含参数的一元二次不等式的解法讲

含参数的一元二次不等式的解法1精品PPT|借鉴参考第一页，共四十六页。如何求解一元二次不等式？复习回顾分析：2精品PPT|借鉴参考第二页，共四十六页。例13精品PPT|借鉴参考第三页，共四十六页。含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要产生一个划分参数的标准。一元一次不等式ax+b>0(<0)参数划分标准：一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)参数划分标准：（2）判别式△>0,△=0,△<0（3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小，x1>x2，x1=x2，x1<x2一次项系数a>0,a=0,a<0（1）二次项系数a>0,a=0,a<04精品PPT|借鉴参考第四页，共四十六页。-a1相对应一元二次方程的两根解析：原不等式等价于5精品PPT|借鉴参考第五页，共四十六页。例16精品PPT|借鉴参考第六页，共四十六页。-a1-a(-a)解析：原不等式等价于相对应一元二次方程的两根7精品PPT|借鉴参考第七页，共四十六页。例2二次项含有参数应如何求解？8精品PPT|借鉴参考第八页，共四十六页。含参数的一元二次不等式考点x1x2xyOxx1x2yO9精品PPT|借鉴参考第九页，共四十六页。

若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为则a＋b

的值为(

)A.－14B.－15C.－16D.－17例1解关于的不等式:

例310精品PPT|借鉴参考第十页，共四十六页。例题讲解

例3:解关于的不等式:

原不等式解集为解：由于的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号.（１）当即时，原不等式解集为（２）当时得分析:（３)当即时,∴(a)当时,原不等式即为∴(b)当时,原不等式即为11精品PPT|借鉴参考第十一页，共四十六页。(3)当时,不等式解集为(4)当时,不等式解集为(2)当时,不等式解集为综上所述，(1)当时,不等式解集为(5)当时,不等式解集为12精品PPT|借鉴参考第十二页，共四十六页。解不等式解：∵

∴原不等式解集为；原不等式解集为；,

此时两根分别为

，

显然,

∴原不等式的解集为：

例4：例题讲解13精品PPT|借鉴参考第十三页，共四十六页。成果验收相信我能行！课堂练习：14精品PPT|借鉴参考第十四页，共四十六页。

已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b},(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.知能迁移115精品PPT|借鉴参考第十五页，共四十六页。(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.

当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.

综上,当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}；当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时,原不等式的解集为∅.(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．16精品PPT|借鉴参考第十六页，共四十六页。解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。(2)因式分解，求出相对应方程的根，不能确定根的大小时，应讨论方程两根的大小关系，从而确定解集。17精品PPT|借鉴参考第十七页，共四十六页。谢谢！18精品PPT|借鉴参考第十八页，共四十六页。例1不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.分析：开口向下，且与x轴无交点。解：由题目条件知：

(1)a＜0，且△＜

0.

因此a

＜

-1/3。（2）a=0时，不等式为-x-1＜0

不符合题意。综上所述：a的取值范围是二次不等式ax²+bx+c>0的解集是全体实数的条件是______.a>0时，⊿＝b²-4ac<0不等式恒成立问题19精品PPT|借鉴参考第十九页，共四十六页。练习.1若集合A={x|ax2-ax+1<0}=,则实数a的取值范围是（）A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}

解析若a=0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ=a2-4a≤0,解得0<a≤4,综上得{a|0≤a≤4}.D不等式恒成立问题20精品PPT|借鉴参考第二十页，共四十六页。【2】如果a≠0,函数的定义域为R,则实数a的取值范围是________.对一切实数x恒成立，练一练21精品PPT|借鉴参考第二十一页，共四十六页。

【例2】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.（1）由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解.（2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式，利用其解集为［-2，2］，求参数x的范围.思维启迪不等式恒成立问题22精品PPT|借鉴参考第二十二页，共四十六页。解

（1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=

mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时，1-2x<0,即当x>时，不等式恒成立,不满足题意；3分当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即综上可知不存在这样的m.6分23精品PPT|借鉴参考第二十三页，共四十六页。(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式,可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围.7分设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，24精品PPT|借鉴参考第二十四页，共四十六页。25精品PPT|借鉴参考第二十五页，共四十六页。

此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.练一练26精品PPT|借鉴参考第二十六页，共四十六页。则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例3.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．不等式恒成立问题27精品PPT|借鉴参考第二十七页，共四十六页。问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例3.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题28精品PPT|借鉴参考第二十八页，共四十六页。则解：构造函数23y..xo例3.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.（３）数形结合思想不等式恒成立问题29精品PPT|借鉴参考第二十九页，共四十六页。解：数，练一练30精品PPT|借鉴参考第三十页，共四十六页。还有什么方法呢？31精品PPT|借鉴参考第三十一页，共四十六页。【1】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对于x∈R恒成立,则实数m的取值范围时()C能力提升32精品PPT|借鉴参考第三十二页，共四十六页。【2】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对于m∈[-1,1]恒成立,则实数x的取值范围是_______.33精品PPT|借鉴参考第三十三页，共四十六页。【3】若不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对于x∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是_______.34精品PPT|借鉴参考第三十四页，共四十六页。一、选择题1.(2009·陕西理,1)若不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则M∩N为

()A.［0,1)B.(0,1)C.［0,1］D.(-1,0)

解析不等式x2-x≤0的解集M={x|0≤x≤1},f(x)=ln(1-|x|)的定义域N={x|-1<x<1},

则M∩N={x|0≤x<1}.定时检测A35精品PPT|借鉴参考第三十五页，共四十六页。2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是则不等式x2-bx-a<0的解集是（）

A.(2,3)B.(-∞,2)∪(3,+∞)C.D.

解析由题意知是方程ax2-bx-1=0的根,所以由韦达定理得解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).A36精品PPT|借鉴参考第三十六页，共四十六页。3.设f(x)=若f(t)>2,则实数t的取值范围是（）

A.（-∞,-1）∪(4,+∞)B.(-∞,2)∪(3,+∞)C.(-∞,-4)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)

解析由题意知t2-2t-1>2且t≥0,或-2t+6>2且t<0，解得t>3或t<0.D37精品PPT|借鉴参考第三十七页，共四十六页。4.设命题p:|2x-3|<1,q:则p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析不等式|2x-3|<1的解是1<x<2,

不等式的解是1≤x<2.A38精品PPT|借鉴参考第三十八页，共四十六页。PPT内容概述含参数的一元二次不等式的解法。一元一次不等式ax+b>0(<0)。的值为()。（１）当即时，。（２）当时得。a>0时，⊿＝b²-4ac<0。【例2】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0.。（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范。mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.。当m=0时，1-2x<0,。需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即。由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，。解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，。则M∩N={x|0≤x<1}.。解得t>3或t<0.。D.既不充分也不必要条件。6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，。∴b>2或b<-1.。b>2或b<-1。解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0.。解②得x>1或x<。因为集合B是集合A的子集，。45第三十九页，共四十六页。精品PPT·收集整理第四十页，共四十六页。二、填空题5.若函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+

f(x)<2f(4)的解集为_______.

解析由已知得f(x+6)+f(x)=f［(x+6)x］,2f(4)=f(16).根据单调性得(x+6)x<16,

解得-8<x<2.又x+6>0,x>0,所以0<x<2.(0,2)41精品PPT|借鉴参考第四十一页，共四十六页。6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是_________.

解析令f(x)=x2+ax+a2-1,∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f(0)<0,即a2-1<0,∴-1<a<1.-1<a<142精品PPT|借鉴参考第四十二页，共四十六页。7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]

时，f(x)>0恒成立,则b的取值