数学-人教A版（新教材）-选择性必修第二册-20

第五章

§5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习目标XUEXIMUBIAO2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝____f(x)＝xf′(x)＝____f(x)＝x2f′(x)＝____f(x)＝x3f′(x)＝____f(x)＝f′(x)＝____f(x)＝f′(x)＝_____知识点一几个常用函数的导数012x3x2知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___0αxα－1cos

x－sin

xaxln

aexf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝___3.若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.(

)4.若y＝sin60°，则y′＝cos60°.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√××2题型探究PARTTWO一、利用导数公式求函数的导数例1

求下列函数的导数：(1)y＝x0；解y′＝0.(3)y＝lgx；∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.跟踪训练1

求下列函数的导数：(1)y＝2020；解因为y＝2020，所以y′＝(2020)′＝0.(3)y＝4x；(4)y＝log3x.解因为y＝4x，所以y′＝4xln4.解因为y＝log3x，二、利用导数研究曲线的切线方程例2

已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.延伸探究

求曲线y＝lnx的过点O(0,0)的切线方程.解∵O(0,0)不在曲线y＝lnx上.∴设切点Q(x0，y0)，反思感悟(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2

(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为A.y＝12x－16 B.y＝12x＋16C.y＝－12x－16 D.y＝－12x＋16√解析因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.(2)已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值.解设切点为(x0，lnx0)，因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以切点为(1,0).所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.核心素养之直观想象与数学运算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN利用导数公式求切点坐标问题典例已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧

上求一点P，使△ABP的面积最大.解由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0

＝1.故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.故P(1,1)点即为所求弧

上的点，使△ABP的面积最大.素养提升(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养.3随堂演练PARTTHREE1.给出下列命题：解析对于①，y′＝0，故①错；其中正确命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√显然③，④正确.1234512345√3.(多选)下列结论正确的是12345√解析只有B是错误的.√√123451解析因为f(x)＝lnx(x>0)，所以x0＝1.12345x＋y－6＝0∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.1.知识清单：(1)常用函数的导数.(2)基本初等函数的导数公式.(3)切线方程.2.方法归纳：方程思想、待定系数法.3.常见误区：不化简成基本初等函数.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.下列求导运算正确的是基础巩固√12345678910111213141516A.2 B.3 C.4 D.52.下列各式中正确的个数是√12345678910111213141516解析∵②(x－1)′＝－x－2；④(cos2)′＝0.∴②④错误，故选A.解析∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴a＝4.3.已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于A.4 B.－4 C.5 D.－512345678910111213141516√A.0 B.－1 C.1 D.212345678910111213141516√解析f′(x)＝－sinx，5.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为A.(－1,1) B.(－1，－1)C.(1,1) D.(1，－1)√12345678910111213141516√解析y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).6.已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数.若f(x)＝ln5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为

.12345678910111213141516x－y－1＝0所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.41234567891011121314151612345678910111213141516(1,1)解析设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1,1).解如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以

＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).9.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，因为y′＝2x，所以k＝2x0，所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.11.已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有A.1条

B.2条

C.多于2条

D.不能确定综合运用√解析y′＝f′(x)＝3x2，1234567891011121314151612.若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝

.123456789101112131415162解析y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.13.已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为

.解析∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，则sinx＝1，1234567891011121314151614.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2020(x)＝

.sinx解析由已知得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx