智能控制基础：2模糊控制的数学基础

智能控制第二章模糊控制的数学基础 概述2.1 模糊集合2.2 模糊集合与普通集合的联系2.3 隶属函数2.4 模糊关系与模糊关系合成2.5 模糊逻辑与模糊推理2.6072.1概述引子谷堆论证——欧布利德秃头悖论模糊概念模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清”的意思。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）。模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。模糊概念大量存在于人的观念之中：2.1概述模糊概念大量存在于人的观念之中：没有明确外延的概念概念本身具有开放性概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围，概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和2.1概述模糊概念天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低2.1概述模糊性与精确性对立统一，相互依存，可互相转化精确的概念可表达模糊的意思模糊的概念也能表达精确的意思2.1概述模糊性与随机性随机性是事件发生与不发生的因果规律被破坏而造成的一种不确定性。在形容随机性时，虽然我们不知道每次实验时该事件是否出现，但每一事件是什么样的，则是非常明确和清晰的。模糊性则是事物本身性态和类属的不确定性。大体上说，随机性是一种外在的不确定性，模糊性是一种内在的不确定性。2.1概述模糊性与随机性概率论处理随机事件：模糊集合处理模糊事件：事件发生与否不确定，但事件本身有明确定义，即发生不发生的界限明确。事件本身模糊，出现不出现没有明确的分界线事件本身有确切定义，发生与不发生的界限明确，但事件发生的概率难于用精确的数值表示2.2模糊集合普通集合*

集合

具有特定属性的对象的全体，称为集合。集合通常用大写字母A，B，……，Z来表示。*元素组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，……，z来表示。*论域所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集不包含任何元素的集合，称为空集，记做Φ。*子集集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。*属于*包含*相等*有限集如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则叫做无限集。

若元素a

是集合A

的元素，则称元素a

属于集合A，记为；反之，称a不属于集合A，记

若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为；或者集合B包含集合A，记为。对于两个集合A和B，如果和同时成立，则称A和B相等，记做A=B。2.2模糊集合集合的表示法例举法描述法将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。将集合中所有元素的共同特征列在大括号中描述出来。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为A={10，12，14，16，18，20}上例中的集合A也可用描述法表示为A={a|a为偶数，10≤a≤20}2.2模糊集合特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。特征函数的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么它的值为1；如果x不属于集合A，那么它的值为0。2.2模糊集合集合的运算集合的交集合的并集合的补2.2模糊集合集合的直积序偶集合的直积将不同的事物按一定顺序排列起来组成一个整体，用以表达它们之间的关系，这就叫做序偶。有两个集合X，Y，从X中取一个元素x，从Y中取一个元素y，把它们组成一个序偶，所有元素序偶的全体组成一个新的集合，这个集合叫做集合X，Y的直积，表示为注：由于序偶和顺序有关，所以2.2模糊集合模糊集合的定义给定论域X，X到[0,1]闭区间的任一映射μA都确定X上的一个模糊子集A，简称模糊集。对于x∈X，μA称为模糊集合A的隶属函数，μA(x)称为x对于A的隶属度。隶属函数μA(x)是x属于集合A的程度的数量指标，μA(x)的值越大，表示x从属于A的程度越高，反之越低，当μA(x)仅取0，1二值时，A便成为普通集合，隶属函数就成为普通集合的特征函数。论域隶属函数模糊集合两要素以年龄为论域，取，Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为2.2模糊集合例2.2.1当x=33时，Y(x)=0.2808当x=45时，Y(x)=0.05882.2模糊集合例2.2.1“年轻”的隶属函数曲线2.2模糊集合模糊集合的表示法有限离散论域Zadeh表示法向量表示法序偶表示法论域为有限集，即时，X上的模糊集可以表示为隶属度为零的项可以不写。式中的“＋”和“/”仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。隶属度为零的项不能省略隶属度为零的项可以不写2.2模糊集合例2.2.2设X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，以A表示“小的数”，分别写出上述三种模糊集合的表达方式。解：根据经验，“小的数”这一模糊概念，可以定量地给出其隶属函数Zadeh表示法：简化为：序偶表示法：向量表示法：2.2模糊集合模糊集合的表示法连续论域Zadeh表示法：不是表示“分数”，而表示论域上的元素x与隶属度之间的对应关系；既不表示“积分”也不是“求和”记号，而是表示论域X上的元素x与隶属度对应关系的一个总括。以年龄为论域，取，用模糊集Y表示“年轻”，用O表示“年老”。隶属函数分别为定义为2.2模糊集合例2.2.32.2模糊集合例2.2.3“年轻”和“年老”模糊集合可以写为：2.2模糊集合模糊集合的运算设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则模糊集交

模糊集并模糊集补相等若，总有成立，则称和相等，记作

包含若，总有成立，则称包含，记作2.2模糊集合模糊集合的运算2.2模糊集合例2.2.4设论域X={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：

求，，2.2模糊集合模糊集合的运算设A，B为X中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA和μB，则代数积代数和有界和有界差

有界积2.2模糊集合模糊集合的运算性质交换律，结合律，分配律传递律，，则，幂等律摩根律，注：互补律不再成立，即2.3模糊集合与普通集合的联系λ水平截集在论域X中，给定一个模糊集合A，任取λ∈[0,1]，记当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。当λ=0+时，得到的最大的水平截集称为模糊集合A的支集。如果A的核A1非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。称为A的水平截集，其中λ称为阈值或置信水平。又记称为A的λ强截集2.3模糊集合与普通集合的联系λ水平截集支集核截集2.3模糊集合与普通集合的联系水平截集的性质A∪B的λ水平截集是Aλ和Bλ的并集：A∩B的λ水平截集是Aλ和Bλ的交集：如果λ∈[0,1],α∈[0,1]，且λ≤α，则分解定理2.3模糊集合与普通集合的联系设A是论域X上的模糊集合，λ∈[0,1]，是A的λ截集，则有其中λAλ为x的一个特殊模糊集合，其隶属函数为说明任何一个模糊集可由一个普通集合簇来表示分解定理2.3模糊集合与普通集合的联系为了对分解定理有一个直观的了解，在左图中，取λ1、λ2∈[0,1]两个值分解定理2.3模糊集合与普通集合的联系例2.3.1.设取λ∈[0,1]的截集有由分解定理得2.4隶属函数建立隶属函数应遵循的原则隶属函数应满足凸模糊集的要求对于任意实数x1，x2和任意，称模糊集合A为凸模糊集，当且仅当不符合凸函数条件2.4隶属函数建立隶属函数应遵循的原则就模糊控制而言，隶属函数的形状应该满足控制特性隶属函数在论域上应合理分布个数多，形状陡→分辨率高→灵敏度高→输入引起输出变化剧烈。变化缓慢→分辨率低→灵敏度低→无法响应小的输入变化.误差大的区域采用较低的分辨率，误差小的区域采用较高的分辨率。各个模糊子集的隶属函数应能较好地覆盖整个论域，即具有完备性；相间隔的两个模糊子集的隶属函数应尽量不相交，这样论域中的任何一点同时属于模糊子集数不超过两个，以免出现相关模糊子集在概念上的自相矛盾。相邻两个隶属函数重叠时，应保证它们的最大隶属度不出现在同一点上，否则会导致概念上的混乱。2.4隶属函数几种不合适的隶属函数2.4隶属函数建立隶属函数应遵循的原则兼顾控制灵敏度和鲁棒性重叠率和重叠鲁棒性越大，控制器适应对象参数变化的能力越强，但控制灵敏度就越低，反之亦然。附近隶属函数的范围LUA1A2x

00.51.0重叠范围L‘U’（0.2~0.6为宜）（0.3~0.7为宜）2.4隶属函数隶属函数确定的方法模糊统计法隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则的隶属函数选择方法有以下几种。通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。其中n为总试验次数，为n次试验中的次数基本思想：论域U上的一个模糊集合A，由n位不同的试验者独立判断，得出在概念上与A完全一致但又具有明确边界的变通清晰子集Ai。由于主观上的差异，各个Ai可能有不同的边界。2.4隶属函数例2.4.1

设X为0~100岁，A为青年人，x=27岁，对129人做抽样调查，让每个人给出“青年人”比较适合的年龄段，最后整理出反应27岁属于“青年人”的隶属频率，如表所示N1030507090100110129隶属次数6233953687685101隶属频率0.600.770.780.760.760.760.750.78可见隶属频率基本上稳定在0.78，故得27岁属于“年轻人”的隶属度为

μA(27)=0.78

2.4隶属函数隶属函数确定的方法例证法主要思想是根据已知有限个数的隶属度来估计整个论域上模糊集合的隶属函数例如：论域X是全体人类，A是“高个子的人”，显然A是模糊子集。为了确定μA，可以先给出一个高度h值，然后选定几个语言真值（即一句话真的程度）中的一个，来回答某人高度是否算“高”。如果语言真值分为“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”、“假的”。然后把这些语言真值分别用数字表示，分别为1，0.75，0.5，0.25和0。对于几个不同的高度h1h2…hn都作为样本进行询问，就可以得到A的隶属函数2.4隶属函数隶属函数确定的方法专家经验法二元对比排序法等等根据专家经验给出模糊信息的处理算式或相应的权系数来确定隶属函数的一种方法，专家经验越成熟，次数越多，效果越好。例如：对于病人xj是否患有某种疾病A诊断可以根据多种症状{bi}来判断。将每个症状bi视作清晰子集，令其特征函数为Xbi(xj)。根据临床经验，将每个症状bi对疾病A所起作用赋予一定的权系数ωi，于是，集合A的隶属函数可按下式得出：2.4隶属函数典型的隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数高斯型隶属函数在Matlab中已经开发出11种隶属函数，即双S形隶属函数（dsigmf）、联合高斯型隶属函数（gauss2mf）、高斯型隶属函数（gaussmf）、广义钟形隶属函数（gbellmf）、II型隶属函数(pimf)、双S形乘积隶属函数（psigmf）、S状隶属函数（smf）、S形隶属函数（sigmf）、梯形隶属函数（trapmf）、三角形隶属函数（trimf）、Z形隶属函数（zmf）。Matlab命令：2.4隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数广义钟型隶属函数Matlab命令：cc-ac+a斜率=-b/2a2.4隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数广义钟型隶属函数2.4隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数S形隶属函数Matlab命令：参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。2.4隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数梯形隶属函数Matlab命令：a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”2.4隶属函数模糊控制中应用较多的隶属函数三角形隶属函数Matlab命令：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”关系的定义2.5模糊关系与模糊关系合成存在集合X和Y，它们的直积X×Y的一个子集R叫做X到Y的二元关系或关系。如果，则称X和Y有关系；如果则称X和Y没有关系。可用特征函数表示为当X和Y都是有限集合时，关系可以用矩阵来表示，称为关系矩阵。设X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，则R可以表示为

布尔矩阵2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.1举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A={中国，日本，韩国}，B={伊朗，沙特，阿联酋}。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则2.5模糊关系与模糊关系合成模糊关系及模糊矩阵以集合X和Y的直积为论域的一个模糊子集R叫做集合X到Y的模糊关系。序偶（x,y）的隶属度为。其在实轴的闭区间[0,1]取值，它的大小反映了(x,y)具有关系R的程度。设有限论域X={x1，x2，…，xm}，Y={y1，y2，…，yn}，则X和Y的模糊关系R可用如下的模糊关系矩阵R表示2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.2设X=[儿子，女儿]，Y=[父亲，母亲]，我们用模糊关系矩阵来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则：2.5模糊关系与模糊关系合成模糊关系的运算模糊矩阵（关系）合成（乘法）最大-最小合成最大-代数积合成由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算规则。类似于普通矩阵的乘积，只不过将每个乘积运算看做一个min运算，每个求和运算看做一个max运算写出矩阵乘积中的每个元素，只不过将每个求和运算看做一个max运算2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.3设最大-最小合成最大-代数积合成，则2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.3当，时最大-最小合成最大-代数积合成模糊矩阵合成运算满足：结合律、对的分配律。不满足交换律、对的分配律例2.5.4设X={儿子，女儿}，Y={父亲，母亲}，Z={爷爷，奶奶}，W={外公，外婆}，描述模糊关系“儿女与父母长得相像”、“父母与爷爷奶奶长得相像”和“父母与外公外婆长得相像”的模糊关系矩阵分别是2.5模糊关系与模糊关系合成则？2.5模糊关系与模糊关系合成模糊变换所谓模糊变换是指给定两个集合之间的一个模糊关系，据此将一个集合上的模糊子集经运算得到另一个集合上的模糊子集的过程设有二有限集X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，R是X×Y上的模糊关系，A和B分别为X和Y上的模糊集，且满足则称B是A的象，A是B的原象，上式称为X到Y上的一个模糊变换。2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.6艺术学院招生，对考生所需考察的素质有：{歌舞，表演，外在}。对各种素质的评语分为四个等级{好，较好，一般，差}。

某学生表演完毕后，评委对其评价为：好较好一般差歌舞30％30％20％20％表演10％20％50％20％外在40％40％10％10％如果考察学生培养为电影演员的潜质，则对表演的要求较高，其它较低。定义加权模糊集为：A＝{0.250.50.25}试根据模糊变换来得到评委对该学生培养为电影演员的最终结论。2.5模糊关系与模糊关系合成例2.5.6

解：根据模糊变换可以得到评委对该学生培养为电影演员的决策集：综合评判：选取隶属度最大的元素作为最终的评语，评委的评语为“一般”。2.6模糊逻辑与模糊推理精确逻辑（传统逻辑）的一些概念与经典集合论相对应的逻辑是二值逻辑，即所谓的数理逻辑。在二值逻辑里将一个意义明确的可以分辨真假的句子（陈述句）称为命题。一个命题只能取真或假，两者必居其一。两个或两个以上的单命题用连接词联合起来构成一个复命题。命题连接词：1）合取Conjunction,，“交”“与”2）析取Disjunction，“并”“或者”3）蕴含Implication，“蕴含”“如果…那么”4）逆操作Inversion，“非”5)等价关系Equivalence，“p即q”“当且仅当”2.6模糊逻辑与模糊推理逻辑关系真值表

A：“今天下雨”，B：“今天刮风”，A→B：“如果下雨那么刮风”A：“△ABC是等边三角形”，B：“△ABC是等腰三角形”，A→B：“如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形”模糊命题模糊命题是带有模糊概念或模糊性，具有某种真实程度的陈述句。模糊命题是清晰命题的推广，虽然它的取值不是单纯的“真”和“假”，但它却反映了真或假的程度。表征模糊命题真实程度的量叫模糊命题的真值，其取值范围为[0,1]模糊命题的一般形式为：

P：“x是A”其中x是个体变元，它属于论域X；A是某个模糊概念所对应的模糊集合。模糊命题的真值由该变元对模糊集合的隶属程度表示，定义为2.6模糊逻辑与模糊推理2.6模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑运算A.逻辑并B.逻辑交C.逻辑非D.有界差设模糊命题A的真值为x,模糊命题的真值为y，则2.6模糊逻辑与模糊推理模糊逻辑运算E.有界和F.有界积G.蕴涵H.等价2.6模糊逻辑与模糊推理模糊语句按照给定的语法规则构成的含有模糊概念的语句称为模糊语句。根据其语义和构成的语法规则不同，可分为以下几种类型：模糊陈述句，又称为模糊命题。如：“今天天气很冷”。模糊判断句，是模糊逻辑中最基本的语句。语句形式：“xisa”，记作(a)，且a所表示的概念是模糊的。如“张三是好学生”。模糊推理句，也叫模糊条件语句，必须给定条件作为前提，结论才能成立，否则结论不成立。语句形式：“若xisa，则yisb”，记作a→b。“xisa”、“yisb”是两个独立的判断句，这里分别叫做推理句的前提和结论。今天下雪，那么要穿羽绒服今天下雪，那么要多穿点衣服Zadeh有界和算子代数规则法Zadeh极大极小法2.6模糊逻辑与模糊推理模糊蕴含关系为了对系统进行有效地建模和分析，必须用数学表达式将模糊条件句清晰地表达出来。前提A和结论B之间的关系可以用模糊蕴含关系表示如下：某种算子模糊蕴含关系的常见计算方法Mamdani法Larsen代数乘积法2.6模糊逻辑与模糊推理以Mamdani法为例介绍模糊蕴含关系的计算方法简单模糊条件语句。句型为“IFA，THENB”，则模糊蕴含关系R是多重简单模糊条件语句。句型为“IFATHENB,ELSEC”，则模糊蕴含关系R是：2.6模糊逻辑与模糊推理例2.6.1定义两语言变量“误差u”和“控制量v”；两者的论域：U=V={1,2,3,4,5}；定义在论域上的语言值为：{小，大，很大，不很大}={A，B，G，C}；定义各语言值的隶属函数为：分别求出控制规则“如果u

是小，那么v是大”蕴含的模糊关系R1和规则“如果u

是小，那么v是大；否则，v

是不很大”蕴含的模糊关系R2。2.6模糊逻辑与模糊推理例2.6.1求解R1求解R2

2.6模糊逻辑与模糊推理以Mamdani法为例介绍模糊蕴含关系的计算方法多维模糊条件语句。句型为“IFAANDB，THENC”，则模糊蕴含关系R是：多维模糊条件语句。句型为“IFAORB,THENC”，则模糊蕴含关系R是：2.6模糊逻辑与模糊推理例2.6.2已知语言规则为“如果e是A，并且ec是B，那么u是C。”其中试求该语句所蕴涵的模糊关系R。解：第一步，先求R1＝A×B：2.6模糊逻辑与模糊推理例2.6.2第二步，将二元关系矩阵R1排成列向量形式R1

T，先将中的第一行元素写成列向量形式，再将中的第二行元素也写成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次写下去。于是R1可表示为：第三步，R可计算如下：2.6模糊逻辑与模糊推理以Mamdani法为例介绍模糊蕴含关系的计算方法多重多维模糊条件语句。句型为如果x1是A11，且x2是A12，…，且xm是A1m，则y是B1；否则，如果x1是A21，且x2是A22，…，且xm是A2m，则y是B2；……否则，如果x1是An1，且x2是An2，…，且xm是Anm，则y是Bn；则模糊蕴含关系R是2.6模糊逻辑与模糊推理模糊推理推理是根据一定的原则，从一个或几个已知判断引申出一个新判断的思维过程。一般说来，推理都包含两个部分的判断，一部分是已知的判断，作为已知的判断，作为推理的出发点，叫做前提（或前件）。由前提所提出的新判断，叫做结论（或后件）。推理规则：大前提（规则）：若x是A，则y是B

小前提（事实）：

x是A 结论：y是B2.6模糊逻辑与模糊推理模糊推理模糊推理是指已知模糊命题（包括大前提和小前提），提出新的模糊命题作为结论的过程。2.6模糊逻辑与模糊推理单输入单规则模糊推理对于单输入的情况，假设两个语言变量x，y之间的模糊关系为R

，当x的模糊取值为A*

时，与之相对应的y的取值B*

，可通过模糊推理得出，如下式所示：2.6模糊逻辑与模糊推理例2.6.3在例2.6.1中，已经求出控制规则“如果u

是小，那么v是大”蕴涵的模糊关系为R1，现在，已知输入量u

的模糊取值为“略小”，记做A1，令A1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量v根据规则相应的取值B1。解：同