高考数学 2023年高考全国乙卷数学(理)真题（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学

一、选择题

2+i

Z=7—

1设l+i'+i-,贝|z=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共软复数的定义确定其共朝复数即可.

ii（2i）2i-l_

【详解】由题意可得z=:,2±=1==12i

l+i2+i51-1+ii2-1

则彳=1+2i.

故选：B.

2.设集合0=1i,集合M={x|x<l},N={x[—l<x<2},则{x|xN2}=（）

A.乐（MN）B.N

C.七（MfN）D.M

【答案】A

【解析】

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为2}即可.

【详解】由题意可得"N={x]x<2],则袈（MA^）={x|x>2},选项A正确;

^M={x|x>l},则N._e"={x|x>—1},选项B错误;

M2V={x|-l<x<l},则用（McN）={x|xW—1或Ml},选项C错误；

eN={x|xW—1或x»2},则”U诙N={x|x<l或x»2},选项D错误；

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为（

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体ABC。—A4GR中，AB=BC=2,惧=3,

点K为所在棱上靠近点耳,£,2,A的三等分点,O,L,M,N为所在棱的中点,

则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A4CR去掉长方体ONIQ-LMHBX之后所得的几何体,

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,

其表面积为：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lx1)=30.

故选：D.

4.已知/(x)=/—是偶函数，则。=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

%/\%I%(a-'I

【详解】因为=—为偶函数，则f(x\_4一必=工一一㈢—qe二e_J=o；

e这一1Jv7Jv'e公一]e一这一1e以一1

又因为X不恒为0,可得1一6("一1卜=0，即eX=e("T)3

则x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛(x,y)|l«x2+y2K4｝内随机取一点，记该点为A,则直线

7T

OA的倾斜角不大于一的概率为()

4

1111

A.-B.—C.-D.-

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛(九，则七三+^^可表示以^^⑼圆心，外圆半径尺=2，内圆半径厂=1的圆环,

则直线04的倾斜角不大丁的部分如阴影所示在第一象限部分对应的圆心角ZMON=-,

4

2义兀

结合对称性可得所求概率41.

rD==

2兀4

故选：C.

歹八

(兀2兀'

6.已知函数/(x)=sin(5+0)在区间单调递增，直线x=巴和x==为函数y=/(x)的图像

63

的两条对称轴，则—行"]=()

V一立B.--C.ID.更

2222

【答案】D

【解析】

5兀

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入％=-不即可得到答案.

12

（兀2兀）

【详解】因为/（幻=sin（（yx+9）在区间了,§单调递增，

LL…T2兀兀兀LCLIE271

所以一=------=—，且G>0,则7=兀，w=—=2,

2362T

当％=乙时，/(力取得最小值，则2.至+0=2E—四，kwZ,

662

则夕=2E—g,keZ,不妨取左=0,则/(x)=sin[2x—g

故选：D.

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有

()

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【解析】

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况,

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种,

根据分步乘法公式则共有C/A；=120种，

故选：C.

8.已知圆锥尸。的底面半径为e，O为底面圆心，PA,尸8为圆锥的母线，ZAOB=nO°,若Q45的面

积等于%8,则该圆锥的体积为（）

4

A.兀B.C.3下D.3a兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】在中，NAO5=120°，而04=03=6,取A3中点C,连接OC,PC,有

OC±AB,PC±AB,如图,

NABO=30，OC=—,AB=2BC=3,由的面积为吨，M-x3xPC=^

2424

解得PC=浮，于是P0=yjpc2-oc2=，（孚）2—吟）2=病,

所以圆锥的体积VugjixOAZxpoMl兀xiJ^fxCnj^.

故选：B

9.已知.ABC为等腰直角三角形，A3为斜边，△A3。为等边三角形，若二面角C—A3—£＞为150°,

则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A1B要c也D-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取A3的中点E,连接CEDE,因为&ABC是等腰直角三角形，且A3为斜边，则有CE1AB,

又△A3。是等边三角形，则。石工43,从而NCED为二面角C—AB—£＞的平面角，即NC£r＞=150,

n

显然。£<^。£=及。区。E<=平面8£,于是AB/平面CDE,又ABu平面ABC，

因此平面CDE_L平面ABC,显然平面CDEc平面43。=。石，

直线CDu平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,

从而N75CE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2,则CE=1,£>E=百，在11cDE中，由余弦

定理得:

CD=\ICE2+DE2-2CE-DEcosZCED=

DFCD73sin150也

由正弦定理得二-----------,即sin/DCE=

sinZDCEsinZCED币―2币，

显然NDCE是锐角,cosZDCE=Jl-siYNDCE=

所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为正

5

故选：C

10.已知等差数列｛4｝的公差为夸，集合S=kosa〃HeN*｝,若5=｛。,4，则()

11

A.-1B.——C.0D.=

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作

答.

2冗2冗2兀

【详解】依题意，等差数列｛〃〃｝中，=弓+(M―1),?-=?-几+(4——),

显然函数y=cos[T〃+(a「$)]的周期为3,而〃eN*，即cos。“最多3个不同取值，又

{cos〃〃|nGN*}={a.b],

则在cosq,cosGCOS/中，cosa{=cosa2wcos/或cosqcosa2=cos,

2兀9JTJT

于是有cose=cos(8H---),即有e+(6H---)=2kjt,keZ,解得8=左兀——,keZ,

333

LLr、t,〜1z7兀、r/1兀、47171727兀1

所以上eZ,ab=COS(KTI--)cos[(E-y)+—J=-cos(E--)coskn--coskncos—.

故选：B

2

11.设A,B为双曲线d一匕=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得心/左=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对

于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设人(%,%),5(%2，%)，则A3的中点”[七三

2J

可得L=二，左=+=q，

石-x2—+'2玉+X?

2

(2

r2%.1

Q

因为A,3在双曲线上，贝1][，两式相减得(z才―x

.一.=1

2_2

所以七8•左="；；=9.

X1-Xj

对于选项A：可得左=1,月隹=9,则AB:y=9x—8,

\=9x-8

联立方程<2/_，消去y得72尤2—2X72X+73=0,

19

此时△=(-2x72『-4x72x73=-288<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故A错误;

995

对于选项B：可得左二一2,左筋二一],则=

[95

y=——x——

22

联立方程<2，消去>得4512+2X45%+61=0,

r2y7

[9

此时4=（2x45）2-4x45x61=-4x45x16<0,

所以直线与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得攵=3,&1s=3,则AB:y=3x

由双曲线方程可得a=1力=3,则AB：y=3x为双曲线的渐近线,

所以直线A8与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=4-,k.„——，则AB:y=—x—，

444

■44

联立方程｛2，消去＞得63/+126x—193=0,

此时A=1262+4X63X193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12.已知（。的半径为1,直线以与：。相切于点4直线与交于8,C两点，。为BC的中点,

若|PO|=JL则的最大值为（）

A.女1+2行

B.

22

C.1+72D.2+V2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得申.力）

1V2个1V2

sin(2a—?sin2a+J然后结合三角函数的性质即可确定9.正£）

2222

的最大值.

【详解】如图所示，|QA|=1,|OP|=、/1,则由题意可知:NAPO=45,

由勾股定理可得PA=_042=1

7T

当点位于直线P0异侧时，设NOPC=aOVa«一,

则：PAPD=I^A||PD|COS

=lxVicoscircosa+—

cosa——cosa----sma

=cos2a-sinacosa

1+cosla1.小

=------------sin2a

22

jrjr

，当2。-7=-4时，/>A.p£）有最大值1.

JT

当点A。位于直线P0同侧时，设NOPC=a,0<a<-,

a」］

则:PA-PD=1|-|PD|cos

4J

=1x^/2cosacosa--

I4j

仄(0A/2.

="2cosa——cos6ZH-----sma

=cos2a+si•nacosa

1+cosla1.c

=------------b—sin2a

22

iV2.r.吟

=—+——sin2a+—

22I4J

c//1t-iI冗_TCTC

0<a<—则一《2OH——<—

4f442

.•.当2a+/=q时，pA.po有最大值匕

422

综上可得，申的最大值为l±Yi.

,'2

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了

学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

二、填空题

13.已知点A。,⑹在抛物线C：/=2四上，则A到C的准线的距离为.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为X=-3,最后利

4

用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

【详解】由题意可得：了=2pxl,则2p=5,抛物线的方程为y=5%,

准线方程为x=°,点A到C的准线的距离为i-

4

9

故答案为：一.

4

x-3y<-1

14.若无，y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3x+y>l

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x-z,

设4(5,2),显然平移直线y=2%使其经过点A,此时截距-z最小，则z最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

aa

15.已知［an］为等比数列,a2a4a5=，9io=-8，则%=.

【答案】—2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对出。4%=%%,化简得1，联立。必0=-8求出=一2,最后得

55

%=axq-q=q=—2.

【详解】设｛%｝的公比为q(qwo),则。2。4。5=。346=44,，显然。，户0,

则为=/，即则44=1,因为%40=-8,则.〃闷9=一8,

则45=(/)3=_8=(_2):贝ijq3=—2,则%=/q.q5=/=_2,

故答案为：-2.

16.设ae(O,l),若函数/(力=优+(l+a)”在(0,+")上单调递增，则a的取值范围是.

【解析】

【分析】原问题等价于/'(无)="Ina+(1+。丫In(1+a)20恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形,

可得>一_鲁由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实

Va)In+

数。的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得了'(%)=优111〃+(1+〃)尤111(1+〃)20在区间(0,+8)上恒成立，

1+6Z>―皿；；：。)在区间(°，+。)上恒成立，

则(1+〃)'ln(l+a)N-优Ina,即

a

故Iff一瑞上而。+臼1，2),故叩+a)〉。,

+>一Ina故更匚

即《I7

故<a<B

0<tz<10<2

结合题意可得实数。的取值范围是

故答案为:

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质

相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的

伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为七，K[=1,2,…,10).试验结果如下:

试验序号i12345678910

伸缩率演545533551522575544541568596548

伸缩率K536527543530560533522550576536

记4=%—x(i=l,2,…,10),记4/2,…,Zio的样本平均数为I,样本方差为$2.

⑴求z，S2;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果

z>2j—，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，

Vio

否则不认为有显著提高)

【答案】(1)Z=11，$2=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出京亍，再得到所有的z,.值，最后计算出方差即可；

(2)根据公式计算出2、忙的值，和三比较大小即可.

Vio

【小问1详解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548「6r

x=-------------------------------------------------=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

7==541.3,

10

=552.3-541.3=11,

的值分别为：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

痂2_(9T1)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s—

10

【小问2详解】

由(1)知:彳=H,2J—=276?!=V244,故有222」

VioVio

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.在ABC中，已知NBAC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。为8C上一点，且NB4D=90。，求八位)。的面积.

【答案】（1）

14

⑵亘

10

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得边长的值为BC=",然后由余弦定理可得cosB=%^，最后由同

14

角三角函数基本关系可得sinB=叵；

14

S1

⑵由题意可得产2=4,则SO8=£S”BC，据此即可求得八4。。的面积.

、XACD5

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2—2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7，

222

n„r„a+c-b7+4-15用

则3C=B，COSB=-------------------=--------------尸=

2ac2x2x414

sinB=Vl-cos2B=.^1--=.

V2814

小问2详解】

S—xABxADxsin90

由三角形面积公式可得乎也=吊------------------=4,

%AC。-xACxADxsin30

2

则S/vtco=三Sa诋=_xf-x2xlxsiiil2011=噂，

JJ\乙JJ-\J

19.如图，在三棱锥尸—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2及,PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中点分别为Q,E,O,AD=y/5DO）点/在AC上，BF±AO.

p

(1)证明：EFV/平面ADO；

(2)证明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角D—AO—C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)YZ.

2

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问1详解】

连接。E,。尸，设=则3/=34+4/=(1—r)R4+tBC,AO=-BA+^BC,BFLAO,

1216

则BFAO=[(l-t)BA+tBC]\-BA+-BC)=(t-T)BA+-tBC2=4(Z-1)+4r=0,

22

解得f=则产为AC的中点，由D,E,O,歹分别为尸6PA3cAe的中点，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OF//AB,OF=LAB,即DE//OF,DE=O尸，则四边形ODEF为平行四

22

边形，

EF//DO,EF=DO,又平面ADO,DOu平面AD。，

所以EE//平面ADO.

p

【小问2详解】

由(1)可知EFI/OD,则A0=C,O0=^，得AD=#DO=^

22

因此0。2+4。2=A£)2=",则0£>，A0,有所，A0,

2

又AOLBF,BFEF=F,平面巫户,

则有40,平面5即，又AOu平面AD0,所以平面ADO,平面BEF.

【小问3详解】

过点。作07///B尸交AC于点H,设A。BE=G,

由AOL3尸，得HOLAO,且切=』AH,

3

又由(2)知，OD±AO,则N0OW为二面角D—AO—C的平面角,

因为D,E分别为P5,PA的中点，因此G为,Q钻的重心，

1113

即有OG=—AO,GE=—BE,又FH=—AH,即有£>〃=—Gf\

3332

3_15

4+5-34+6-PA2[f.

cosZABD=-二^二2x2x8'解得私=内，同理得="

2x2x——

2

、2<

(1V6落

2_5

于是BE2+EF?=BF?=3,即有助_LM，则GR2=—x-------——,

327\3

“而"厂<153VI5{15

从而GF=-----，DH=-x------=------，

3232

在△OW中'OH=LBF=^OD=^DH=^

6+3_15

=正,

于是cosNDOH=」）友=-与,sinZDOH

2x——x——一y

22

所以二面角D—AO—C的正弦值为YZ

2

20.已知椭圆C:与+==l（a〉》〉0）的离心率是@，点4（—2,0）在C上.

ab3

（1）求C的方程；

（2）过点（—2,3）的直线交C于尸,Q两点，直线ARAQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN

的中点为定点.

22

【答案】（1）^+―=1

94

（2）证明见详解

【解析】

分析】（1）根据题意列式求解。，仇。，进而可得结果；

（2）设直线尸。的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证工：-为定值即可.

2

【小问1详解】

b=2a=3

由题意可得＜a2=b'+c2解得|b=2

c\/5

e---——

、a3

所以椭圆方程为二+二=1.

94

小问2详解】

由题意可知：直线尸。的斜率存在，设PQ:y=左（*+2）+3,。（%,％）,。（々,%），

y=攵（％+2）+3

联立方程1y22

,消去y得：（4/+9）尤2+8左（2左+3）尤+16（r+3左）=0,

工+匕=1

194

贝UA=64左2（2左+3）2-64（4左2+9）（^+30=一1728女>0,解得左<0,

8左（2左+3）16（公+3左）

可得%+%=-=--------

4二+91-4k2+9

因为4（—2,0）,则直线AP:y=」^（x+2）,

X］十N

令A°'解得广*

,即

I%+2

同理可得含

则玉+2'2+2_凶石+2）+3][k（々+2）+3]

—I

2%+2%+2

［何+（2左+3）］（%2+2）+［仇+（2左+3）］（石+2）2gx2+（4左+3）（须+々）+4（2女+3）

（石+2）（々+2）玉%2+2（玉+尤2）+4

32k（k2+3k）8/（4左+3）（21+3）

+4（24+3）W8

24k2+9

4左+9---------二---二3

16伏？+3k）16M2k+3）36

+4

4r+94k2+9

所以线段尸。的中点是定点（0,3）.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值;

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无

关；也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

21.已知函数1/(%)=—F<7Iln(l+x).

(1)当a=—1时，求曲线丁=/(力在点(1,/。))处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明

理由.

(3)若/(尤)在(0,+")存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在。=—,b=—满足题意，理由见解析.

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【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求

解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数6的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可

得关于实数。的方程，解方程可得实数。的值，最后检验所得的。涉是否正确即可；

(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=G：2+x—然后对函数求

导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论aWO,1和0<a〈工三中情况即可求得实数。的取值

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范围.

【小问1详解】

当a=—1时，=|---l)n(x+l),

则/'(x)=--yxln(x+l)+f--l^|x^—,

据此可得/(l)=0,/'(l)=_ln2,

函数在处的切线方程为y—0=—ln2(x—1),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得/=(x+a)In[:+1],

1x_l_1

函数的定义域满足一+1=——>0,即函数的定义域为(―8,—l)D(0,+8),

定义域关于直线了=-工对称，由题意可得人=-,，

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a

取"7=5可得〃1)=/(—2),

即(a+l)ln2=(a-2)ln；,则a+l=2—a,解得a=g,

经检验〃=—,b=—满足题意，故。=—力=—.

2222

即存在a=』,b=-」满足题意.

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【小问3详解】

由函数的解析式可得/'(£)=[-(■]山(》+1)+1+/1[,

由/(%)在区间(0,+。)存在极值点，则/'(X)在区间(0,+")上存在变号零点；

令,力(川)+[*2=0，

则一(九+1)1!1(%+1)+(%+0¥2)=0,

令g(x)=4+%—(x+1)1n(x+1)，

/(X)在区间(。,+8)存在极值点，等价于g(X)在区间(0,+8)上存在变号零点,

g'(x)=2依-ln(x+l),g"(x)=2a-------

JC+1

当aWO时，g'(%)<0，g(x)在区间(O,+“)上单调递减，

此时g(x)<g(°)=。，g(x)在区间(0,+。)上无零点，不合题意；

当2a时，由于缶<1，所以g"(x)>O,g'(£)在区间(0,+。)上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在区间(0,+“)上无零点，不符合题意；

1,..z11

当0<。<一时，由g(x)x=2a-----=0可得x=----1f

2x+12a

当—时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

当xe[(-l,+oo]时，g"(x)>0,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为—1]=1-2a+In2a,

_rI1

令机(x)=l-x+lnx(O<x<l),则〃(％)=----->0,

函数巩力在定义域内单调递增，772(%)<m(l)=O,

据此可得1—x+lnx<0恒成立，

则8—1]=1—2a+1”2a<0，

令/z(x)=lnx-12+%(x>0),贝ij=-2x+x+l,

x

当xe(O,l)时,"(x)>O,/z(x)单调递增，

当xe(l,+8)时，〃(力<0,人(力单调递减,

故/z(x)4〃⑴=0,即InxWf—x(取等条件x=l),

所以g'(x)=2ax—ln(x+l)〉2ax—(x+l)~-(x+l)=lax-^x1+x),

g'(2a-1)〉2a(2a—1)-[(2a-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(%)在区间(0,+。)上存在唯一零点看.

当xe(0,%)时，g'(x)<0,g(x)单调减，

当xe(%,+oo)时,g<x)>0,g(x)单调递增,

所以g(%)<g⑼=0.

令〃(x)=lnx-g\-£|,则〃'⑺=遇[1+、'(J)«0,

则”(九)单调递减，注意到“⑴=0,

故当xG(1,+co)时，[nx-'lx—]<0,从而有Inxv,1%—),

所以g(x)=or2+x-(x+l)ln(x+l)

>cix^+x_(x+1)x—(x+1)-----

v72v7x+1

a-1x2+-,

2

,i

令T所以

x~+5=0得刀21^—,g

l-2a

所以函数g（x）在区间（。,+8）上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数。得取值范围是

【点睛】（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等

函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

（2）根据函数的极值（点）求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0