中考总复习二次函数与四边形综合探究讲义人教版九年级数学下册

二次函数与四边形综合探究考向1二次函数与平行四边形例1．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线C1的解析式；（2）如图，有一宽度为1的直尺平行于y轴，直尺两长边被线段BC和抛物线C1截得两线段DE、FG．设点D的横坐标为t，且0＜t＜2，当t为何值时四边形DEGF为平行四边形；分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）先求直线BC的解析式为y＝x﹣3，则可得到D（t，t2﹣2t﹣3），E（t，t﹣3），过E点作EH⊥GF交于H点，则∠GEH＝45°，根据等腰直角三角形和平行四边形的性质分别求出G（t+1，t﹣2），F（t+1，t2﹣2t﹣2），再由F点在抛物线上，得到方程t2﹣2t﹣2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，求出t＝1；解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，∴1-解得b=-∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，∴3k﹣3＝0，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵点D的横坐标为t，∴D（t，t2﹣2t﹣3），E（t，t﹣3），∴DE＝﹣t2+3t，∵OC＝OB＝3，∴∠OBC＝45°，过E点作EH⊥GF交于H点，∴∠GEH＝45°，∵EH＝1，∴GH＝1，∴G（t+1，t﹣2），∵FG∥y轴，四边形DEGF为平行四边形，∴F（t+1，t2﹣2t﹣2），∵F点在抛物线上，∴t2﹣2t﹣2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，解得t＝1；例2．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点D在第一象限，且△BCD≌△BCA，求点D的坐标；（3）点A绕抛物线的对称轴l上一点P顺时针旋转90°恰好与点C重合，将△ACP沿x轴平移得到△A′C′P′，点A，C，P的对应点分别为点A′，C′，P′．在抛物线上是否存在点E，使得以A′，C′，P′，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设D（x，y），由△BCD≌△BCA，可得BD＝AB＝6，CD＝AC＝25，从而建立方程组36=(x-4)2+y2（3）设对称轴与x轴的交点为G，过C点作CH⊥PG于点H，先证明△CPH≌△PAG（AAS），可求P（1，1），设E点平移前的对应点E'（x，y），当AC为平行四边形的对角线时，当AP为平行四边形的对角线时，当AE'为平行四边形的对角线时，分别求出E'的坐标，再由平移的性质可知E点与E'点的纵坐标相同，再分别求出相应的E点坐标即可．解：（1）将点A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴4a-解得a=-∴抛物线的解析式为y=-12x2+（2）设D（x，y），当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∵A（﹣2，0）和B（4，0），∴AB＝6，AC＝25，∵△BCD≌△BCA，∴BD＝AB＝6，CD＝AC＝25，∴36=(x-解得x=4y=6∴D（4，6）；（3）存在点E，使得以A′，C′，P′，E为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由题意可知AP＝CP，∠APC＝90°，y=-12x2+x+4的对称轴为直线x设对称轴与x轴的交点为G，过C点作CH⊥PG于点H，∵∠APG+∠CPH＝90°，∠APG+∠PAG＝90°，∴∠PAG＝∠CPH，∵∠CHP＝∠AGP＝90°，AP＝CP，∴△CPH≌△PAG（AAS），∴AG＝PH＝3，CH＝PG＝1，∴P（1，1），设E点平移前的对应点E'（x，y），当AC为平行四边形的对角线时，-2=1+x解得x=-∴E'（﹣3，3）；当AP为平行四边形的对角线时，x＝1﹣2＝﹣1，4+y＝1，∴E'（﹣1，﹣3）；当AE'为平行四边形的对角线时，﹣2+x＝1，y＝5，∴E'（3，5）；∵△ACP沿x轴平移，∴E点与E'点的纵坐标相同，当y＝3时，-12x2+x+4＝解得x＝1±3∴E（1+3，3）或（1-3，当y＝﹣3时，-12x2+x+4＝﹣解得x＝1±15，∴E（1+15，﹣3）或（1-15，﹣当y＝5时，-12x2+x+4＝此时x无解；综上所述：E点坐标分别为（1+3，3）或（1-3，3）或（1+15，﹣3）或（1-考向2二次函数与特殊的平行四边形例3．抛物线与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5），顶点为M．（1）求该抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；（2）若将抛物线向右平移，新抛物线的顶点为N，点Q为x轴上一点．若以点M、N、B、Q为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的新抛物线的表达式．分析：（1）根据题意设抛物线的交点式，再将点C（0，5）代入，解之即可得出结论，再化成顶点式可得出点M的坐标；（2）若点M、N、B、Q为顶点的四边形是菱形，可分为两种情况讨论：(i）当点Q在点B的右侧时；(ii）当点Q在点B的左侧时，画出图形分别求解即可得出结论．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，∴设所求抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣5）（x﹣1），把点C（0，5）代入，得5＝a（0﹣5）（0﹣1），解得a＝1，∴所求抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）（x﹣1）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴点M坐标为（3，﹣4）；（2）∵B（5，0），M（3，﹣4），∴BM＝25，∵Q和B都是x轴上的点，N是M平移后的点，∴QB∥MN，且点N在M的右侧，若点M、N、B、Q为顶点的四边形是菱形，可分为两种情况讨论：(i）当点Q在点B的右侧时，如图，此时BQ＝BM＝MN＝25，∴N（3+25，4），∴新抛物线的表达式为y＝（x﹣3﹣25）2﹣4；(ii）当点Q在点B的左侧时，如图，此时MB为对角线，∴MB中点为（4，﹣2），∴直线MB解析式为y＝2x﹣10，设Q（q，0），∴N（8﹣q，﹣4），∵MN＝QM，∴8﹣q﹣3=(3-q解得q＝0，∴N（8，﹣4），∴新抛物线的表达式为y＝（x﹣8）2﹣4；综上所述，满足条件的抛物线解析式为y＝（x﹣3﹣25）2﹣4或y＝（x﹣8）2﹣4．例4．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．分析:（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解；（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），∴A（﹣1，0），∴a-2+c=09a+6+c=0∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴AC2＝12+32＝10，AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10，CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2，①当AC＝AN时，AC2＝AN2，∴10＝2t2﹣4t+10，解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），∴点N的坐标为（2，1）；②当AC＝CN时，AC2＝CN2，∴10＝2t2，解得t1=5，t2=∴点N的坐标为（5，3-5③当AN＝CN时，AN2＝CN2，∴2t2﹣4t+10＝2t2，解得t=5∴点N的坐标为（52，1综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（5，3-5）或（52，（3）设E（1，a），F（m，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝32，①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，∴（32）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，解得：a=3+172，或∴E（1，3+172）或（1，∵B（3，0），C（0，3），∴m+1＝0+3，n+3+172=0+3或∴m＝2，n=3-172或∴点F的坐标为（2，3-172）或（2，②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（32）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（32）2，解得：a＝4或a＝﹣2，∴E（1，4）或（1，﹣2），∵B（3，0），C（0，3），∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2，∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，3-172）或（2，3+172）或（4，1）或（﹣练习题1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．分析：（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论．2．如图，抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，2（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D＝∠BCO时，求点D的坐标；（