数学-人教A版（新教材）-选择性必修第二册

第五章

5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的

关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一函数极值的定义1.极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝

，而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，就把

叫做函数y＝f(x)的极小值点，

叫做函数y＝f(x)的极小值.2.极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝

，而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，就把

叫做函数y＝f(x)的极大值点，

叫做函数y＝f(x)的极大值.3.极大值点、极小值点统称为

；极大值、极小值统称为

.0f′(x)<0f′(x)>0af(a)0f′(x)>0f′(x)<0bf(b)极值点极值知识点二函数极值的求法与步骤1.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是

；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是

.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程

的根；极大值极小值f′(x)＝0(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.1.导数为0的点一定是极值点.(

)2.函数的极大值一定大于极小值.(

)3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(

)4.函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√2题型探究PARTTWO一、求函数的极值例1

求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；解f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)f(x)＝x－alnx(a∈R).解f(x)＝x－alnx的定义域为(0，＋∞)，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.反思感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.解函数f(x)的定义域为R.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.解函数的定义域为{x|x≠0}，当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；二、由极值求参数的值或取值范围例2

(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝____，b＝_____.4－11解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.解f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.故实数m的取值范围是(3，＋∞).反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.√①若函数的极大值点是－1，求a的值；解f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得，f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3.②若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围.解由题意得，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a<0，故a的取值范围是(－∞，0).三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题解由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：反思感悟(1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值.∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，3随堂演练PARTTHREE1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A.在(1,2)上函数f(x)单调递增B.在(3,4)上函数f(x)单调递减C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点√12345√√解析由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误.123452.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)

C.(2，＋∞) D.(－∞，3)12345√解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.√3.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点

B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点

D.x＝－1为f(x)的极小值点12345√解析令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点.4.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为___.12345解析由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表如下：2x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝2时，f(x)取得极小值.2

－412345解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，经验证知符合题意.1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.下列函数中存在极值的是基础巩固12345678910111213141516√解析对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)√12345678910111213141516解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.123456789101112131415163.函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为A.－e B.－1

C.1－e D.012345678910111213141516√令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4 B.－2 C.4 D.212345678910111213141516√解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.5.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是A.－4 B.－3 C.6 D.812345678910111213141516√解析由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.√令f′(x)<0，得x<－2或x>1；令f′(x)>0，得－2<x<1.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，12345678910111213141516123456789101112131415167.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝_____.12345678910111213141516－13解析f′(x)＝－x2＋2bx＋c，12345678910111213141516若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，当－3<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，12345678910111213141516故b＝－1，c＝3即为所求.(1)求a的值；由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，12345678910111213141516(2)求函数f(x)的极值.12345678910111213141516当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.1234567891011121314151610.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；解f′(x)＝3x2－2x－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1234567891011121314151612345678910111213141516(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？解函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.12345678910111213141516∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，1234567891011121314151611.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是综合运用12345678910111213141516√解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中的图象知选C.123456789101112131415161234567891011121314151612.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.解析由题意知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，1234567891011121314151613.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______.[1,5)12345678910111213141516解析∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,