真空中的静磁场电磁学

关于真空中的静磁场电磁学真空中的静磁场

尽管人们对物质磁性的认识已有两千多年，但直至19世纪20年代才出现采用经典电磁理论解释物质磁性的代表――安培分子环流假说。而真正符合实际的物质磁性理论却是在19世纪末发现电子、20世纪初有了正确的原子结构模型和建立了量子力学以后才出现。磁的应用目前越来越广泛，已形成了许多与磁学有关的边缘学科。第2页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.1若干边缘（交叉）磁学第3页,共77页，2024年2月25日，星期天在经典电磁学范围研究物质的磁性时，我们虽然采用传统的观念即安培分子环流假说和等效磁荷两种观点，但必须强调，我们要在原子结构模型和量子力学的基础上建立一个正确的概念，即物质的磁性来源于电子的轨道磁矩和自旋磁矩。只有这样，我们才能准确理解物质的抗磁性、顺磁性和铁磁性，尤其是磁畴结构在外磁场中的变化是铁磁性物质在外磁场中的磁化特点。第4页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.2电子的轨道磁矩和自旋磁矩图5.3铁磁性物质在外磁场中的磁化特点第5页,共77页，2024年2月25日，星期天第五章真空中的静磁场

§5.1磁现象与安培定律

§5.2稳恒磁场与毕奥－萨伐尔定律

§5.3稳恒磁场的基本性质

§5.4安培力与洛伦兹力

第6页,共77页，2024年2月25日，星期天

§5.1磁现象与安培定律

1、基本磁现象早期磁铁⇔磁铁条形磁铁与地球磁场之间以及条形磁铁之间的相互作用说明同号磁极相互排斥，异号磁极相互吸引。进一步分析发现将一磁铁可以一直细分成很小很小的磁铁而每一个小磁铁都具有N、S极，自然界中有独立存在的正电荷或负电荷但迄今却未发现独立的N、S极，尽管在近代理论中有人认为可能存在磁单极子第7页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.4

条形磁铁图5.5

条形磁铁之间的相互作用第8页,共77页，2024年2月25日，星期天电流⇔磁铁电流⇔电流

1820年7月21日奥斯特实验打破了长期以来电学与磁学彼此独立发展和研究的界限使人们开始认识到电与磁有着不可分割的联系。电流对磁铁有的作用，磁铁对电流的作用，电流和电流之间也有相互作用。法国物理学家安培首先在实验上发现一个载流螺线管的行为很像一根磁棒，并且可以用右手定则来判断载流线圈的极性。电流⇔磁场⇔电流类似于静止电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的,上述的各种相互作用都是通过磁场来传递的1822年安培提出了一个分子电流假说：组成磁铁的最小单元(磁分子)就是环形电流这些分子环流定向地排列起来在宏观上就会显示出N、S极来。第9页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.6

奥斯特实验第10页,共77页，2024年2月25日，星期天原子是由带正电的原子核和绕核旋转的负电子组成。电子不仅能绕核旋转，而且具有自旋。在分子、原子等微观粒子内电子的这些运动形成了分子环流，这就是物质磁性的基本来源的经典解释。一切磁现象和磁相互作用，实际上是电流显示出的磁效应和电流之间的相互作用。磁是运动电荷（电流）的一种属性。第11页,共77页，2024年2月25日，星期天小结无论是导线中的电流(传导电流)产生的磁场还是磁铁(分子环流)产生的磁场本源都只有一个即电荷的运动。也就是说前面介绍的各种实验中出现的现象都可以归结为运动着的电荷(即电流)之间的相互作用，这种相互作用是通过磁场来传递的。电荷之间的磁相互作用与电(库仑)相互作用的区别在于：无论电荷是静止的还是运动的，它们之间都存在着库仑相互作用；但是只有运动的电荷才存在着磁相互作用。第12页,共77页，2024年2月25日，星期天2、安培定律是电流与电流之间的磁相互作用的规律。是稳恒磁场的基本规律，正如点电荷之间的相互作用的规律―库仑定律是静电场的基本规律一样。实验表明，两载流闭合回路之间的相互作用力与两载流体的形状、大小、相对位置和它们的电流分布情况有关。第13页,共77页，2024年2月25日，星期天（1）电流元类似于讨论两个带电体之间静电相互作用力时引入电荷元那样，对两个闭合回路电流之间的磁相互作用力，引入电流元概念，把闭合回路电流设想为由许多极小的电流元组成，通过求任意一对电流元之间相互作用的基本规律，整个闭合回路受的力便可通过矢量叠加计算出来。线电流元：导体横截面积很小时，用表征；体电流元：导体横截面不是很小时，用表征；面电流元：讨论面电流间相互作用力时，用表征；称为面电流密度，大小为在电流面上通过垂直电流方向的单位横截线的电流，方向为面电流流动的方向。第14页,共77页，2024年2月25日，星期天电流元与电荷元的区别：电流元有方向，是矢量。由于独立的稳恒电流元是不存在的，所以无法直接用实验来确定它们的相互作用力。电流元之间的相互作用规律只能间接地从闭合载流回路的实验中倒推出来。因此安培定律并不是直接从实验得到的，而是在安培设计得很巧妙的四个实验和一个假设的基础上，与相当高超的数学技巧相结合得到的。第15页,共77页，2024年2月25日，星期天（2）安培的四个示零实验

安培首先设计制作了如下图示的无定向秤装置。他用一根硬导线弯成两个共面的大小相等的矩形线框，线框的两个端点A、B通过水银槽和固定支架相连。接通电源时，两个线框中的电流方向正好相反。整个线框可以以水银槽为支点自由转动。在均匀磁场(如地磁场)中它所受到的合力和合力矩为零，处于随遇平衡；但在非均匀磁场中它会发生运动。

图5.8

无定向秤第16页,共77页，2024年2月25日，星期天实验一：安培将一对折的通电导线移近无定向秤以检验对折导线有无作用力。结果是否定的，这说明电流反向时，电流产生的作用力也反向，大小相等的电流产生的力的大小相等。实验二：将对折导线中的一段绕在另一段上成螺旋形(如图5.10)，通电后将它移近无定向秤。结果表明无定向秤仍无任何反应，这表明一段螺旋状导线的作用与一段直长导线的作用相同，从而证明电流元具有矢量性质，即许多电流元的合作用是各单个电流元作用的矢量叠加。图5.9

对折通电导线图5.10

螺旋形通电导线第17页,共77页，2024年2月25日，星期天实验三――如图5.11所示，弧形导体D架在水银槽A、B上，导体D与一绝缘棒固接，棒的另一端架在圆心C处的支点上，这样既可以通过水银槽给导体D通电，弧形导体D又可绕圆心C移动,从而构成一个只能沿弧形长度方向移动，不能沿径向运动的电流元。安培用这个装置检验各种载流线圈对它产生的作用力。结果发现弧形导体D不运动。这表明作用在电流元上的力与电流本身垂直，即这种作用具有横向性。图5.11

弧形导体第18页,共77页，2024年2月25日，星期天实验四――如图5.12所示，A、B、C是用导线弯成的三个几何形状相似的线圈，其周长比为1:k:k2，A、C两线圈相互串联，位置固定通入电流I1，线圈B可以活动，通入电流I2。实验发现，只有当A、B间距与B、C间距之比为1:k时，线圈B才不受力，即此时A对B的作用力与C对B的作用力大小相等，方向相反。这表明电流元长度增加，作用力增加；相互距离增加，作用力减小；如果两电流元的长度及相互距离增加同一倍数，相互作用力不变。安培提出的假设两个电流元之间的相互作用力沿它们的连线。图5.12

几何线圈第19页,共77页，2024年2月25日，星期天安培定律的数学表述是电流元对电流元的作用力为

式中k是比例系数，是电流元到受力电流元方向的单位矢量。图5.7两闭合电流的电流元间的作用力(3)安培定律的表达式第20页,共77页，2024年2月25日，星期天讨论:(1)系数k在国际单位制中,，叫真空磁导率。(2)电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律，原因是实际上不存在孤立的稳恒电流元，它们总是闭合回路的一部分。可以证明若将沿闭合回路积分得到的合成作用力总是与反作用力大小相等方向相反。

(3)电流强度单位安培的定义为：一恒定电流，若保持在处于真空中相距1米的两无限长、圆截面可以忽略的平行直导线内，在此两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10－7牛顿(N)，则此恒定电流的电流强度定为1安培(A)。(4)我们还可以给出两个体电流元和两个面电流元之间的作用力:第21页,共77页，2024年2月25日，星期天§5.2

稳恒磁场与毕奥萨伐尔定律1、安培公式

安培定律与库仑定律在形式上很相似，电流元之间作用力也是与它们的距离平方成反比。由于电流元是矢量，因此作用力与三矢量的矢量乘积成正比。三对电流元之间的相互作用力表达式。第22页,共77页，2024年2月25日，星期天两个电流元之间的相互作用不满足牛顿第三定律，而对于两个闭合线圈来说牛顿第三定律成立。图5.13

两闭合电流的电流元间的作用力第23页,共77页，2024年2月25日，星期天2、磁场感应强度B稳恒电流在空间产生的磁场，其空间分布是不随时间变化的，这种磁场称为稳恒磁场。磁场同电场一样是客观物质存在的，是矢量场。用磁感应强度B物理量来反映磁场性质。引入试探电流元，通过它在磁场各处受到的磁作用力，来反映磁场的存在及空间分布。磁感应强度B的大小和方向确定：

当dF0为0时，的方向即为B的方向；在旋转过程中，dF0的最大值若为dF0m，则B的大小为第24页,共77页，2024年2月25日，星期天3、毕奥萨伐尔定律磁场的叠加原理 如果有n个单独存在的电流产生的磁场感应强度分别为B1,B2,..Bn,当这n个电流不改变其电流分布同时存在时的磁感应强度B为根据稳恒电流由电流元组成和磁场的叠加原理，电流元产生的磁场公式是计算各种稳恒电流磁场的基础。第25页,共77页，2024年2月25日，星期天毕奥萨伐尔定律表达式分别给出线电流元、体电流元和面电流元在空间r处产生的磁感应强度dB。其中，为电流元到试探电流元的距离矢量。第26页,共77页，2024年2月25日，星期天由毕奥萨伐尔定律和磁场的叠加原理可以给出其积分形式第27页,共77页，2024年2月25日，星期天4、磁场的几何描述磁感应线直观形象描述磁场在空间各处的强弱、方向分布情况。定义：曲线上每一点的切线方向是该点磁感应强度B的方向，曲线数密度与B的大小相等。通过曲面S的磁感应通量

B理解为通过曲面S的磁感应线数目。第28页,共77页，2024年2月25日，星期天(a)直线电流的磁感应线(b)两根平行直线电流的磁感应线图5.16

几种电流的磁感应线第29页,共77页，2024年2月25日，星期天(c)圆环电流的磁感应线第30页,共77页，2024年2月25日，星期天(d)有限长螺线管电流的磁感应线第31页,共77页，2024年2月25日，星期天(e)电磁铁的磁感应线

第32页,共77页，2024年2月25日，星期天磁感应曲线有两个明显的特点磁感应曲线不是闭合曲线就是从无穷远处来到无穷远处去的曲线，在有限空间范围内没有起点和终点。闭合的磁感应曲线都是围绕电流的闭合曲线，对于稳恒磁场来说，不会出现不围绕电流的闭合磁感应曲线。第33页,共77页，2024年2月25日，星期天5、几种常见线电流的磁场无限长直导线电流的磁场圆线圈电流在其轴线上的磁场任意线圈电流在远处的磁场载流螺线管轴线上的磁场其它形状的载流导线的磁场分布第34页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.14

无限长直导线电流的磁场第35页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.15

圆线圈电流轴线上的磁场第36页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.16载流螺线管轴线上的磁场第37页,共77页，2024年2月25日，星期天第38页,共77页，2024年2月25日，星期天第39页,共77页，2024年2月25日，星期天§5.3稳恒磁场的高斯定理和环路定理1、磁场的高斯定理通过磁场中任何闭合曲面的磁感应通量总为零，这是磁场必须遵守的基本规律。

上式表明：磁场是无源场，即孤立磁荷不可能存在。第40页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.17电流元磁场的高斯定理的证明第41页,共77页，2024年2月25日，星期天第42页,共77页，2024年2月25日，星期天磁场高斯定理的微分形式由数学上的高斯定理推导出：磁感应通量的单位：Wb（1Wb=1T×1m2）第43页,共77页，2024年2月25日，星期天第44页,共77页，2024年2月25日，星期天2、安培环路定理及其应用仿照引入静电场环流的作法可引入磁场的环流如下安培定理描述如下：沿任何闭合曲线L磁感应强度的环流等于穿过L的电流强度的代数和的

0倍。上式表明：磁场是有旋性的。第45页,共77页，2024年2月25日，星期天I的正负根据回路L的绕行方向按右手定则规定,如上图5.18所示：在设定了L绕行方向后，采用右手定则，四指沿L方向，则电流方向与大姆指一致时取正，反之取负。图5.18

安培环路定理电流方向的判定第46页,共77页，2024年2月25日，星期天因为任何磁场都是由一些稳恒线闭合电流产生的，只要证明对其中任一稳恒线闭合电流I和任一闭合回线L满足

则按照叠加原理，安培环路定理便成立。第47页,共77页，2024年2月25日，星期天图5.19闭合线电流的分解

图5.20线电流正向穿过回路L

第48页,共77页，2024年2月25日，星期天第49页,共77页，2024年2月25日，星期天第50页,共77页，2024年2月25日，星期天第51页,共77页，2024年2月25日，星期天第52页,共77页，2024年2月25日，星期天第53页,共77页，2024年2月25日，星期天第54页,共77页，2024年2月25日，星期天第55页,共77页，2024年2月25日，星期天安培环路定理的微分形式由数学上的斯托克斯定理推导出其中j为体电流密度矢量。上式表明：稳恒磁场中每一点磁感应强度B的旋度等于该点电流密度矢量j的

0倍，即有电流的地方磁场有旋的。因此磁场有无源有旋的矢量场。第56页,共77页，2024年2月25日，星期天环路定理应用举例（1）一无限长直圆柱导线，截面半径为R，电流沿截面均匀分布，电流强度为I，求导线内、外的磁场分布。第57页,共77页，2024年2月25日，星期天（2）电流均匀分布在一无穷大平面导体薄板上，面电流密度为i，方向沿z轴，

求空间磁场分布。图5.21无穷大平面电流的磁场

第58页,共77页，2024年2月25日，星期天（3）设一无限长螺丝管单位长度上的匝数为n，电流强度为I，求管内、外的磁场。图5.22无穷长螺线管内外的磁场

第59页,共77页，2024年2月25日，星期天（4）绕在圆环上的线圈叫螺绕环，设螺绕环内径为R1，外径为R2，总匝数为N，电流强度为I，求环管内外的磁场分布。图5.23螺绕环

第60页,共77页，2024年2月25日，星期天第61页,共77页，2024年2月25日，星期天第62页,共77页，2024年2月25日，星期天两条定理与毕奥萨伐尔定律的关系两条定理均通过毕奥萨伐尔定律导出。从高斯定理的证明过程可知它不要求毕奥萨伐尔定律中的距离平方反比关系，当n≠2时高斯定理仍然成立。但安培环路定理则要求n=2，从证明过程可知，利用无穷长直导线电流的磁场，可推出当n≠2时，该环路值与回路半径r0有关，使安培环路定理不能成立。实验表明，对随时间变化的磁场，高斯定理仍然有效，但安培环路定理应予修正。第63页,共77页，2024年2月25日，星期天稳恒磁场的矢量势(磁矢势)由于磁场满足安培环路定理，B的环量一般不为0，因此不能象静电场电势那样用标量来描述。但从稳恒磁场满足高斯定理来看，可以引入另一个矢势A来代替描述稳恒磁场。矢量A称为稳恒磁场的矢量势（简称磁矢势）。第64页,共77页，2024年2月25日，星期天稳恒体电流产生的磁场的磁矢势为对于线电流、面电流产生的磁场的磁矢势分别为：第65页,共77页，2024年2月25日，星期天§5.4安培力与洛伦兹力

1、安培力磁场对处于其中的电流有作用力，这种作用力又称为安培力。线、面、体电流元在磁感应强度为B的外磁场中受到的安培力为：上式为计算电流在外磁场中受力的基本公式，称为安培公式。第66页,共77页，2024年2月25日，星期天利用安培公式，可得出闭合导线电流I、面电流i（分布在导体表面S上）和体电流j（分布于导体体积V内）在外磁场中受到的安培力分别为：其中B为外磁场的磁感应强度。外磁场是指除受力电流之外的其他电流产生的磁场。第67页,共77页，2024年2月25日，星期天这些电流（即载流导体）在外磁场B中所受的力矩分别为：其中B为外磁场的磁感应强度。外磁场是指除受力矩电流之外的其他电流产生的磁场。第68页,共77页，2024年2月25日，星期天例1载流线圈在均匀外磁场中所受的力与力矩。结论1：在均匀磁场中，任意形状的闭合载流线圈受外磁场总的作用力总为0。结论2：外磁场对载流线圈的力矩作用是使其磁矩转向外磁场的方向，使载流线圈发生转动。这也是制造直流电动机和磁电式电表的基本原理。第69页,共77页，2024年2月25日，星期天例2稳恒体电流和面电流在外磁场中受力问题。当除去受力电流之外的其他电流所产生的磁场B不容易求得，而总磁场Bt和受力电流的磁场B1容易计算出来时，此时可用B=Bt-B1代替。当受力电流是稳恒体电流和面电流时，可以进一步简化为B=Bt-dB，其中dB为受力电流元在自身处产生的磁场，此时计算结果包含了电流系统内各个电流元之间的相互作用内力的合力，这合力为零，并不影响最后的正确结果。适用于体电流和面电流，不能用于线电流。第70页,共77页，2024年2月25日，星期天2、洛伦兹力磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力。可以证明：安培力与洛伦兹力是一致的。洛伦兹力与