微积分（第三版）课件：无穷级数

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分无穷级数

第一节数项级数概念及性质第二节数项级数敛散性判别法第三节幂级数第四节函数的幂级数展开第五节幂级数应用

无穷级数第一节数项级数概念及性质一、数项级数概念二、数项级数及其性质无穷级数

导言：无穷级数是研究无限个离散量之和的数学模型.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具.

本章主要介绍数项级数的概念、性质与敛散性判别法；幂级数的收敛性及将函数展开为幂级数.第一节数项级数概念及性质

求和运算是数学的最基本运算，从初等数学到高等数学随时都可以遇到，这些求和主要是有限项之和.如：数值相加、函数相加、数列求和等.如：等比数列求和

实际问题中,除了要遇到有限项求和外,经常还要遇到从有限个数量相加到无穷个数量相加的问题.

圆的面积问题:半径为的圆的面积为.在圆内作圆的内接正六边形其面积为；以正六边形边为底顶点在圆周上作三角形其面积和为；以此类推有则有这里就出现了无穷个数量相加问题.设数列将数列的所有项按照给定的次序相加，得到表达式用表示上式的前n项和，即这样就得到一个数列

由数列极限概念，可知数列在时的极限，可以看成（1）式的和.由等比数列求和公式得于是所以

此例说明为了解决无穷项相加问题，按照有限与无限之间的辨证转化关系，可以通过数列极限给出其和的概念，即数项级数概念.一、数项级数的概念

定义1

若数列u1,u2,···,un,···，按其给定次序用加号将其连接起来所得和式简记为.称其为数项级数,称其第n项un为通项或一般项.级数的前n项和称为级数的前n项部分和.数列称为部分和数列.若存在,则称级数收敛,并称此极限值S为级数的和,记为.若不存在,则称级数发散.

定义2

设级数的前n项部分和数列为若收敛，则称为级数的余项.例判定级数的收敛性.解所给级数的前n项和可知故所给级数收敛，且和为1.例判定级数的收敛性.解由得可知由级数的敛散定义知，级数发散.

例判定等比级数的敛散性.

解若时,当|r|<1时,因,所以,即级数收敛.当|r|>1时,因,所以即级数发散.当时,因所以即级数发散.当时,因不存在,级数发散.综上,当|r|<1时,当|r|≥1时发散.

例(芝诺悖论)乌龟与阿基里斯赛跑问题:芝诺(古希腊哲学家)认为如果先让乌龟爬行一段路程后,再让阿基里斯(古希腊神话中的赛跑英雄)去追它,那么阿基里斯将永远追不上乌龟.

芝诺的理论根据是：阿基里斯在追上乌龟前,必须先到达乌龟的出发点,这时乌龟已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必须赶上这段路程,可是乌龟此时又向前爬行了一段路程如此下去,虽然阿基里斯离乌龟越来越接近,但却永远追不上乌龟.

该结论显然是错误的,但从逻辑上讲这种推论却没有任何矛盾这就是著名的芝诺悖论.在此,我们用数学的方法进行分析反驳.

设乌龟与阿基里斯起跑时的间距为,乌龟的速度为,阿基里斯的速度是乌龟的100倍,则由乌龟爬行到的时间与阿基里斯到达的时间相等有以此类推所以,阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为即由计算可知当阿基里斯追到离起点处时已经追赶上了乌龟.二、数项级数的基本性质

性质1

若级数收敛,其和为S,则对任意常数

，则级数也收敛,且其和为kS.证设级数与的部分和分别为与由于，于是极限与同时收敛或同时发散，从而级数与的敛散性相同.且

性质2

若收敛,其和为S；收敛,其和为T

则必收敛,其和为.证设，，的部分和为，与因为，，所以于是所以，级数收敛于

性质3

在级数中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.

性质4

收敛级数添括号后所得级数仍收敛且和不变例

判定的收敛性.解

因为等比级数与均收敛所以由级数收敛性质知收敛.(1)若收敛，发散,则必定发散.(2)若发散，也发散,则不一定发散.(4)若发散,则添括号的新级数不一定发散.思考与练习：以下命题请给出证明或反例.(3)若级数发散,则级数(k≠0)必定发散.

定理(收敛必要条件)

若收敛,则必有又由极限的运算法则可知证由于收敛，因此.注意：这个定理的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零，并不一定能保证收敛.推论若或不存在,则必定发散.例证明调和级数发散.

证明一构造几何图形，由图可知级数的部分和等于图形中矩形面积之和此部分和大于曲边梯形的面积即因所以故调和级数发散.1234nn+1

证明二假设级数收敛其和为S,即则于是而故由此矛盾，所以级数发散.对于调和级数有但级数发散.例判定级数的敛散性.解

所给级数的通项，所以级数为发散级数.无穷级数第二节数项级数敛散性判别法一、正项级数及其判别法二、交错级数及其敛散性三、绝对收敛于条件收敛第二节数项级数敛散性判别法一、正项级数及其敛散性对于正项级数，由于，因此可知数列为单调增加数列.则称为正项级数.

定义若数项级数的一般项

定理正项级数收敛的充分必要条件为：它的前n项部分和所构成的数列有上界.

定理(比较判别法1)

设两个正项级数与如果满足那么(1)若收敛,则收敛.（大的收敛小的必收敛）(2)若发散,则发散.(小的发散大的必发散）证明对于正项级数与，由则有

如果收敛,可知有上界,从而知有上界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知收敛.

推论若正项级数收敛，且存在N，当时，有，则正项级数也收敛.

如果发散,可知无界,从而知无界.因此，级数也发散.说明：在比较判别法的条件中,只要从某一项起有就可以.

若正项级数发散，且存在N，当时，有，则正项级数也发散.例判定级数的敛散性.

解(1)因为而级数发散，由比较法知发散.

因为

(2)对于正项级数而级数收敛，由比较法知收敛.例判定级数的敛散性.

解故为正项级数.若取，则为等比级数且收敛，因此，由比较判别法可知收敛.因当x>0时，有sinx<x，因此

例判定p-级数（其中p>0为常数）的敛散性.若0<p<1,因，又调和级数发散.由比较判别法可知发散.解若p=1，则级数为调和级数发散.若p>1,将级数加括号有后者级数为等比级数,公比,级数收敛.因此，利用比较判别法可得知,当p>1时，收敛.综合上述有例判定的敛散性.

解(1)因为而级数收敛，由比较法知收敛.

(2)因为而级数收敛，由比较法知收敛.

发散

发散级数敛散性表达式

收敛p-级数发散调和级数

收敛等比级数级数名称

在使用比较判别法时，需要根据待判别级数特征，选择一个比较级数，常用的比较级数为

定理(比较判别法2)

设两个正项级数与且若极限则（1）当时，级数与敛散性相同.（2）当时，若级数收敛，则级数收敛.（3）当时，若级数发散，则级数发散.

为了使用上的方便，比较判别法可以写成下面极限形式.例判定级数的敛散性.解

所给级数的通项由或由解

所给级数的通项由于例判别级数的敛散性.因为发散，由比较法知发散.例判别的敛散性.解

（1）由于（2）由于当时因为收敛，由比较法知收敛.因为收敛，由比较法知收敛.

定理

(比值判别法)

若正项级数后项与前项之比值的极限，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数的敛散性.但当时，判别法失效.例判定的敛散性.解

(1)所以原级数收敛.（2）所以原级数收敛.例判定级数敛散性.解原级数为正项级数，其通项为当a>e时，原级数收敛；当0<a<e时，原级数发散.由比较判别法可知发散.例判定级数的敛散性.解所给级数为正项级数，其通项比值判别法失效,利用比较判别法,因级数发散.

定理

(根值判别法)

设正项级数且（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

说明：如果正项级数的一般项为n次幂形式时，可以使用柯西根值判别法．但当时判别法失效.例判定的敛散性.解

(1)所以原级数发散.（2）所以原级数收敛.

定理

(积分判别法)设是上非负单调连续函数，则正项级数与同时敛散.例判定级数的敛散性.解因为积分所以原级数收敛.3.使用比较判别法时,先选择适宜的比较级数,针对其敛散性,对级数一般项相对于比较级数进行适当的放大或缩小(或考虑相比极限),再判别其敛散性.判定正项级数的敛散性应注意以下几点：1.如果易求，应先判定是否？若则可知发散.2.可先考虑利用比值判别法（或根值判别法）判定其收敛性.

定理(莱布尼茨定理)

若交错级数满足：二、交错级数及其敛散性

交错级数是指级数的各项是正负(或负正)相间的级数.设其一般式为级数必定收敛,且其和,其余项满足则交错因括号中的值皆非负,有故数列有界证明考察所给级数前2n项的部分和，由知为单调增加数列.又且由数列极限存在定理知极限存在，设为由于，再由条件从而，可得由极限性质：若中的子列与都有极限，且两极限值相等，则必有极限.因此收敛，且其和.由于为交错级数.由前述讨论，知其收敛，且其和例判定敛散性.解所给级数为交错级数，且因为由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛对于任意项级数如果对其每一项均取绝对值则可得正项级数.定理若收敛，则必定收敛.证由比较判别法知，因由性质知收敛.

说明：若级数绝对收敛,则该级数必定收敛.反之，若级数收敛，则未必绝对收敛.定义如果收敛，则称绝对收敛.如果级数收敛，而发散，则称条件收敛.例交错级数收敛.但级数发散,故条件收敛.为的p-级数，为收敛级数.

例判定级数的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解此级数非交错级数，其通项从而知收敛，且为绝对收敛.

例讨论级数的敛散性.解因为x为任意实数，所以级数为任意项级数由于

所以，当时，级数绝对收敛；当时级数发散；

当时，级数为调和级数，级数发散；当时，级数条件收敛

例判定级数的收敛性(其中p>0),如果其收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解记，则.当p>1时，收敛，因此绝对收敛.由知交错级数发散,故为条件收敛.数项级数必要条件正项级数比值判别法比较判别法敛散性质定义级数发散交错级数任意项级数莱氏判别法判别级数类型绝对收敛判别数项级数敛散性的过程1.若任意项级数发散，是否必定发散？2.若级数发散，是否必定发散？

思考题无穷级数第三节幂级数一、幂级数概念二、幂级数的运算与性质第三节幂级数问题导言——研究幂级数的意义

借助计算器、计算机我们可以很容易计算基本初等函数,,的函数值.那么，这些函数值通过什么程式计算的呢？其答案就是幂级数.

幂级数的应用不仅体现在函数值的计算，借助幂级数还可以解决积分、极限、微分方程的解等问题.幂级数是级数中最重要且应用最广泛的一种级数.本节主要介绍幂级数的概念、运算与性质.一、幂级数的概念

定义设是定义在区间I内的函数则称和式为定义在I内的函数项级数.

对于I内的每一个值,函数项级数都化为常数项级数,即1.函数项级数级数的前n项和称为部分和在的收敛域内有.称S(x)为级数的和函数.称为的余项.在收敛域内总有

定义如果收敛，则称x0为的收敛点,级数的收敛点的集合称为该级数的收敛域.如果发散，则称x0为的发散点.

例求函数项级数的收敛域与和函数.

解对于给定的x

，由等比级数知，当时而当时，级数发散所以，幂级数的收敛域为，和函数为称为关于的幂级数.定义形如(其中都是常数)的函数项级数，称为x的幂级数.称为幂级数的系数.一般地2.幂级数的概念级数

对于形如的幂级数，将换成x则可将其变为形如的幂级数．3.幂级数的收敛域问题：幂级数收敛点的分布情况如何？例求幂级数的收敛域.

解对于任意给定的x,考察正项级数由比值法知当时,级数发散；当时,级数收敛；当时,收敛,所以收敛域为此例说明幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间.(1)幂级数在x=0处收敛.定理(阿贝尔定理)设给定幂级数则(2)若在处收敛，则对于一切适合的x，幂级数绝对收敛.(3)若在处发散，则对于一切适合的x，幂级数发散.显然，幂级数在x=0处收敛.即(1)成立.因此存在使

证明

(2)若级数收敛,则,由于从而几何级数收敛.即绝对收敛.(3)设时，收敛,则依(2)的结论在x0处收敛，矛盾.

定理说明：如果幂级数在x0处收敛，则在区间内绝对收敛；如果幂级数在处发散，则在之外的任何点x处必定发散.

推论如果幂级数不是仅在x=0处收敛,也不是在整个数轴都收敛，则必存在正数R，使得当|x|<R时，绝对收敛；当|x|>R时，级数发散.当x=±R时，可能收敛，也可能发散.

定义通常称上述R为幂级数的收敛半径，称(－R,R)为幂级数的收敛区间.

如果对于任意x,幂级数都收敛,则定义其收敛半径为，收敛区间为.

如果幂级数仅在x=0处收敛，则定义其收敛半径R=0.

定理设,若则①②③证对于给定的x，为常数项级数.对于级数当,即时，绝对收敛，当,即时,发散，所以收敛半径由比值法知因当,对于任意的x值,总有,所以幂级数在内绝对收敛.当,对于任意的值,总有,所以幂级数对任何都发散.它只在x=0处收敛即收敛半径为R=0.说明：此定理说明若收敛半径为R，则当|x|<R时，绝对收敛，当|x|>R时，发散，但当时，可能收敛，也可能发散.例求幂级数的收敛半径与收敛区间.解由于可知收敛半径R=0，所给级数仅在x=0处收敛.例求幂级数的收敛半径与收敛区间.解由于可知收敛半径

，收敛区间为.例求幂级数的收敛半径与收敛域.解

因为所以收敛半径，收敛区间为(－1,1).当x=－1时,级数为交错级数收敛.当x=1时，原级数为调和级数发散.故原幂级数的收敛域为[－1,1).例求幂级数的收敛半径与收敛区间.解设y=x－1，则原级数化为.可知收敛半径，收敛区间为即－1<x－1<1，也即收敛区间为0<x<2.因为当时，发散.因此,收敛半径为R=收敛区间为.

例

求级数的收敛区间.当时,级数绝对收敛，

解因级数中只含x的偶次幂,不能用前述定理.应采取比值法且在区间(－R,R)内收敛.

若与的收敛区间分别为与

,和函数分别为S(x)与，则有下列性质.(1)两幂级数与可以逐项相加，即二、幂级数的运算与性质1.幂级数的加法与乘法运算(2)幂级数与可按下述规则相乘,即

(1)

幂级数的和函数S(x)为其收敛区间内的连续函数.2.幂级数的分析性质

(2)若的收敛半径为R，则其和函数S(x)在其收敛区间(－R,R)内可导,且有逐项求导公式：

(3)若的收敛半径为R,则其和函数S(x)在其收敛区间(－R,R)内可积,且有逐项积分公式：例求的收敛区间与和函数.解所给级数的系数，因而收敛半径，收敛区间为(－1,1).则两边积分得设其中S(0)=0，所以即例求的收敛区间与和函数.解所给级数的系数因此收敛半径，收敛区间为(－1,1).令所给级数在收敛区间(－1,1)内的和函数为S(x)，故即因

第四节函数的幂级数展开一、泰勒公式二、泰勒级数三、将函数展开幂级数第四节函数的幂级数展开

问题导言：计算特殊数值，以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值.解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近.

关于函数逼近首先要考虑两方面问题：一是何种类型函数来逼近给定的函数.二是以何种方式来逼近给定函数.用函数逼近的最简单形式莫过于幂级数.在此主要讨论如何将一个函数表达成幂级数.

几何意义为:在点的附近用曲线y=f(x)在点处的切线来代替曲线y=f(x).即进行线性代替.

线性代替：由微分的概念知道，如果y=f(x)在点处可导，则有一、泰勒公式

线性代替公式的不足：精度往往不能满足实际需要；用它作近似计算时无法估计误差.

二次多项式代替：以代替函数，设f(x)在含

的某区间(a,b)内有二阶导数,为了使与f(x)尽可能接近，应使用在点附近来逼近f(x)，可以提高代替精度,为了进一步提高精度,需要采取多项式代替.由可得所以来近似表达函数f(x),并使得当时，为比高阶的无穷小,且能写出的具体表达式,以便能估计误差.这样的如何？多项式代替：用简单的多项式函数进行代替.即用

设f(x)在含

的某区间(a,b)内有n+1阶导数,为了使与f(x)尽可能接近，应使对多项式函数求导得由此可得所以且有余项

定理（泰勒公式）设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数,则当时有泰勒展开式

马克劳林公式若在泰勒公式中令，则有（介于0与x之间）.此展开式称为马克劳林公式

.称为马克劳林多项式

.称为余项.且有拉格朗日型余项.

例设f(x)=cosx，写出f(x)在点x=0处的1次、2次、4次、6次泰勒多项式.解由泰勒多项式为

例设

写出带有拉格朗日余项的马克劳林公式.解由所以，带有拉格朗日余项的马克劳林公式为常用的泰勒公式的充分必要条件是二、泰勒级数

设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有任意阶导数，由泰勒公式可知即由此可知也即当时,有

定义级数，称为f(x)在处的泰勒级数.级数称为f(x)的在x=0处的麦克劳林级数.

定理设f(x)在包含点在内的某区间内有任意阶导数.f(x)在点处的泰勒级数在该区间内收敛于f(x)的充分必要条件是在该区间内

函数f(x)的泰勒级数收敛于f(x)也称为f(x)可以展开成泰勒级数.泰勒级数展开的唯一性

设f(x)在的某对称区间内可以展开成的幂级数将上式逐阶求导，有这样就证明了下述定理：以