中考数学总复习《锐角三角函数》专项测试卷(附答案)

第第页中考数学总复习《锐角三角函数》专项测试卷(附答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，那么sinB的值是（）A． B． C． D．2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米 B．米 C．米 D．3米3．tan30°的值是（）A． B． C． D．4．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A． B． C．2 D．36．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（）A． B．2 C．8 D．7．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．8．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高AB为6m，∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是1：2，则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是（）A．6m B．m C．m D．m9．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在D处测得∠ADB＝30°，他沿BC方向走了16米，到达C处，测得∠ACB＝15°，则大树AB的高度为（）A．6米 B．8米 C．10米 D．20米10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A． B． C． D．填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．计算：2cos60°＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝．13．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是．14．计算：＝．15．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是米．16．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面AB的坡角为30°，则斜坡AB的长是米．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（8分）求下列各式的值（1）；（2）．18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC＝6，cos∠ACD＝，求AB，CH的长．19．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．20．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的避风港B处．（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（8分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：≈1.73）22．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7．）23．（10分）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时．试求：（1）若两楼间的距离AC＝24m时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？（2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？参考答案与解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，那么sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝3．sinB＝＝故选：A．2．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米 B．米 C．米 D．3米【答案】C【解答】解：如图：作BF⊥AF，垂足为F．∵BF：AF＝1：3∴2：AF＝1：3∴AF＝6∴AB＝＝＝2．故选：C．3．tan30°的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：tan30°＝．故选：D．4．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：连接BC，如图3所示；由勾股定理得：AC2＝BC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2∴△ABC是等腰直角三角形∴∠BAC＝45°∴sin∠BAC＝故选：A．5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解答】解：由网格以及勾股定理可得AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝∴AB2+BC2＝8+2＝10＝AC2∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°∴tan∠BAC＝＝故选：B．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（）A． B．2 C．8 D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD∴OA＝OD∴∠ODC＝∠OCD∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°∴∠EDC＝30°∵DE⊥AC∴∠DEC＝90°∴OD＝＝＝4∴AC＝2OD＝8．故选：C．7．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．【答案】A【解答】解：如图，过点A作AC⊥BC于C在Rt△ABC中，sinB＝则AC＝AB•sinB＝100sin65°（米）故选：A．8．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式．已知商场的层高AB为6m，∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是1：2，则改造后扶梯AD相比改造前AC增加的长度是（）A．6m B．m C．m D．m【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝6msin45°＝解得AC＝m∵改造后扶梯AD的坡比是1：2∴解得BD＝12m∴AD＝＝m∴AD﹣AC＝（﹣6）m．故选：D．9．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在D处测得∠ADB＝30°，他沿BC方向走了16米，到达C处，测得∠ACB＝15°，则大树AB的高度为（）A．6米 B．8米 C．10米 D．20米【答案】B【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°∴∠CAD＝∠ACD＝15°∵DC＝16米∴AD＝16米∵∠ADB＝30°，AB垂直于地面∴米故选：B．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接BF∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB∴EF是AB的垂直平分线∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A∴S△AFB＝10＝AF•BC∵BC＝4∴AF＝5＝BF在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5∴CF＝＝3∵CE＝AE＝BE＝AB∴∠A＝∠FBA＝∠ACE又∵∠BCA＝90°＝∠BEF∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A∴∠CEF＝∠FBC∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝故选：A．填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．计算：2cos60°＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵cos60°＝∴2cos60°＝1．故答案为1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x．∴tanA＝．故答案为：．13．如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC＝3米，斜坡上的树影CD＝米，则小树AB的高是米．【答案】见试题解答内容【解答】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF＝60°，FE＝BC，BF＝CE在Rt△CED中，设CE＝x米，由坡面CD的坡比为，得：DE＝x，则根据勾股定理得：x2+＝得x＝±，﹣不合题意舍去所以，CE＝米，则，ED＝米那么，FD＝FE+ED＝BC+ED＝3+＝米在Rt△AFD中，由三角函数得：＝tan∠ADF∴AF＝FD•tan60°＝×＝米∴AB＝AF﹣BF＝AF﹣CE＝﹣＝4米故答案为：4米．14．计算：＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2×+1﹣+1＝2．故答案为：2．15．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯AB的坡比是1：2，则滑梯AB的长是米．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AC：BC＝1；2，且AC＝2m，故BC＝4m．在Rt△ABC中，（m）即滑梯AB的长度为m．故答案为：2．16．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面AB的坡角为30°，则斜坡AB的长是20米．【答案】20．【解答】解：如图：由题意得：PC∥HE∴∠PBH＝∠CPB＝60°在Rt△PHB中，PH＝30米∴PB＝＝＝20（米）∵∠ABE＝30°∴∠PBA＝180°﹣∠PBH﹣∠ABE＝90°∵∠CPA＝15°∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝45°在Rt△APB中，AB＝BP•tan45°＝20（米）∴斜坡AB的长是20米故答案为：20．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（8分）求下列各式的值（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝×+×+×＝（2）原式＝×+﹣+＝．18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC＝6，cos∠ACD＝，求AB，CH的长．【答案】AB＝10，CH＝．【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线∴AD＝BD＝CD∴∠A＝∠ACD∴∵∠ACB＝90°，在Rt△ABC中由于可设AC＝4x，则AB＝5x由勾股定理得：∴3x＝6即x＝2∴AB＝5x＝10，AC＝4x＝8∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CH∴×8×6＝×10×CH解得CH＝．答：AB＝10，CH＝．19．（8分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【答案】（1）2；（2）．【解答】解：（1）∵CD⊥AB∴△ACD、△BCD均为直角三角形．在Rt△CDB中∵BD＝6，tanB＝＝∴CD＝4．在Rt△CDA中AC＝＝＝2．（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．∵CD⊥AB，EF⊥AB∴CD∥EF．又∵点E是边BC的中点∴EF是△BCD的中位线．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．20．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的避风港B处．（1）问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）B处距离灯塔P约70.5海里；（2）轮船能在台风到来前赶到避风港B处．【解答】解：过点P作PC⊥AB于C在Rt△ACP中，∠A＝30°∴PC＝PA•sinA＝100×＝50（海里）在Rt△BCP中，∠B＝45°∴PB＝PC＝50≈70.7海里答：B处距离灯塔P约70.7海里；（2）∵PB＝50海里∴BC＝PB＝50（海里）∵PA＝100海里，∠A＝30°∴AC＝PA＝50∴AB＝（50+50）海里∵轮船的航速是每小时20海里∴≈6.8＜7∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处．21．（8分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：≈1.73）【答案】（1）4km；（2）0.3km/s．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴AO＝AC＝（km）（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴OC＝AC＝4（km）在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°∴∠BCO＝∠OBC＝45°∴OB＝OC＝4（km）∴AB＝OB﹣OA＝（4）km∴飞船从A处到B处的平均速度＝≈0.3（km/s）．22．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为