高考数学一轮复习 第二章 函数 第八节 函数与方程作业本 理-人教版高三数学试题

第八节函数与方程

A组基础题组

1.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x'+l

2.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

则函数y=f(x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

［2x,x<0,/£\1

3.(2017北京西城二模，⑵若函数f(x)」log2X，x>0，则f〔亚;方程f(-x)=5的解

是.

4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x20时，f(x)=x2-2x,若函数g(x)=f(x)-m(^lGR)恰有4个零

点，则m的取值范围是.

(x3,x<m,

5.(2017北京顺义二模，14)已知函数f(x)=ix,x>m,函数g(x)=f(x)-k.

⑴当m=2时,若函数g(x)有两个零点,则k的取值范围是;

(2)若存在实数k,使得函数g(x)有两个零点,则m的取值范围是.

(2x(x<0),

6.(2017北京通州期末，14)已知函数f(x)=&2(x>0),若函数8々)=£&)-1<々-1)有且只有一个零点,

则实数k的取值范围是.

1

x+—,x>0,

-4x

7.已知函数f(x)=T-2x,g(x)=lx+l,x<0.

⑴求g(f(l))的值;

(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.

B组提升题组

(x+1,x<0,1

8.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)式l°g2X，x>0,则函数8&)=乳£&))-5的零点个数是()

A.4B.3C.2D.1

j-x,x<0,

9.已知函数f(x)=t血,xNO,若关于x的方程f(x)=a(x+l)有三个不相等的实数根,则实数a的取值

范围为()

(-1

—,+OO

A」2B.(0,+8)

(0,1)

C.(0,1)D.\2/

1

10.已知函数f(x)满足f(x)+l=f&+D,当xG[0,1]时，f(x)=x,若在区间(-1,1]上,g(x)=f(x)-mx-2m

有两个零点,则实数m的取值范围是()

1111

A.0〈mW3B.0<m<3C.3〈mWlD.3<m<l

.1

-x+1,X<1,

,4

IL(2017北京石景山期末，14)已知函数f(x)=Ilnx,x>1.

⑴方程f(x)=-x有个实根;

(2)若方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是.

/Ix-11,xF[0,2],

min{|x-1|,|x-3|},xe(2,4],

12.(2017北京东城二模,14)已知函数f(x)=〔mm{|x-3|,x-5|),xG(4,+°°).

①若f(x)=a有且仅有一个根,则实数a的取值范围是;

②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.

13.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)W0的解集为{x|TWxW3,X£R}.

⑴求函数f(x)的解析式;

f(x)

⑵求函数g(x)=x-41nx的零点个数.

答案精解精析

A组基础题组

1.Ay=cosx是偶函数，且存在零点；y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x?+l是偶

函数,但不存在零点.故选A.

2.B由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点，所以

y=f(x)在［1,6］上至少有3个零点.故选B.

3.答案-2;-也或1

di11-x1

解析fU/=log24=-2.当x<0时,一x〉0,由f(-x)=log2(-x)=2可得;当x>0时,一xWO,由f(-x)=2=2

1

可得x=l.故方程f(-x)=2的解是-也或L

4.答案(-1,0)

解析画出函数f(x)的图象如图所示,若函数g(x)=f(x)-m有4个零点,则函数f(X)的图象与直线y=m

有4个交点，由图易得m的取值范围为(-1,0).

5.答案(1)(4,8](2)(-co,0)U(1,+oo)

(X3,X<2,

解析(1)当m=2时，f(x)=(x2,x>2,作出图象,如图,

要使函数g(x)有两个零点,则f(x)-k=o有两个根,则函数f(x)的图象与y=k有两个交点，由图可知

4〈kW8.

(2)可以把问题转化成函数在R上不单调,再作出图象(图略)，变化m的位置,根据图象特征可知m<0或

m>l.

6.答案k<-1或k=4

解析若函数8&)=£&)^&-1)有且只有一个零点，

则函数y=f(x)与函数y=k(xT)的图象有且只有一个交点,

函数y=f(x)与函数y=k(x-1)的图象如图所示：

函数y=k(x-1)的图象恒过点(1,0),

当直线经过(0,1)点时,k=T,

当直线与y=x?的图象相切时，

fy=x2,

[y=k(x-1)=^>x2-kx+k=0,A=k2-4k=0,

解得k=4或k=0(舍去),

由图可得k<-l或k=4.

7.解析(1)Vf(l)=-l2-2Xl=-3,

••.g(f(l))=g(-3)=-3+l=-2.

(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在tG(-8,1)时有2个不同的解,则原方程有

4个解等价于函数y=g(t)(t〈l)与y=a的图象有2个不同的交点，作出函数y=g(t)(t〈l)的图象,如图所示,

5

由图象可知，当lWa〈4时，函数y=g(t)(t〈l)与y=a的图象有2个不同的交点，即所求a的取值范围是

B组提升题组

8.B作出函数f(x)的图象,如图：

1111

当xWO时，由当x)=2得x+l=2,即x=2-l=-2,

111

当x>0时，由f(x)=2得log2x=2,即x=2之二".

11

由g(x)=f(f(x))-2=0得f(f(x))=2,

1

则f(x)=-2或f(x)二在

1

易得方程f(x)=-2有两个解，

方程f(x)=也有一个解，

1

所以函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数是3.故选B.

9.D关于x的方程f(x)=a(x+1)有三个不相等的实数根，即函数y=f(x)的图象和直线y=a(x+1)有三个交

点，函数f(x)的图象和过定点(-1.0)的直线在如图所示的位置时恰好有两个交点.设图中直线与

1

f(x)=6(x20)的图象的切点为(x。,y。)，则可以得到三个方程:y产a(x0+l)①,y产如②,a=2区区＞0)③,将

111

②③代入①得X=2网(xo+1)(x„>0),即2xo=x0+l(x°〉0),解得x„=l,从而图中直线的斜率为a=2网=2,由图

象可知，要使两图象有三个交点，则a」":〔故选D.

10.Ag(x)=f(x)-mx-2m有两个零点，即函数尸f(x)的图象与直线y=mx+2m有两个交点.当x£(-1,0)

11

时,x+1e(0,1),所以f(x+l)=f(x)+l=x+l,所以f(x)=x+1-1.在同一坐标系中，画出

y=f(x)(xe(-1,1]),y=mx+2m的图象(如图所示).直线y=mx+2m恒过定点(-2,0),所以要满足题设条件,m

1-01

需满足0<mWl-(-2),即0Q1W3,选A.

茨九)

y-mx

11

n.答案(1)1(2)14e,

,1

-x+1,X<1,

,4

解析⑴函数f(x)=llnx,x>l

与y=-x的图象如图:

可知方程f(x)=-x有1个实根.

(2)•・•方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,

.•・尸，&)与y=ax的图象有2个不同的交点,

1

x>l时,f'(x)=x,

当y=ax与f(x)(x>l)相切时，

设切点为(xo,yo),

1

则切线方程为y_yo-x°(x-xo),

又切线过原点，，yo=l,xo=e,

1

此时，尸ax的斜率为巴

11

又・・,直线y=ax与y=4x+l平行时，直线y=ax的斜率为4,

11

・,・实数a的取值范围是Ue.

12.答案①(1,+8)②(-4,-2)U(2,4)

1-x,xG[0,1),

'x-l,xe[1,2],

3-x,xe(2,3),

(x-3,x£[3,4],

5-x,xG(4,5),

解析①f(x)」x-5,x£[5,+8).

由图可知,若f(x)=a有且仅有一个根,则ae由+8).

②当T<0时，如图，A'(1—T,0),.•.3Cl-T<5=>-4<T<-2.

同理，当T>0时,A〃(5-T,0),T<3n2<T<4.

13.解析⑴:f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)W0的解集为｛x|TWxW3,xeR),

.*.f(x)=a(x+l)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.

/.f(x)min=f(l)=-4a=-4,a=l.

故函数f(x)的解析式为f(X)=X2-2X-3.

x2-2x-33

(2)Vg(x)=x