔɔɔɔɔ

[2_8

1^3∙

故答案为：

根据已知可得出第=需=差=2,然后表示出声,而，根据定义求得而.同1，然后根据数

量积的运算律，即可得出答案.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.

16.【答案】435

【解析】解：作出图形，如图所示:

Tr

由题意得P。10M,PO1ON,PO10Q,S.Z.PM0=也乙PNo=乙PQo=ɜ,MN=NQ=

145产米，

设广州国际金融中心大楼的高度为PQ=h,则OM=√^3∕ι.ON=h,OQ=噂九，

在^ONM中，由余弦定理得cos/0NM=NM∙N°2一0M2,

2NM-N0

ζ

在AONQ中,由余弦定理得COSNoNQ=，

"⅛ZNQ哈PN。/

由图形得4。NM+乙ONQ=π,BPcoszO/VM+CEONQ=0,

.∙.NM2+NO2-OM2+NQ2+ON2-OQ2=0,

.∙.(145√^6)2+h2-(√^3∕i)2+(145C)2+∕ι2-(^∕ι)2=0»解得％=435,

故广州国际金融中心大楼的高度为435米.

故答案为：435.

结合题意作出图形，利用余弦定理可得CoSNoNM="金迪二”ɪ,COSAoNQ=叱燃;。/

2NM∙N0ZNQON

求解即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为复数Zi=α-5i与Z2=—2+bi互为共输复数，所以α=-2,b=5,

所以Zz=-2+5i在复平面内对应的点在第二象限；

(2)在复数范围内，一元二次方程为z2-2z+5=0,所以/=4—4x5=-16,

解方程得Z=竽，即z=1+2i或Z=1-21.

【解析】(1)根据共辗复数的定义求出a、b的值，再判断Z2在复平面内对应点位于第儿象限；

(2)利用判别式，在复数范围内求一元二次方程的解即可.

本题考查了共轨复数的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)若W=—右则证=奥+a

VOF10C，又INl=2<^2∣K∣,

.∙.Ofi∙0C=(ia+K)■(a-3h)ɪɪ(a2-a∙b-6h2)=0,

∙∙ab=a2-6b=2∖b∖2'

ab2∖b∖2√^2

…n=丽=漏萨又8∈[0,7τ],

・•.万与了的夹角。为

(2)VAB=0F-δX=a+2h,AC=OC-OA=(1-m)a-2b^

SLA,B,C三点共线，.∙.存在人使得前=4荏，

即(I-Tn)五-23=40+2力，

则td',解得τn=2.

【解析】⑴利用而JL沆rn而•沆f=O即可求解；

(2)由共线定理前=A而及待定系数即可求解.

本题考查向量数量积的运算，向量夹角公式的应用，向量共线定理的应用，属中档题.

19.【答案】解：(1)当0<α<l时，函数y=M+1单调递减，且M+l>0.

又y=在(0,+8)上单调递增，

根据复合函数的单调性可知，函数/(x)在［0,1］上单调递减，

7(0)=b-2=l

,解得α=T

所以/⑴=—=°

U=3

当α>l时，函数y=谟+1单调递增，且α"+l>0.

又y=在(0,+8)上单调递增，

根据复合函数的单调性可知，函数/(X)在［0,1］上单调递增,

f(0)=b-2=0

解喷鹫

所以4

/(1)=b1

α+l

综上，a=g,b=3或α=3,b=2.

(2)证明：因为αb≠L所以α=3,b=2,

则/(x)=2-品，定义域为R,且函数f(x)在R上单调递增.

因为f(-χ∖J.f(χ∖—2___-___h2___——4—*3、____——4—4(3：+1)—0

χ+zx4x

四〃八X)+/⑺一Z3-+l3+l~3+l3，+1-43，+1一口'

所以/(X)为奇函数.

则不等式f(2x-1)+f(x-4)>0,可化为f(2x-1)>f(4-x).

又函数/(x)在R上单调递增，贝∣J2X-1>4-%,即x>|，

所以不等式/(2X-1)+f(x-4)>。的解集为(|,+∞).

【解析】(1)分0<α<l以及α>l,根据函数的单调性，列出方程组，即可求出答案；

(2)根据已知得出f(x)=2-*p求出/(-X),化简f(-x)+f(x)即可得出证明；根据函数的奇

偶性以及函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.

本题主要考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题.

20.【答案】解：(I)因为QCSinB=8sbM,

由正弦定理可得αbc=8α,

即be=8,

而南∙AC=bccosA=ScosA=4，

故cos/=ɪ,

所以4=品

(2)sinAsinBsinC=ɪSinBsinC=-ɪXɪ[cos(B—C)—COS(B+C)]

=^[cos(B-⅞+β)+∣]

=^[cos(2B-⅞)+i],

因为B∈(0,y),

所以28*∈(T,),

故SinASinBS讥C∈(0,K¾.

【解析】(1)由已知结合正弦定理先求出儿，然后结合向量数量积的定义即可求解cos4,进而可求

A；

(2)先利用和差角公式对所求式子进行化简，然后结合正弦函数的性质可求.

本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.

21.【答案】解：⑴由图可知4=2,又/(X)图象的一条对称轴为直线X=Xa+尹α)=各

由*金=*,得7=兀，所以3=竿=2,

因为/给)=2sin偿+尹)=2,所以3+φ=^+2kπ(k∈Z),

得9=1+2∕OT(kCZ),

又OVWVl所以5=

故f(X)=2sin(2x+ɪ).

(2)g(x)在［O,+8)上有3个零点.

理由如下：g