数形结合思想在解题中的应用教案

数形结合思想在解题中的应用教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，防止复杂的计算与推理，在解题时能提高效率.2．增养学生问题转化的意识.重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识.难点：由数到形的转化.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想表达在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对标准图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.数形结合思想常常利用到的数学模型有：〔1〕函数的图象，〔2〕斜率公式，截距〔3〕两点间距离公式，〔4〕点到直线的距离，〔5〕单位圆，韦恩图，数轴.题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】例1.假设关于的方程的两根分布在的两侧，求的取值范围.解：由的图象可知，要使两根在的两侧只需解得，故说明：，其图象与轴交点的横坐标就是方程的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。例2.，那么方程的实根个数为〔〕A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B.变式1：方程的解的个数为______________.题型二：利用数形结合法解决不等式问题例3．不等式的解集是______________.解：令，，那么不等式的解就对应于： 函数的图象在上方的图象的局部在轴上的射影.如图，不等式的解集为. 变式:对一切实数不等式恒成立，求实数的取值范围.题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题例4.如果实数满足，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.解：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，〔如图〕，而那么表示圆上的点与坐标原点〔0，0〕的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以〔2，0〕为圆以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当点在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为.变式1.求函数的值域.变式2.满足的最大值与最小值.说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系.课堂小结：本节课学习了一个思想，即数形结合思想三种题型实现数形结合，常常涉及以下内容：1.实数与数轴上的点的对应关系；2.函数与图象的对应关系；3.曲线与方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等；5.所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特成效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.作业：1.假设集合，集合，且，那么的取值范围为___________。2.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，那么〔〕A. B. C.4 D.83.双曲线C的两个焦点是F1、F2，双曲线上任意一点P，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线平分线交于M，那么M的轨迹是〔〕A.圆 B.直线 C.双曲线 D.抛物线【针对训练】一.选择题：1.方程的实根的个数为〔〕A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.函数的图象恰有两个公共点，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.3.设命题甲：，命题乙：，那么甲是乙成立的〔〕A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分也不必要条件4.假设不等式的解集为，且，那么的值为〔〕A.1 B.2 C.3 D.45.假设时，不等式恒成立，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.6.定义在上的函数在上为增函数，且函数的图象的对称轴为，那么〔〕A. B.C. D.二.填空题：7.假设对任意实数，都有，那么，由小到大依次为______________.8.假设关于的方程有四个不相等的实根，那么实数的取值范围为___________.9.函数的最小值为______________.10.假设直线与曲线有两个不同的交点，那么实数的取值范围是_____.三.解答题：11.假设方程在上有唯一解，求的取值范围.12.假设不等式的解集为，且，求的取值范围.13.设，试求下述方程有解时的取值范围：【试题答案】一.选择题：1.C解：画出在同一坐标系中的图象即可。确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在(0，+∞)内递增，，所以和的图象应该有三个交点。2.D解：画出的图象.情形1：情形2：3.A解：命题甲：，命题乙：-3＜ｘ＜５，由甲可以得出乙，反之不成立4.B解：画出的图象，依题意，，从而，由5.C解：令，假设，两函数图象如下列图〔一〕所示，显然当时，要使，只需使，即。综上可知，当时，不等式对恒成立假设，两函数图象如右图〔二〕所示，显然当时，不等式恒不成立。6.A解：的图象是由的图象向左平移2个单位而得到的，又知的图象关于直线〔即轴〕对称，故可推知，的图象关于直线对称，由在上为增函数，可知在上为减函数，依此易比拟函数值的大小。二.填空题：7.解：由知，的图象关于直线对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由的图象，易知的大小。8.解： 设画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使9.解：最小值为对，联想到两点的距离公式，它表示点到Ａ〔1，0〕的距离；表示点到点Ｂ〔3，3〕的距离，于是表示动点到两个定点〔1，0〕，〔3，3〕的距离之和，结合图形，易得。10.解：表示倾角为，纵截距为的直线族，而那么表示以〔0，0〕为圆心，以1为半径的圆在轴上方的局部〔包括圆与轴的交点〕如下列图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即三.解答题：11.解：原方程等价于那么上述不等式组在上只有一个解。令在同一坐标系内，画出它们的图象。其中注意，当且仅当两函数的图象在［0，3〕上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下列图可见，当或时，原方程有唯一解，因此的取值范围为说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。12.解：令，其中表示以〔2，0〕为圆心，以2为半径的圆在轴的上方的局部〔包括圆与轴的交点〕，如下列图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函