2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）根与系数的关系

根与系数的关系15．（2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则1a＋1b【答案】32【分析】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a＋b＝3，ab＝2，再根据1a【解答】解：∵a、b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，∴可以a、b看作是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，∴a＋b＝3，ab＝2，∴1a故答案为：32【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．16．（2023•通辽）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1＋x2=−ba，x1x2材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝1，mn＝－1．则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝−32，x1x2＝−（2）类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m，n，求m2＋n2的值；（3）提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求1s【答案】（1）−32，（2）134（3）±17．【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1＋x2及x1x2的值；（2）利用根与系数的关系，可得出m＋n=−32，mn=−12，将其代入m2＋n2＝（m＋n）（3）由实数s、t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s＋t=−32，st=−12，结合（t－s）2＝（t＋s）2－4st，可求出s－【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根为x1，x2，∴x1＋x2=−32，x1x2故答案为：−32，（2）∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根分别为m，n，∴m＋n=−32，mn∴m2＋n2＝（m＋n）2－2mn=94＋（3）∵实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，∴s＋t=−32，st∵（t－s）2＝（t＋s）2－4st＝（−32）2－4×（−1∴t－s＝±172∴1s−1【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于根与系数的关系16．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＝0的两个实数根，则x1＋x2【答案】−1【分析】根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2，x1x2＝－8，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝－8，则x1故答案为：−1【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2=−ba，x1x2根与系数的关系19．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A．3 B．23 C．14 D．【考点】根与系数的关系；菱形的性质．【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，由题意，得a+b=10ab=22∴菱形的边长==1=1=1=1=14故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．20．（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由x2x1+x1【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m＝16m2﹣8m+1＝（4m﹣1）2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，∵x2∴(2m−1)2−3m2+m解得m＝1或m=2【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2根与系数的关系23．（2023•眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为6．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】直接利用根与系数的关系作答．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x根与系数的关系22．（2023•宜宾）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为2．【考点】根与系数的关系．【分析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根据两根的倒数和为1，有α+βαβ=1，即2(m+1)m+4【解答】解：设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，∵两根的倒数和为1，∴1α∴α+βαβ∴2(m+1)m+4解得m＝2，经检验，m＝2是分式方程的解，当m＝2时，原方程为x2﹣6x+6＝0，Δ＝12＞0，∴m＝2符合题意，故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．23．（2023•遂宁）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为2．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，∴a+b＝3，ab＝1，∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1•x根与系数的关系22．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为﹣1，另一个根为2．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1，∵方程的两根之积为ca∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．故答案为：﹣1，2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于根与系数的关系18．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（）A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2=76 D．x1x【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根，则x1+x根与系数的关系19．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．根与系数的关系19．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝3．【答案】3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，∴m＞2．∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，∵x1+x2+x1•x2＝2，∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，∴实数m的值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．20．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为2．【答案】2．【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3，x1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2=−−31=3，x1∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x根与系数的关系17．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式x1+x【答案】1．【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，∴x1+x2=32，x1x2∴x1故答案为：1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．18．（2023•湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝﹣5．【答案】﹣5．【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝k，∵x1x2+2x1+2x2＝1，∴k+2×3＝1，解得k＝﹣5，又∵方程有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤9综合以上可知实数k取值范围是k＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．19．（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝﹣2．【答案】﹣2．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4，∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，∴a+b＝﹣3，∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1•x根与系数的关系3．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m的值为﹣2或1．【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a+b=−−(2m+1)1=2m+1，ab=m∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值为﹣2或1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x根与系数的关系22．（2023•菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则1xA．32 B．﹣3 C．3 D．【答案】C【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程