应用数学基础课件

常微分方程初步第一节常微分方程的基本概念

图26-1

物体降落示意图解思考题答案答案答案4.特征参点答案课堂练习题答案答案第二节一阶微分方程在本节中，着重讨论几个简单形式的一阶微分方程的解法.一、可分离变量的微分方程解解解解解二、齐次微分方程解解三、解四、一阶线性微分方程解解五、伯努利方程解思考题答案答案答案答案课堂练习题答案答案第三节高阶微分方程的几个特殊类型一、解解二、解解三、解解解思考题答案答案答案课堂练习题返回返回*第四节二阶线性微分方程一、解的结构二、常系数二阶性微分方程的解法解解解解解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回４.返回返回2.验证：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

导数应用第一节拉格朗日中值定理与函数单调性判定法一、拉格朗日值定理上式有几种不同的写法.验证证二、函数单调性的判定性证解解解思考题1.罗尔定理的三个条件是充要条件吗？能否去掉某个条件？答案2.拉格朗日定理的结论有哪些形式？(举例至少写三种形式)答案3.请思考并写出罗尔定理与拉格朗日定理有何关系？答案课堂练习题答案答案第二节函数的极值及判定定义极值点和导数的关系如何？由图15-6可知：图15-6极大值与极小值示意证解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的最大值和最小值

在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到数学上，即为函数最大值或最小值问题.解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节曲线的凸凹性与拐点

解解拐点和二阶导数关系如何?解解思考题答案答案课堂练习题答案第五节函数图形的描绘

借助一阶导数的符号,可以确定函数的单调性与极值,借助二阶导数的符号可以确定曲线的凸凹性与拐点,知道了这些条件后,可以较准确地做出函数的图形.描绘图形的一般步骤如下.解解思考题答案课堂练习题答案第六节洛必达法则解解解解解解解解解

洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如能化简，可以应用等价无穷小代替或重要极限时尽可能应用，这样可以使计算简捷.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第七节导数经济问题中的应用一、边际分析1.边际的概念—边际函数2.边际成本

总成本：某产品的总成本是指生产一定产量所需全部经济资源投入费用的总额，它由固定成本和可变成本组成.

平均成本：是指生产一定产量的产品时，平均每个单位产品的成本.

边际成本：是总成本的变化率.（总成本与边际成本的关系）解3.边际收益总收益：是生产者出售一定量的产品而得到的全部收入.

平均收益：是生间者出售一定量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际收益：是总收益的变化率.总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数.解4.最大利润解二、弹性分析1.函数的相对变化率与弹性函数甲产品单位价格10元,提价1元;乙产品单位价格200元,提价1元;两种产品绝对改变量都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的幅度差异很大,甲提价10%,乙提价0.5%,因此,非常有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.解解2.弹性在经济学中的应用下面介绍需求、供给对价格的弹性.解解下面研究一下需求弹性与总收益.

如果某商品为了适应市场需要机时降价时，会不会降低总收益呢？由常识可知，降价必会使单位商品收益减少，但降价又会促进销量增大，反而可能会使收益增加，于价格的调整是有科学性的.怎样会受益呢？下面将作深一步的研究.下面进一步说明这三类商品的经济意义解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

导数与微分1.变速运动的速度第一节导数的概念一、变化率问题举例2.切线问题

上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当后者无限趋于零时的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.二、导数的定义解三、求导举例解解解解四、导数的几何意义图14-2导数几何意义解解五、函数的可导性与连续性的关系思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节函数的和、差、积、商的求导法则

第一根据导数的定义求出一些简单的导数，但对于比较复杂的函数，直接安定义来求它们的导数往往是很困难的.在本节和下节中将介绍求导的几个基本法则和基本初等函数的求导公式.

解解解解解解思考题1.牢记函数的和、差、积、商的求导法则;答案答案课堂练习题答案答案第三节复合函数的求导法则

上述定理又称链锁法则.即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.该法则可推广到有限次复合形成的复合函数上去.如解解解解解例6

证明导数公式:证解答案答案答案思考题课堂练习题答案答案第四节初等函数的求导法一、反函数的导数为了求反三角函数的导数，先研究一般反函数的求导法.解例2求下列函数的导数：解二、初等函数求导问题1.求导法则2.基本初等函数求导公式思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节隐函数及参数方程所确定函数的求导法一、隐函数的导数

有的隐函数可以显化，有的则不能，不论隐函数是否能显化，可以直接由方程求出它所确定的隐函数的导数.解二、幂指函数的导数解

在导数运算中,仅有和的导数等于导数的和最简单,利用对数可以简化乘积和商及乘方的导数.如例3解三、由参数方程所确定函数的求导法解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节高阶导数

二阶和二阶以上导数统称称高阶导数，自然原来所说的导数就是一阶导数.由导数的定义，很容易写出二阶及二阶以上导数定义.如高阶导数也有许多实际背景.例如，加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数，并把此说成二阶导数的一个物理模型.解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节函数的微分一、微分的概念导数表示函数相对于自变量变化快慢的程度(导数绝对值大,函数y相对于自变量x变化的速度快;小则慢,导数值为零,几乎无改变),而不是改变量本身,然而在许多情形下,需要考察和估计函数的改变量.

计算函数的改变量一般没有什么好窍门,只需两个函数值相减即可.一般来讲,一些复杂函数这样运算较麻烦,并且又不实际,因为世界上绝对精确的东西是没有的.所以当自变量的改变量很小时,要对函数的改变量进行估计.先看一个实例.解二、微分的运算

按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数便可立刻写出微分公式，解解解解解三、近似计算解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第八节数学实验三

用Mathematica求极限和一元函数的导数一、求一元函数的极限1.学习Mathematica的命令Mathematica的求极限命令调用格式为2.理解函数极概念解解解3.求一元函数的极限例4求下列函数的极限：解二、求一元函数的导数1.学习Mathemmatica命令Mathematica的求导数命令调用格式为2.导数概念根据导数的定义，利用Mathematica的求极限命令可以求出函数在任何一点处的导数.Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]解定义函数3.求一元函数的导数例6求下列函数的导数；解解返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

定积分的应用第一节定积分的微元法

在第十六章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面积为例子，简单回顾一下求解过程.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节定积分在几何中的应用1.在直角坐标系下的计算一、平面图形的面积17-3微元法求面积17-2微元法求面积解图17-4例1示意图解图17-5例2示意图解图17-6例3示意图解图17-7例4示意图2.在极坐标系下的面积计算17-8解图17-9例5、例10示意图图17-8微元法求曲边扇形面积二、旋转体的体积解17-12解图17-12例6示意图图17-13例7示意图图17-14微元法求弧长三、求平面曲线弧长解解图17-15例9示意图17-9解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第三节定积分在物理中的应用

定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分这种数学模型来解决.下面讨论一些物理方面的实例，旨在加强读者微元法建立定积分模型.一、变力做功

但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是下面要讨论的变力做功问题.图17-17电场力所做的功解

下面再举一个计算功的问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型.解图17-18例题抽水做功二、液体压力解图17-19例3水箱图17-20例3液体压力解图17-23液体压力计算

已经知道，一个均匀细杆和一个质点也会产后引力，下面用定积分的微元法来分析计算这样的实际问题.三、引力图17-24细杆对质点的引力解思考题答案答案课堂练习题答案答案第四节定积分在经济问题中的简单应用

变上限定积分是被积函数的一个原函数.若已知边际函数，可由变上限定积分表示经济函数.一、由边际函数求总函数解解二、资本现值与投资问题解解思考题答案答案答案课堂练习题答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

多元函数积分学基础第一节二重积分的概念与性质一、实例1.曲顶柱体的体积图19-1曲顶柱体图19-2曲顶柱体划分2.非均匀薄片的质量二、二重积分的定义三、二重积分的性质解图19-3例1示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节二重积分的计算

在实际应用时,用二重积分的定义和性质去计算二重积分是十分复杂和困难的.本节将介绍一种实用的计算方法,此种方法主要是把二重积分的计算化成连续计算的两次定积分,即二次积分.一、在直角坐标系下计算二重积分图19-4积分区域图19-6积分区域图19-7积分区域分割解图19-8例1示意图解图19-9例2示意解方法一解图19-11例4示意图a方法二图19-2例4示意图b

二、在极坐标系下计算二重积分图19-14极点在D之外图19-15极点在边界上图19-16极点在D内解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节二重积分的应用一、体积解图19-27例1示意图解图19-18例2示意图解图19-19例3示意图二、平面薄片的质量解三、平面薄片的重心解图19-20例5示意图解图19-21例6示意图思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第四节曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分的概念和性质图19-22例1示意图2.对弧长的曲线积分的计算方法解解图19-23例3示意图解二、对坐标的曲线积分的概念和性质1.对坐标的曲线积分的概念和性质例5变力沿曲线所做的功图19-24例5示意图2.对坐标的曲线积分的计算方法解图19-25例6示意图解图19-26例7示意图解图19-27例8示意图解解三、格林公式图19-28复连通区域图19-29格林公式示决图合并以上两式即得式（19-21）解解图19-30例12示意图四、平面上的曲线积分与路径无关的条件证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节数学实验五

用Mathemtica求偏导和计算二重积分一、学习Mathematica命令Mathematica的求多元函数的偏导数命令与前面学习的求一元函数的导数命令一样，调用格式为二、偏导数计算解解三、计算二重积分解解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回

多元函数微分学基础第一节空间解析几何图18-1右手系示意一、空间直角坐标系

建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有序数之间的对应关系.18-2

三个坐标面把空间分成了八部分，每部分叫做一个卦限（见图18-3）.这八个卦限次序规定如下:图18-2点P位置下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）图18-3八卦限示意图解1.曲面方程的概念18-4二、曲面及其方程

一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.图18-4曲面示意2.平面方程由两点距离公式知图18-5例2示意图解解解3.球面方程图18-7球面示意图图18-6例4示意图解4.柱面方程图18-8柱面示意图解称这样的柱面为圆柱面（见图18-9）图18-9例5示意图1.空间曲线及其方程三、空间曲线及方程解2.空间曲线在坐标面上的投影解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第二节向量的概念及向量的运算

向量研究数学、物理、力学及工程技术问题的一个重要工具.本节主要介绍向量的概念和向量的基本运算.一、向量的概念

通常遇到的量可以分为两类：一类是只有大小的量，如长度、面积、温度、时间及质量等，它们叫作数量或标量.另一类量，不仅有大小，而且有方向，如力、位移、速度、加速度及电场强度等，它叫作向量或矢量.二、向量的加法与减法1.向量的加法

由物理实验可知，作用于一点的两个不平行力的合力可由可由平行四边形法则来确定.完全类似，可定义向量的加法.容易证明，向量的加法满足以下运算规律.2.向量的减法向量的减法是加法的逆运算.三、数与向量的乘法

在实际应用中，常遇到像速度加快了几倍，力增大了几倍等问题.速度加快了几倍，实际上是指速度的大小增大了几倍，而速度的方向并没有改变.在数学上，这就是数与向量相乘的问题.四、向量的坐标表示法1.向量的坐标解解如图18-15所示2.向量的模和方向余弦解五、向量的数量积1.向量的夹解与投影解2.数量积的概念不难验证，数量积满足以下运算规律：由数量积的定义还可得出解3.数量积的坐标表示式解证六、向量的向量积1.向量积的概念2.向量积的坐标表示式解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节空间的平面上、直线及常见二次曲面

在第一节中简单介绍了曲面和空间曲线方程的概念.本节将以向量为工具较系统地介绍平面和空间直线的知识，并对常见二次曲面加以介绍.1.平面的点法式方程

通过第一节的学习知道平面是曲面的一种特殊情形，并得到了平面的一般方程和截距式方程.下面讨论平面的点法式方程.18-2318-23一、平面方程及两平面间的夹角称上式为平面的点法式方程.18-24解18-24解这就是平面的一般方程.2.两平面的夹角两平面的法向量的夹角叫作这两个平面的夹角.解1.空间直线的一般式方程

由第一节可知空间曲线可以看成是两个曲面的交线，因此，空间直线可看成是两个平面的交线.二、空间直线的方程及其夹角2.空间直线的标准方程解图18-26例4示意图解3.空间直线方程一般式与标准式的互换解4.空间两条直线的夹角两直线的方向向量之间的夹角叫作两直线的夹角.在第一节中介绍了球面和柱面，下面再介绍几种二次曲面.1.旋转曲面

一条两面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面叫作旋转曲面.其中定直线叫旋转转轴.在这里，只讨论旋转轴为坐标轴的旋转曲面.三、常用二次曲线及方程下面，建立该曲面方程.解图18-28圆锥面2.椭球面椭球面的图形是什么形状呢？下面用截痕法讨论椭球面的具体形状

因此，球面、旋转椭球是椭球面的特例.3.双曲面图18-30单叶双曲面4.抛物面图18-32椭圆抛物面图18-33双曲抛物面思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节多元函数的概念

在第十四章中，讨论了含有一个自变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.一、二元函数的定义先看下面的例子.图18-34例2示意图一般地，二元函数的定义如下.解

对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进行讨论.

所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图18-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图18-35区域示意

若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图18-35(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图18-30(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.

为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.解二、二元函数的几何意义图13-38例6示意图三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限

函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.

二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.

解方法一

方法二

这说明，二元函数的极限问题有时可以先转化为一元函数的极限问题，再求解.解2.二元函数的连续性函数的不连续点称为函数的间断点.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第五节偏导数与全微分一、偏导数的定义及求法解解证解二、高阶偏导数解三、全微分1.全微分的定义解解解2.全微分在近似计算中的应用解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节复合函数与隐函数微分法一、复合函数的求导法则1.复合函数的中间变量均是二元函数的情形解2.复合函数的中间变量均为一元函数的情形解解3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形解4.复合函数是抽象函数的情形解解二、全微分形式不变性解三、隐函数的求导法解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第七节多元函数的极值和条件极值一、多元函数极值1.极值的定义及求法解2.最大值和最小值解图18-39例4示意图二、条件极值解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回二次曲线第一节圆一、圆的方程图9-1圆的形式示意

知道了圆的标准方程，还可以根据一点到圆心的距离与半径的关系来判断该点在圆上、圆内，还是圆外.二、平移变换

下面我们就来研究改变坐标系位置的一种方法.这种方法不改变坐标轴的方向和长度单位，把坐标系的原点移到某一个定点，而得到一个新坐标系.称这种方法为坐标系的平移变换.简称移轴.（！图形不变，坐标变.）图9-2坐标系的平移变换这就是坐标平移变换的公式，简称移轴公式.图9-3例5题图形图9-4例6题图形图9-5例7题图形习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案第二节椭圆一、椭圆的定义与标准方程1.椭圆的定义

定义平面内到两定点距离之和等于一个常数的点的轨迹称为椭圆.两个定点，称为椭圆的焦点.2.椭圆的标准方程图9-6椭圆的形成示意二、椭圆的几何性质根据椭圆的标准方程来研究椭圆的性质.1.范围由椭圆的标准方程（9-5）得图9-9椭圆性质的图形示意2.对称性3.顶点椭圆和它的对称轴的交点，称为椭圆的顶点.4.离心率图9-10例4的解题图形

描绘椭圆，可以根据椭圆的标准方程用描点法画出，但这样做比较复杂，通常是结合椭圆的几何性质，作出其略图.步骤如下.(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)作出椭圆的四个顶点；(3)适当描出椭圆在第一象限的一些点，再利用对称性描出其他象限的点；(4)用光滑的曲线顺势连接这些点.习题思考题：课堂练习题：答案答案答案第三节双曲线

双曲线也是一种常见的曲线.当宇宙火箭燃料用完时,如果速度超过11.19km/s,它就会沿着一条双曲线轨道飞出地球的引力范围.一、双曲线的定义和标准方程1.双曲线的定义定义图9-11双曲线的形成示意2.双曲线的标准方程称式（9-7）为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.

称式（9-8）为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.(!可根据标准方程中平方项的符号判定双曲线的焦点在哪个坐标轴上.)二、双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程（9-7）来研究双曲线的性质.1.范围2.对称性3.顶点4.渐近线我们在第一象限来作确切的说明.如图9-14所示.考虑双曲线图9-14第一象限内双曲线的渐近线

所以，我们把这条直线称为双曲线的渐近线.根据对称性知道，双曲线有两条渐近线：5.离心率

双曲线的半焦距与实半轴这比，称为双曲线的离心率，三、等轴双曲线、双曲线的画法1.等轴双曲线它的实轴与虚轴相等，这样的双曲线称为等轴双曲线.2.双曲线的画法(3)利用双曲线的范围、顶点、对称性和渐近线，画出双曲线的略图.习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案答案第四节抛物线1.抛物线的定义图9-15抛物线的形成示意定义2.抛物线的标准方程图9-16开口向右的抛物线图9-17几种开口方向不同的抛物线（a）图9-17（b）图9-17（c）二、抛物线的几何性质1.范围2.对称性3.顶点三、抛物线的画法抛物线的画法步骤如下.(1)将方程化为标准方程；(2)判定抛物线的开口方向和对称轴;(3)描出抛物线上五点：顶点和两组对称点，根据对称性，用光滑的曲线将这些点顺势连接.习题思考题：课堂练习题：椭圆抛物线双曲线答案答案答案分析（单击左键显示答案）第五节曲线与方程一、曲线与方程

在第八章我们学习了平面上直线与二元一次方程的关系，下面研究平面上一般曲线与方程的关系.

在研究曲线与方程的关系时，可以把一条曲线看作是满足某种条件的点的轨迹.即:(1)曲线上的点都满足某种条件;(2)满足某种条件的点都在曲线上.

前面学习过的圆、椭圆、双曲线、抛物线，它们的点所满足的条件都是用一个二元二次方程表示的.曲线上所有点的坐标都满足这个方程；(2)坐标满足这个方程的所有点都在这条曲线上.曲线的方程.方程的曲线.从前面的学习可知，求曲线方程的一般步骤如下.

求曲线方程时，一定要注意适当选取坐标系.这样能使得到的方程比较简单.二、圆锥曲线

圆锥曲线主要是指圆、椭圆、双曲线和抛物线，这些名称的由来是因为这些曲线都是由一个平面与正圆锥面相截得出的.如图9-19所示.

我们也可以统一定义圆锥曲线.

定义到一定点（焦点）与到一定直线（准线）的距离之比为常数e（离心率）的动点的轨迹为圆锥曲线.图9-19圆锥曲线的形成示意

椭圆、双曲线都具有对称中心，因此椭圆、双曲线又称为有心圆锥曲线（或称有心二次曲线）；抛物线不具有对称中心，因此抛物线称为无心圆锥曲线.椭圆（包括圆）、双曲线、抛物线还有一个共同的特征：它们的方程都是二元二次方程，所以它们常被称为二次曲线.三、二次曲线的光学性质

椭圆有这样一个聚光特征：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆的反射后，集中到另一个焦点上.如图9-20所示.

有一种叫做“耳语廓”的建筑物，它的顶的纵断面是一个椭圆的半弧，在一个焦点处低声说话，本来不可能在另一焦点处听到的声音，经过反射后，却能清晰地听到.图9-20椭圆的聚光特征示意双曲线也有如下光学特性.

与椭圆、双曲线类似，抛物线也有独特的光学性质.图9-21双曲线的光学特征示意太阳灶就是根据这一特性设计的.

反过来，一个光源放在焦点上，经过抛物线反射后成为一束平行光线，探照灯、汽车前灯就是这一特征的实际应用.如图9-22（b）所示.图9-22太阳灶、探照灯的原理示意(b)(a)习题思考题：课堂练习题：1.什么是二次曲线？2.椭圆、双曲线、抛物线的统一性是什么？3.学习本章后重点掌握哪三种方程.答案答案答案答案答案答案部分思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：1.圆、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，由于它们的方程都是二次的，所以又叫二次曲线.返回思考题解答：2.它们的统一性:(1)从方程形式看是二元二次方程.(2)从点的集合(或轨迹)观点看它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹).(3)这三种曲线都可以由平面截图锥面得到的截线.返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回

概率论初步第一节随机事件

在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可能会生,也可能不发生.一、随机现象与随机试验二、随机事件三、事件的关系及运算1.事件的包含与相等图20-1事件的包含2.事件的和图20-2事件的和3.事件的积图20-3事件的积4.互斥事件（互不相容事件）图20-4互斥事件5.对立事件图20-5对立事件解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节事件的概率一、概率的统计定义二、概率的古典定义解解解解三、概率的加法1.互斥事件的概率加法公式解解2.任意事件的概率加法公式图20-6定理3示意图解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节条件概率与乘法公式一、条件概率解解解二、乘法公式解解三、全概率公式图20-7例6示意图解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节事件的相互独立性独立重复试验1.事件的相互独立性解证明解解二、独立重复试验与二项概率公式2.二项概率公式解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第五节随机变量及其分布一、随机变量1.随机变量的概念2.随机变量的二要素3.随机变量的分类二、离散型随机变量1.定义12.定义2解解3.分布列的性质解三、连续型随机变量1.概率密度性质2.概率密度的几何意义图20-9概率密度几何意义图20-8密度曲线解解四、分布函数1.分布函数的性质2.离散型随机变量分布函数的求法解图20-10例10示意图3.连续型随机变量分布函数求法解五、几种常见的分布1.两点分布2.二项分布解解3.泊松分布解4.均匀分布解5.指数分布6.正态分布图20-11标准正态曲线解解（3）一般正态分布图20-12一般正态曲线解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节随机变量的数字特征一、数学期望1.离散型机变量的数学期望解解解解2.连续型随机变量的数学期望解解解3.随机变量函数的数学期望解4.数学期望的性质解二、方差1.方差的计算证解解解解2.方差的性质证证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案1.具备以下三个特征：1）试验在相同条件下可重复进行；2）每次试验结果不止一个，事先可以知道所有可能结果；3）试验前不能确定会发生何种具体结果.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.离散型、连续型.返回返回3.常见的离散型随机变量服从的分布有：两点分布、二项分布、泊松分布.常见的连续型随机变量服从的分布有：均匀分布、指数分布、正态分布.返回返回返回返回返回返回返回返回

函数、极限与连续第一节函数１.函数的定义一、函数的概念

通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.

显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.2.函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集例1求下列函数的定义域3.函数与函数值的记号4.函数的表示方法表示函数的方法,最常用的有以下三种:13-1

在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.

求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应取值范围的表示进行计算.1.函数的奇偶性二、函数的几种特性2.函数的单调性上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.

单调增加(或单调减少)函数的图形沿轴的正向上升(或下降).证3.函数的周期性4.函数有界性上述定义也适用于闭区间和无穷区间.三、复合函数例5指出下列复合函数的复合过程解四、反函数解

定义4

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.五、初等函数

例7

用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.解六、建立函数关系举例解

从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们；然后把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系，找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。1.需求函数

某一商品的需要量是指在一定的价格水平下,消费者愿意而且有支付能力购买的商品量.

消费者对某种商品的需求由多种因素决定,商品的价格是影响需求的一个主要因素,还有其他因素,诸如消费收入的增减、季节的变换都会影响需求.现在假定价格以外的其他因素均为常量,只研究需求与价格的关系.七、经济类函数举例

一般情况下,商品的价格越低,需求量越大;商品价格越高,需要越小.因此需求函数是单调减少函数.依据经济统计数据,常见的需求函数有以下几种类型.解2.供给函数

某一商品的供给量是指在一定的价格水平下,生产者愿意生产并可供出售的商品量.

一般情况下,商品的价格越低,生产者不愿生产,供给少;商品价格越高,生产者愿意生产并且能够向市场提供的多,因此供给函数是单调增加的.依据经济学中的统计数据,常见的供给函数有以下几种类型.

如果市场上某商品的需求量恰好等于供给量,则称此市场供需平衡状态,此时的商品价格称为均衡价格.市场上的商品价格将围绕均衡价格上下波动.解3.成本函数解4.收益函数

总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，平均收益是生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的售价.5.利润函数解

经济学中实际问题的解决,不仅需要建立一些经济量之间的函数关系,更需要对这些函数的性质进行研究.在后面的几章中,我们将陆续提供解决这些问题的一些非常有效的数学工具.本节关键词基本初等函数初等函数复合函数思考题1.判断两个函数是否相同的关键是什么？答案2.有界函数的界是否唯一？答案3.思考复合函数的定义，在什么情况下复合函数将失去意义？答案课堂练习题答案答案第二节数列及极限一、数列的极限例1观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限-3-3-3-302-114321n由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：通过以上例题，可以推得以下结论：数列极限四则运算法则：二、数列极限的四则运算解例3求下列各极限.解三、无穷递递缩等比数列的求和公式这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.解(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.四、数列极限的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的极限一、先看下面的例子.二、例3观察并写出下列函数的极限:解13-1913-20图13-19例3（1）示意图图13-19例3（1）示意图三、左极限与右极限解解四、函数的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节、无穷小与穷大1.无穷小的定义在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.一、无穷小与无穷大的定义及其关系应当注意以下几点:2.无穷大的定义与无穷小相仿,应当注意以下几点:3.无穷小与无穷大的关系解

例2

以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?解例3讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?解1.无穷小与函数极限之间的关系2.无穷小的性质及推论性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小.

推论1常数与无穷小的乘积仍为无穷小性质3有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

推论2无穷小的正整数次幂仍为无穷小.二、无穷小的性质解解思考题1.很小的数是否就是无穷小量？为什么？答案2.“无穷大的倒数就是无穷小，无穷小的倒数就是无穷大”这一命题是否正确？答案3.两个无穷小的商是否一定为无穷小？举例说明.答案课堂练习题答案答案第五节极限的运算法则解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第六节两个重要的极限一、证解解解解解二、解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节无穷小的比较

已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？表13-3三个无穷小趋向零的快慢程度0.10.010.0010.20.020.0020.010.00010.000001解解

同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.

本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换.解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第八节函数的连续性与间断性

连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.一、函数连续性的概念(一)函数的增量解(二)函数的连续性图13-24函数连续性与间断点那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？

这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.证明下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.解

显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这是连续函数的几何特性.1.间断点下面三个函数在x=1的连续性.二、函数的间断点2.间断点的分类例5求下列函数的间断点，并说明其类型.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第九节初等函数的连续性1.基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数的和、差、积、商的连续性一、初等函数的连续性3.反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.4.复合函数的连续性连续函数的复合函数仍为连续函数

在求复合函数极限时，若内外层函数均为连续函数，则极限符号与函数符号可层层交换次序，即上式也可写成解解5.初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内都是连续的.解解解1.最大值与最小值性质定理4在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.二、闭区间上连续函数的性质

此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.2.介值性证思考题答案答案答案课堂练习题答案答案返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.证明：返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回1.证明：返回2.证明返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回2.证明：返回

极坐标和参数方程第一节极坐标

我们知道可以利用直角坐标系来表示平面上点的位置和一些曲线的方程,但在有些具体问题中这并不方便.例如,雷达兵在报告雷达发现的飞机的位置时，只需指出飞机的方向和距离.像这种利用方向和距离来确定平面上点的位置的坐标系就是极坐标系.本节介绍极坐标系的概念和曲线的极坐标方程.一、极坐标的概念1.平面上点的极坐标图10-1极坐标系图形示意图10-5点M的极坐标

2.极坐标和直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示.为了研究问题方便，有时需要把它们进行互化.图10-6直角坐标系与极坐标系的关系二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念图10-7例5题图形

2.极坐标方程的作图极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法.图10-10极坐标系中的对称关系条件曲线的对称性条件曲线的对称性图10-11心形线3.极坐标方程的建立图10-12例8图形图10-13例9图形*4.等速螺线及其方程当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.图10-14等速螺线的极坐标系图10-15等速螺线图10-16例10图形习题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什么叫极坐标方程？2.平面上的点极坐标如何表示？极角取值范围？答案答案答案答案答案第二节参数方程一、参数方程的概念先来看下面的一个例子.图10-17炮弹运动规律的轨迹

方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数.

在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定.

为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.二、参数方程的作图三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程：四、曲线参数方程的建立1.椭圆的参数方程图10-20辅助圆作法示意这是所给椭圆的参数方程.即得到圆的参数方程为：2.圆的渐开线的参数方程图10-22圆的渐开线

下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.图10-23极坐标系中圆的渐开线3.摆线的参数方程这就是摆线的参数方程,图10-24摆线习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案*第三节数学实验二利用Mathematica绘制一元函数图形一元函数图形的绘制1.学会Mathematica命令

（1）Mathematica的绘图命令调用格式为Plot[表达式，{自变量，下限，上限}，可选项]，其中表达式是需要绘制其图形的函数的表达式，下限和上限表示自变量的取值范围.Plot[{表达式1，表达式2,…}，{自变量，下限，上限}，可选项]，在一个坐标系中绘制由表达式1、表达式2等表示的若干个函数的图形.

可选项可以有也可以没有，没有可选项时系统按默认值处理.它的表示方法是：可选项名——＞可选项的值比如可选项PlotRange,它表示坐标轴的显示范围，系统默认值是Automatic．可以指定坐标轴的显示范围：可选顶AspectRatio表示坐标轴的纵横比例，即纵坐标轴长度单位，横坐标轴长度单位．2.绘制一元函数图形图10-26例1示意图10-27例2示意图10-28例3示意图10-29例4示意图10-30例4示意3.绘制参数方程所确定函数的图形图10-31例5示意图10-32例5示意习题思考题：课堂练习题：

利用Mathematica软件绘图命令调用格式是什么：下限、上限是什么意思.Plot表达是数学意义的函数吗？在计算机操作学会Mathematica命令.答案答案部分思考题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回

加法定理及推论第一节加法定理一、余弦的加法定理二、正弦的加法定理三、正切的加法定理证明习题思考题：课堂练习题：答案答案第二节二倍角公式证明习题思考题：课堂练习题：答案答案答案第三节半角公式习题思考题：课堂练习题：

半角公式是由哪些公式推导的，公式本身符号如何决定？答案答案答案*第四节三角函数的积化和差与和差化积

在三角函数的计算和化简中，经常需要把三角函数乘积的形式与和差的形式进行互化.一、三角函数的积化和差公式我们已经学过正弦、余弦的加法定理：二、三角函数的和差化积公式证明证明解习题思考题：课堂练习题：答案答案答案答案部分课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回思考题解答：返回课堂练习题解答：返回课堂练习题解答：返回第一节矩阵的概念及运算矩阵与线性方程组

矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性代数的一个主要研究对象.1.矩阵的概念表23-1调运方案/t124231546010表23-2物资库存量/t120315622421040241623366850280423将以上两个表中的实际背景去掉，则抽象出如下数据：数学上就把的矩形数叫作矩阵.现在给出矩阵的一般定义.二、矩阵的运算根据实际问题的需要，规定矩阵的一些基本运算如下.1.矩阵的相等2.矩阵的加法根据定义不难验证，矩阵的加法具有以下性质：3.数与矩阵的乘法解4.矩阵与矩阵的乘法解解解解5.矩阵的转置解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节逆矩阵一、方阵的行列式二、逆矩阵证证证解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节矩阵的秩与初等变换1.矩阵的秩解解二、矩阵的初等变换解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节线性方程组的矩阵求解本节主要讨论以下问题.一、高斯消元法解表23-3方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程对照方程组的消元过程增广矩阵的变换过程解二、线性方程组的相容性解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案*第五节数学实验六

用Mathematic进行矩阵运算和解线性方程组一、学习Mathematic命令1.数组与矩阵2.矩阵运算3.线性方程求解二、矩阵运算解解三、矩阵的行列式与逆矩阵解四、矩阵的秩解五、线性方程组求解解一

用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵所对应的线性方程组和原方程组同解.因此，原方程组和以下方程组同解：解二记aa为系数矩阵，xx为未知量矩阵,bb为常数项矩阵.返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回答案返回返回

空间图形第一节平面及其基本性质一、空间概念

空间图形是由空间的点、线、面所构成，这些图形上的点不完全在同一个平面内，例如桌子、书、粉笔、螺母等物体，以及我们所熟悉的长方体、圆柱、圆锥等几何图形，这些都属于空间图形，平面图形是空间图形的一部分.

从集合的观点看，空间图形是满足某种条件的空间点的集合.

平面是最常见最基本的空间图形，桌面、黑板面、平静的水面以及窗玻璃，都给我们以平面的形象，几何里所讲的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，几何里的平面是无限延展的，它没有厚度.二、平面的表示法图7-1平面的画法及表示(a)(b)(c)(d)

画直立的平面时，可以把平面画成矩形或平行四边形，使它的竖边和水平平面的横边垂直，被平面遮住的线段画成虚线或不画，如图7-1所示.详细的作图方法，后面还要介绍.三、平面的基本性质

在生产与生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面的三个基本性质，我们把它们当作公理，作为进一步推理的基础.公理3

不共线的三点确定一个平面，如图7-4所示.

图7-2公理1的图形图7-3公理2的图形图7-4公理3的图形“确定”二字的含义是指，经过不在一条直线上的任意三点，可以作一个平面，并且只可以作一个平面.根据上述公理，可以得出以下推论：推论1一条直线和这条直线外一点确定一个平面（图7-5）；推论2两条相交直线确定一个平面（图7-6）；推论3两条平行直线确定一个平面（图7-7）；图7-7推论3的图形图7-5推论1的图形图7-6推论2的图形

例1

证明两两相交且不过同一点的三条直线共面（即在同一平面内）.图7-8例1图形证明四、平面图形直观图的画法

我们知道，在水平平面内画矩形不是画它的真实形状（简称真像），而是画成平行四边形，这个平行四边形通常叫做矩形的直观图.一般地，我们把平面图形（或空间图形）在水平平面内所画成的图形叫做该图形的直观图.下面举例说明平面图形的直观图的画法.图7-9例2图形图7-10例3图形图7-11例4图形

归纳上面的例子可以知道，在水平平面内画平面图形的直观图一般可遵循下面的规则：(1)选择已知图形的水平方向线段（或作辅助的水平线段）；(2)凡水平方向的线段仍画成水平方向，其长度不变（即实长）；思考题：课堂练习题：1.背熟3个公理及公理3的三个推论.2.能否说一个平面长4米、宽2米.判断：习题答案(单击左键显示答案)第二节线面间的位置关系一、直线和直线的位置关系

我们已经知道，在同一平面内的两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交.图7-12平行六面体

（1）相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.[！注意两条异面直线的画法，参看图7-13（a）].1.空间直线的平行关系

定理1

不在同一平面内的三条直线，如果其中两条直线都平行于第三直线，那么这两条直线也互相平行.

定理2

不在同一平面内的两个角，如果其中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.(a)异面直线的画法（b）两条异面直线所成的角图7-13异面直线2.两条异面直线所成的角

定义经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角（或直角），称为两条异面直线所成的角[图7-13（b）].

当两条异面直线所成的角是直角时，就称这两条异面直线互相垂直.

反映两异面直线位置关系除了角度，还有距离，和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线（可以证明它是存在的且是惟一的）.公垂线在两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线间的距离。证明图7-14例1图形图7-15例2图形二、直线与平面位置关系

一条直线和一个平面的位置关系有且仅有以下三种，如图7-16所示.图7-16直线与平面的位置关系（1）直线在平面内—有无数个公共点；（2）直线和平面相交—有且只有一个公共点；（3）直线和平面平行—没有公共点.1.直线和平面平行的判定和性质直线和平面平行，除可以根据定义判定外，还有以下的定理.

直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.2.直线和平面垂直的判定和性质

直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.图7-21直线和平面垂直判定定理示意图

直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.图7-22直线和平面垂直性质证明示意图

从平面外一点引一条平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线上每一点到平面的距离相等.图7-23例5图形3.直线和平面斜交自平面外一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,这个点与垂足之间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.

过斜线上的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影，斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上.根据直角三角形性质，我们容易得到：定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(1)若射影相等，则斜线段也相等，若射影不等，则射影较长的斜线段也较长.(2)若斜线段相等，则射影也相等，若斜线段不等，则斜线段较长的射影也较长.(3)垂线段比任何一条斜线段都短.

可以证明，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.图7-25例6图形5.三垂线定理

三垂线定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.图7-26三垂线定理的图形

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

例7如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.图7-28例8图形三、平面和平面的位置关系两个平面的位置关系只有：（不含重合平面）（1）两平面平行——没有公共点；（2）两平面相交——有一条公共直线.判定两个平面平行，除根据定义之外，还有下面的定理.

两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.图7-29两平面平行的判定定理证明示意图

推论1

如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行.

推论2

垂直于同一条直线的两个平面平行.

两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

显然，两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.图7-30两上平面平行性质证明示意图

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.

容易证明，两个平行平面的公垂线段都相等.如图7-31所示.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.图7-31两平行平面的公垂线图7-32例9图形四、二面角

修筑堤坝时，为了使堤坝坚固耐用，必须使坝的侧面与水面成适当的角度；发射人造卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定角度，因此生产和科学技术的发展要求我们研究两平面所成的角.

一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，每一部分叫做半平面.

定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，构成二面角的两个半平面叫做二面角的面.1.二面角的平面角

定义在二面角的棱上取任一点，从这个点起，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.图7-33两面角示意图图7-34例10图形图7-35例11图形2.平面和平面垂直的判定和性质两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.

两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.图7-36两个平面垂直判定理证明示意图

两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线