江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三年级上册10月第二次联考数学试题

金陵中学、海安中学2023届高三10月第二次联考

数学

2022.10

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合/={—1,1,2,3,6},5={2,5},C={x|l<x<3},则(/口。川5=()

A.{1,2}B.{2,5}C.{1,2,5)D.{1,2,3,5)

2.i为虚数单位，则3-2i满足的方程是()

A.x~—6x一13—0B.x"+6x+13=0C.x~+6x—13=0D.

x2-6x+13=0

3.(x—y)(x+y)8的展开式中炉力的系数为(

A.28B.-28C.56D.—56

4.设。为△ABC所在平面内一点，且满足CO=38。，贝I()

——3——1————3——1————4——1——

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-ACC.AD=-AB——ACD.

222233

AD=-AB+-AC

33

5.己知数列{4},若p：数列{氏}是等比数列;q：

(a；+Q；+…+Q；一+Q；+…+a；)=(〃必2+。2。3H-----^~an-ian)2'则P是g的

()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

不必要条件

2"'0一'<2其中〃/£火，给出下列四个结论:

6.关于函数/(x)=<

b-x,x>2

甲：6是该函数的零点;乙：4是该函数的零点；

T：方程/(x)=g有两个不等的实根

丙：该函数的零点之积为0；

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.设常数a使方程sin2x+Gcos2x=a在区间［0,2句上恰有五个解

5

x,(i=l,2,3,4,5),则()

i=i

7%25兀「13%14万

A.——B.——C.---D.

363亍

8.设xeR,[x]表示不超过X的最大整数，若存在实数t,使得口=1,[r]=2,••

口[=〃同时成立，则正整数〃的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

平+x

9.已知函数/(x)=cos2%-2sin,则()

(2J(2

A./(x)的最大值为3B./(x)的最小正周期为乃

3兀71

C./(X)的图象关于直线对称D./(X)在区间上单调递减

8T，-8

10.已知实数a,b,c满足a〉b>c且abc<0,则下列不等式关系一定正确的是

()

A.—>—B.—+—>2C.ac2>he2D.<721<b2c

abab

11.已知［与5均为单位向量，其夹角为。，则()

A.0<|a+^|<2B,-\<ab<\

C.若卜+©>1,则与)D.若则卜一可>1

12.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体.甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三

角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则

()

2

A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为一

5

2

B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为一

5

C.乙选择的三个点构成正三角形的概率为,

7

D,甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为口

35

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=ax2+(x2_2x+2)e、，不论。为何值，曲线y=/(x)均存在一条固

定的切线，则这条切线的方程是.

14.已知函数/(乃=2X3一2/+6,若存在。，b,使得/(x)在区间［0,1］的最小值为一

11且最大值为1,则符合条件的一组a,6的值为.

15.在数列｛%｝中,%=1,4=2,数列低｝满足4=。的+(—1)%“，〃eN*.若

b2n~b2n_x=0,b2ll+l+b2n=,neN*,则数列｛a,｝的前2022项和为.

22

16.已知椭圆C：二r+二v=乂.〉/?〉。）的右焦点为尸（2,0）,经过原点。且斜率

ah

的直线与椭圆C交于4,B两点,的中点为M,8尸的中点为N.若

OM1ON,则椭圆C的离心率e的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知数列｛4｝是公比为4的等比数列，前”项和为S“，且满足％+%=2q+l,

S3—3。2+1-

（1）求数列｛%｝的通项公式;

为+「为，〃为奇数

(2)若数列｛〃｝满足bn=3a.求数列也｝的前2〃项和耳.

，〃为偶数

.4a：-5a“+l

18.（12分）

在检测中为减少检测次数，我们常采取“”合1检测法”，即将〃个人的样本合并检测，若

为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测.现

有10k（keN）人,已知其中有2人感染病毒.

（1）若左=5,并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；

（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X,采取“10合1检测法”的总检测次数

为丫，若仅考虑总检测次数的期望值，当人为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请

说明理由.

19.（12分）

在△ZBC中，内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,D为边BC上一点,若

ABDB

~AC~~DC'

(1)证明：(i)AD平分NBAC；

(ii)AD?=AB•AC-DB•DC；

(2)若(l+sin5)sinN5/C=cos8(l+cos/5ZC),求的最大值.

c

20.(12分)

在一张纸上有一个圆C：(x+后『+/=4,定点”(后,0),折叠纸片使圆。上某一

点好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕P0,设折痕尸0与直线

的交点为T.

(1)求证：||7。|一|770||为定值，并求出点T的轨迹C方程；

(2)设/(-1,0),〃为曲线。'上一点，N为圆x2+j?=i上一点(〃，N均不在x

轴上).直线/M,NN的斜率分别记为占，k2,且左2=-(占，求证：直线过定

点，并求出此定点的坐标.

21.(12分)

已知底面/8CZ)为菱形的直四棱柱，被平面NEFG所截几何体如图所示，若

TT

AB=DG=2,CF=3,Z.BAD=—.

(1)求点。到平面6尸G的距离；

(2)求锐二面角/一EC—8的余弦值.

22.(12分)

已知函数/(x)=2xlnx,g(x)=x2+ox-l,awR.

(1)若尸(x)=g(x)-/(X)在[1,+8)存在极小值点，求Q的取值范围；

(2)若函数=卜2a有3个零点七,x2,x3(<x2<x3),求证：

(i)x3>y/l+2a；(ii)4>'+2.

%2e—2

金中、海安2023届高三年级10月第二次联考

数学参考答案

一、单选题

1-5：CDBAA6-8：BCA

8.【答案】A

【解析】=[产]=2=>/"&,6),[z3]=3=>ze[V3,V4),

[/4]=/=>re[V4,V5),[『]=5=/€[痣,浜)(73«1.732,^4®1.587,

痣*1.495,V6«1.431<1,495)

当〃=4时，可以找到.使其在区间［i,2)n［J5,石)n［孙，孤)n［正，痣)上，

当〃=5时，无法找到/使其在区间［1,2)n［①⑹n［独啊n［痣至)n［痣,涧

上，

即正整数〃的最大值为4,故选A.

二、多选题

9.【答案】BC

【解析】

/(x)=cos2x_2sin(m-jcos(m+x)=cos2x+sin2x=A/^sin(2x+£

A错，/(X)max=6，

C对，/")=缶呜=/，

D错，一旦4x4工0一工42》+工4工，故函数单调增.

88242

10.【答案】AC

【解析】由题意得Q>b>0>c或0>Q〉b>c,

acc(11、c(b—a).

A对，_>_=>c----=-------->0,

ah\ab)ah

B错，c<0时与选项矛盾，

C对，ac2>be2nct>b,

2C62C6

D错，a=-\9b=-2fc=—3时，^=(-1)->Z?=(-2)-,与选项矛盾.

11.【答案】ABD

【解析】A对，1+q=1+1+2^7-^=2+2cos0G［0,4］,

B对，a-B=cos，e［-1,1］,

C错，,+=2+2cose>l=cose>-；=6e

D对，ee(/,〃)=>cosew(一l,g)=>卜=2-2cos6e(1,4).

12.【答案】ACD

【解析】甲总有Cl=20种情况，乙总有C；=56种情况.

A对，甲为正三角形则在上下顶点选一且中间四个顶点选二，即8种；

B错，甲为等腰直角三角形则分三种情况：中间选三个点即4种；上下都选加中间一点,

即4种,上下选一中间选二即4种，共12种；

C对，乙为正三角形即一方(上方或下方)四个中心选一，且另一方选择两个相对的中

心，即8种；

D对，相似则都为正三角形或等腰直角三角形，即都为正三角形时由A,C得概率为

都为等腰直角三角形时，乙的情况共有24种，结合B得概率为二一=一，

57355735

即总概率为U.

35

三、填空题

13.【答案】y=2

[解析】f(x)=ax2+(工2-2x+2)ex=>f'(x)=2ax+x2ex

要满足题意，则取x=0,即切点为(0,2),所以切线方程为y=2.

b=1

14.【答案】\

a=4

【解析】/(x)=2x3—ax2+bn/'(x)=6x2—2ax=2x(3x—4),为简单，则令:>1,

f/(O)=l仿=1

即让函数在区间上单调递减，此时要满足题意则4；;，解得4

/1=-1。=4

（11°°9

15.【答案】5-1-

af

【解析】由已知得b2n=a2n+l+a2n,%,+]=a2n+2-2n+\所以

b2ll+b2ll+i=%,+2+4“=卷，即前2022项中偶数项的和为：

外+(%+&)+…+(42020+42022)=2+卷+…+；

又由已知得力,=。2.+|+%“，62,1=%“_%1，所以仿“=&_|=>%,+]=_々,1，即奇

数项为公比为一1的等比数列，即々1=(-1丫1,即前2022项中奇数项和为1;

（]V009

综上所述，前2022项和为5-].

（历'

16.【答案】,V3—1

、2.

【解析】设4（2加,2〃）（不妨设〃?〉0,〃〉0）,则/（加+1,〃），同理

N（-m+T,-n）,

OMJ.ON=>OMON=0=>1—m~—=0=>TH2+/?2=1

22

k>>/3=>—>V3=>n>=>n>3m~=1-zw?>37M?=>m<—

m4

477724/?24—4加2

所以由点在椭圆上得F+F=1,结合上述条件可得：-^+―——=1,

a2b2a2a2-4

a2(8-a2a2(8-a2)

化简得“2=」-----，即0<二-----<-,解得4+2GW/<8,

16164

c2

所以e=±=*e与g.

aa

四、解答题

q+%=2,+1q+qg2=2q+i%=1

17.【解析】（1）《=><即。“=2"T；

S[=3a?+1q(l+g+/)=36q+l

2"T,〃为奇数

（2）由已知得〃=<

11，〃为偶数'

,2,,+1-1

所以n"=("+%+…+&-|)+e2+4+…+%)

111111

-------------------+--------------------+■••+--------------------------

23-12,-125-123-122W+1-122W-1-1

4"-41

=---------------F—-------.

322,,+1-1

18.【解析】（1）现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所

以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配

思想，第二种是算一组己经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果

「8「10「10「10「10

―48・（40*・5（）・

C89

为-10-----[o---------[7-------[7)-------和-，结果均为；

「io.「io.「io.「io.「io「949

^50^40^30^20L]0J9

（2）当感染者在同一组时，X=2左+5,Y=k+W,

此时尸（X）=0f^=」一，p（y）=£^.=._9

CM10^-1喘j10左-1

当感染者不在同一组时，X=2k+\0,Y=k+20,

49

此时尸（x）=i------,P（Y）=I--------,

10人—110左一1

4+(2左+10)/1———=3。/

所以E(X)=(2k+5)-前工

(10%-1

9+(左+20)/1———32。-品

”)=(左+10).—-—

10^-1(10%-1

由题意E（y）>E（X）=>10左2一10bt+80<0=1<左（9,

答:当1W左W9时，采取10合1检测法更适宜.

ABDB

19.【解析】(1)(i)在三角形中，由正弦定理得

sinNADBsin/.BAD

ACDC

在三角形48中，由正弦定理得———

sinZ.ADCsinNCAD

因为乙4DB与ZADC互补，所以sinZADB=sinNADC，

由题意得上=上:，所以sin/C4D=sin/A4D,即NC4D=N氏4。，

ACDC

所以〃。平分/切C得证；

(ii)因为NC/O=NA4。，所以cosNCNO=cosN84。，

4B?+心-DB)AC2+AD2-DC2

由余弦定理得

2ABAD2ACAD

化简得。一/8)=一/8)+DC?AB-DB2AC,

由(i)得AC•DC=AC-DB,

代入上式有：AD2(AC-AB)=ABAC(AC-AB)+DC-AC-DB-DB-AB-DC,

即AD2=AB•AC—DB•DC得证；

(2)由已知得(l+sin8)sin/8/C=cos5(1+cosZ.BAC)

(.B,(B.,5V.ABAC

=>sin—+cos—•2sinZ.BACcosZ.BAC-cos2---sin--2cos-------

<22)V22)2

B

ntan^=\ntan^=tan仔-马+

21+tai2142)2

2

所以△NBC是直角三角形，即,2=/+〃，

所以土吆=1+—^-<V2,当且仅当a=b时取等，

c储三a+h

\ba

所以空2的最大值为

C

20.【解析】(1)由题意得17M卜|77%],所以

|阿砌=||7,C|-|™,||=2<2V5=\CM\,

即T的轨迹是以C,M为焦点，实轴长为2的双曲线，即C'：/-匕=1；

4

(2)由已知得乙用：y=K(x+l),IAN：y=A：2(x+l)，

尸匕(x+1)

2222

联立直线方程与双曲线方程｛,y2=>(4-^)X-2^X-^-4=0,

X----=1

4

_斤2_4"2+4Rk

由韦达定理得xx=1,所以X"=-1―，即y=k、+1)='2―’

AjVf4-A14一41M4一叫

(424

所以〃

14-好'

联立直线方程与圆方程W(l+孙0,

22

由韦达定理得k—所1以乙=1-k^+1,即6=左式/+1)=丹7k

1+化21+左21+左2

因为eW=_LeM，即左2=_,占，所以N

Z1*■Z1/KI4116+后)6+%：/

若直线所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点T&0),

由三点共线得女MT

8.

即:一片二•—产+占——=>左；+4+(左:-4).=左：一16+(左：+16)/=>/=1,

钊一

—L+,-t

4一后16+左；

所以直线"N过定点7(1,0).

21.【解析】(1)设ZCn8D=。，由已知易得CO=G，BF=岳,GF=亚,

BG=2y[2,

且CO_L面BDG,设点D到平面BFG的距离为d,则VD_BFG=VE_BDG,

即卜£"G=；C"S△皿，即"=罕—=零=粤；

JJ、4BFGV10，

(2)以。为原点，。4所在直线为x轴，05所在直线为y轴，过。平行于C9的直线为

z轴建立空间直角坐标系，

由已知得/(G,0,0),5(0,1,0),C(-V3,o,o),£(0,1,1),

即就=126,0,0),CE(73,1,1)，5C=(-V3,-l,0),

[«.JC=0-24=0

设面NEC法向量为7=(a,b,c),则___=>,

n-CE=Q6a+b+c=0

设6=1,则3=(01,—1),

n-BC-0-〃=o

设面BEC法向量为m=(a',b；c'),则｛_____=>

M-CE=0Ga'+b'+c'=0

设6’=1,则加=*4