苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题43根式的应用和几何图形结合(原卷版+解析)

专题43根式的应用和几何图形结合1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．102．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．83．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（

）A．1 B． C． D．44．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）A． B． C． D．5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为_____．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．①证明：；②证明：是等腰三角形；(2)已知旋转角为45°．①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；②当是直角三角形时，求AP的长．11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；（2）如果．①当点落在上时，求的长；②请直接写出最小值．12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．(1)求的长度．(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．13．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：______．证明：（请在答题纸上完成证明过程）（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．14．阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简．解：将分子、分母同乘以得：．

类比应用：（1）化简：；（2）化简：．

拓展延伸：

宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC=；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为．15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即（1）若A（2，1）和B（，3），则______；（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝．(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．专题43根式的应用和几何图形结合1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，∵，是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴∵平分，∴∵，设，则在中，∵∴解得∴∵∴故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为2﹣6，∴一个空白长方形面积=，∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，∴大正方形边长=，重叠部分边长=，∴空白部分的长=，设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，∴小正方形面积==10，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则证明可得设则可得再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则设则而当时，则∴的最小值是8，∴的最小值是故选：C．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．4．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=，令y=0，则x=，则A（，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC==x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______．【答案】【分析】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．【答案】【分析】过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，由题意易得∠NCH=∠MAD=90°，进而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，AB=2，∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，∴∠NCH=∠MAD=90°，∵AM=CN，∴△NCH≌△MAD（SAS），∴DM=NH，若使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：∴∠DCA=∠ECH=45°，∴△CEH为等腰直角三角形，∴，∴，∴在Rt△DEH中，；∴的最小值为；故答案为．【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．【答案】【分析】过D作DF⊥x轴于F，连接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC结合等边三角形的性质即可得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；【详解】解：如图，连接BE，过D作DF⊥x轴于F，∵△AOB和△BCD是等边三角形，∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，∴DF=AD=m，AF=DF=m，∵A（-2，0），∴D（m-2，m），∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，∴四边形BCED是菱形，∴BE、CD互相平分，∵△AOB是等边三角形，点A（-2，0），过点B作BG⊥x轴，垂足为G，∴AG=1，BG=，∴B（-1，），∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），设m-1=x，m-=y，∴m=，m=，∴=，化简得：，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，熟练的掌握等边三角形和菱形的性质是解题的关键．8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为_____．【答案】【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求出直线CD的关系式，然后将两个直线关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案．【详解】∵△ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），∴AO=4，∴点A（0，4），则，解得．设直线AB的关系式为y=kx+b，得，解得，∴直线AB的关系式为y=-x+4．当y=0时，x=4，∴点E（4，0），∴点D（4，4），将点D坐标代入y=2x+b，得4=8+b，解得b=-4，∴所以直线CD的关系式为y=2x-4.将两个直线关系式联立，得，解得，则点G，∴，∴．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．【答案】【分析】分点E在线段AM上和点E在线段AM的延长线上两种情况，分别运用矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积进行解答即可．【详解】解：如图（1），当点E在线段AM上时，连接DM，过点M作MH⊥AD，垂足为H矩形ABCD，四边形ABMH为矩形M是BC的中点，在中，,则∴∴∴如图（2），当点E在线段AM的延长线上时，同（1）可证．∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用矩形的判定和性质定理成为解答本题的关键．10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．①证明：；②证明：是等腰三角形；(2)已知旋转角为45°．①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；②当是直角三角形时，求AP的长．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)①图见解析；②1或【分析】（1）①先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；②连接，先根据旋转的性质证出是等边三角形，再根据三角形全等的判定证出，然后根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；（2）①连接，以点为圆心、为半径画弧，交于点，再过点作的垂线，分别交于点；②过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质、角的和差求出，然后分和两种情况，利用勾股定理求解即可得．（1）证明：①四边形是正方形，，由旋转的性质得：，，，，即，在和中，，；②如图，连接，四边形是正方形，，由旋转的性质得：，是等边三角形，，，，在和中，，，，由（1）①已证：，，，是等腰三角形．（2）解：①如图，点即为所求．②由旋转的性质得：，如图，过点作于点，则是等腰直角三角形，，，解得或（舍去），，，，，，则分以下两种情况：（Ⅰ）如图，当时，是直角三角形，过点作，交于点，则，是等腰直角三角形，，设，则，，在中，，即，整理得：，解得或（舍去），，；（Ⅱ）如图，当时，是直角三角形，过点作，交于点，同理可得：，设，则，，，整理得：，，解得或（舍去），；综上，当是直角三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、二次根式的运算、利用平方根解方程、作垂线、勾股定理等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键．11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；（2）如果．①当点落在上时，求的长；②请直接写出最小值．【答案】（1），；（2）①的长为；②最小值为2．【分析】（1）如图，连接过作于证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解从而可得答案；（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于则结合利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解再求解从而可得答案；②如图，作直线交于过作于过作于先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得：再利用直角三角形的性质可得从而建立方程求解从而可得答案.【详解】解：（1）如图，连接过作于是等边三角形，如图，当轴于时，而同理可得：为等边三角形，故答案为：（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于则解得：（负根舍去）②如图，作直线交于过作于过作于由旋转与矩形的性质可得：点旋转后落在直线上，由矩形四边形是矩形，设则设为则解得：为结合①问可得点在直线上，为则当旋转到与重合时，最短，如图，由旋转可得：所以的最小值为：【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．(1)求的长度．(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）易得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；（3）设，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理，求出a的值，进而即可得到结论．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∵的长度为a，∴，∴；故答案为：；（3）∵在推进过程中的长度保持不变，设，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，位置不变，∴，∴在中，由勾股定理得，，而∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．13．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：______．证明：（请在答题纸上完成证明过程）（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．【答案】（1）DE∥BC，DE=BC，证明见解析；（2）GF=7；（3）GF=．【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；（3）先求出AG=HD的长，进而判断出△PDH为等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．【详解】（1）DE∥BC，DE=BC，证明：如图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．故答案为：DE∥BC，DE=BC；（2）如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=3，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=3+4=7；（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可证△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=2，∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH为等腰直角三角形，∴PD=PH=，∴PF=PD+DF=+=2，在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=2，∴HF=，∴GF=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线．14．阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简．解：将分子、分母同乘以得：．

类比应用：（1）化简：；（2）化简：．

拓展延伸：

宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC=；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）【分析】类比应用：（1）仿照题干中的过程进行计算；（2）仿照题干中的过程进行计算；拓展延伸：（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.【详解】解：类比应用：（1）根据题意可得：=；（2）根据题意可得：====2；拓展延伸：（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，若黄金矩形ABCD的宽AB=1，则黄金矩形ABCD的长BC===；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，∴FD=EC=AD-AF==，∴=，故矩形DCEF为黄金矩形；（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，∵AB=EF=1，AD=，∴AE=，在△AED中，S△AED=，即，则，解得DG=，∴点D到线段AE的距离为.【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识．15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等边三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即（1）若A（2，1）和B（，3），则_____