电路方程的矩阵形式

关于电路方程的矩阵形式本章学时安排（12学时）序号教学内容学时115-1割集15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-3A、Bf、、Qf之间的关系2215-4回路电流方程的矩阵形式2315-5结点电压方程的矩阵形式2415-6割集电压方程的矩阵形式2515-7列表法15-8状态方程26习题课（3）电路方程的矩阵形式2第十五章电路方程的矩阵形式第2页,共51页，2024年2月25日，星期天目的：在图论基础上，掌握电路分析中几个重要的矩阵重点：关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵难点：割集的理解作业：P362：15-1、15-3、15-4

11第十五章电路方程的矩阵形式（1）第3页,共51页，2024年2月25日，星期天网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象

i=0连接性质抽象电路图抽象图支路+-1、网络的图15.1割集第4页,共51页，2024年2月25日，星期天一.图的基本概念有向图无向图连通图图不连通图15.1割集第5页,共51页，2024年2月25日，星期天2.子图

路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。3.连通图图G的任意两节点间至少有一条路径时称G为连通图。4.有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。二.名词和定义G={支路，节点}1.图15.1割集第6页,共51页，2024年2月25日，星期天三.回路、树、割集1.回路(1)连通；(2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127589回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质15.1割集第7页,共51页，2024年2月25日，星期天树不唯一树支：属于树的支路连支：属于G而不属于T的支路2.树(Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：(1)连通；(2)包含G的所有节点；(3)不包含回路。16个15.1割集第8页,共51页，2024年2月25日，星期天树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567145树支数4连支数3单连支回路独立回路单连支回路独立回路15.1割集第9页,共51页，2024年2月25日，星期天三.割集(1)把Q中全部支路移去，将图分成两个分离部分；(2)保留Q中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：15.1割集第10页,共51页，2024年2月25日，星期天①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,5,4}Q2:{2,3,6}单树支割集（基本割集）①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}Q2:{3,5,4}Q1:{2,3,6}15.1割集第11页,共51页，2024年2月25日，星期天单树支割集独立割集单树支割集独立割集1234{1，2，3，4}割集三个分离部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。15.1割集第12页,共51页，2024年2月25日，星期天①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集关系对同一个树1.由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt。15.1割集第13页,共51页，2024年2月25日，星期天2.由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}15.1割集第14页,共51页，2024年2月25日，星期天15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一.关联矩阵A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aijaij=1有向支路j

背离

i节点aij=-1有向支路j指向

i节点aij

=0i节点与j

支路无关关联矩阵Aa={aij}n

b节点数支路数第15页,共51页，2024年2月25日，星期天645321①②④③Aa=1234

123456

支节

100-101-1-10010

01100-1

00-11-10Aa=1234

123456

支节

1-100

0-110

001-1-1001

010-1

10-10设④为参考节点-1-10010A=123

123456

支节

100-101

01100-1称A为降阶关联矩阵(n-1)

b

，表征独立节点与支路的关联性质15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第16页,共51页，2024年2月25日，星期天设:645321①②④③-1-10010A=123

123456

支节

100-101

01100-1支路电压支路电流节点电压15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第17页,共51页，2024年2月25日，星期天矩阵形式的KCLAi=-1-10010

100-101

01100-1654321iiiiii645321①②④③Ai=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第18页,共51页，2024年2月25日，星期天矩阵形式KVL645321①②④③15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第19页,共51页，2024年2月25日，星期天二.基本回路矩阵B2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1支路j与回路i关联，方向一致-1支路j

与回路i关联，方向相反0支路j

不在回路i中bij=1２３６５４约定：

1.回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B={bij}l

b基本回路数支路数15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第20页,共51页，2024年2月25日，星期天1２３６５４选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt

1]设矩阵形式的KVL01-1001BtBlBu=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第21页,共51页，2024年2月25日，星期天Bu=0

可写成Btut+ul=0ul=-Btut用树支电压表示连支电压连支电压树支电压矩阵形式的KVL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第22页,共51页，2024年2月25日，星期天1２３６５４B=[Bt1]用连支电流表示树支电流BT

il=i矩阵形式的KCLKCL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第23页,共51页，2024年2月25日，星期天三.基本割集矩阵Q约定

(1)割集方向与树支方向相同。

(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。qij=1j支路与割集i方向一致-1j支路与割集i方向相反0j

支路不在割集i中1２３６５４用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q

={qij}n-1

b基本割集数支路数15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第24页,共51页，2024年2月25日，星期天Q=456123支割集C1C2C3100-1-10

01011-1C1:{1,2,4}C2:{1,2,3,5}C3:{2,3,6}设ut=[u4u5u6]T矩阵形式的KCL：1２３６５４

0010-11QlQtQi=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第25页,共51页，2024年2月25日，星期天回路矩阵表示时用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi=0可写成回路矩阵和割集矩阵的关系15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第26页,共51页，2024年2月25日，星期天1２３６５４矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第27页,共51页，2024年2月25日，星期天QQi=0QTut=u小结：ul=-BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵第28页,共51页，2024年2月25日，星期天15-3结点电压方程的矩阵形式电路分析依据：KCLAi=0KVLu=ATun元件特性方程规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：k设标准支路为：

第29页,共51页，2024年2月25日，星期天k支路电压、电流关系：设Z=diag[Z1Z2

Zb]Y=diag[Y1Y2

Yb]Z=Y-1

15-3结点电压方程的矩阵形式第30页,共51页，2024年2月25日，星期天支路电压的矩阵方程

15-3结点电压方程的矩阵形式第31页,共51页，2024年2月25日，星期天由KCL

Ai=0由KVL

u=ATun节点导纳阵得节点电压方程由此求得支路电压和电流15-3结点电压方程的矩阵形式第32页,共51页，2024年2月25日，星期天例5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④1.画有向图2.3.

15-3结点电压方程的矩阵形式第33页,共51页，2024年2月25日，星期天5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④4.5.6.得

15-3结点电压方程的矩阵形式第34页,共51页，2024年2月25日，星期天

12345例215-3结点电压方程的矩阵形式第35页,共51页，2024年2月25日，星期天[Y]=[Z]-1其中15-3结点电压方程的矩阵形式第36页,共51页，2024年2月25日，星期天具有VCCS的节点分析+

考虑b条支路15-3结点电压方程的矩阵形式第37页,共51页，2024年2月25日，星期天kjgkj第38页,共51页，2024年2月25日，星期天例iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L152431

0

第39页,共51页，2024年2月25日，星期天iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L152431

0

其中-g节点方程第40页,共51页，2024年2月25日，星期天15-4状态方程一、状态和状态变量Y(t)(t

t0)可以确定状态、状态变量、状态方程和输出方程。状态：电路在任何时刻所必需的最少信息，它们和自该时刻以后的输入(激励)足以确定该电路的性状。状态变量：描述电路的一组最少数目独立变量，如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。X(t0)e(t)t

t0

已知第41页,共51页，2024年2月25日，星期天解例.输出:

uL,iC,uR,iR

选状态量uC，

iLuL(0)=7ViC(0)=

1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V由推广至任一时刻t1：uL(t1)iC(t1)iR(t1)uR(t1)可由第42页,共51页，2024年2月25日，星期天可见当t=t1时uC，

iL

和t

t1后的输入uS(t)为已知，就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是t1时刻的状态量要求出来。二、状态方程：用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。选uC,iL

为状态变量列微分方程第43页,共51页，2024年2月25日，星期天整理得特点：(1)联立一阶微分方程组；(2)左端为状态变量的一阶导数；(3)右端仅含状态变量和输入量；状态方程矩阵形式一般形式[X]=[x1

x2

xn]T式中\n

n\n

r第44页,共51页，2024年2月25日，星