2024年无锡市辅仁中学高一数学3月质检考试卷附答案解析

2024年无锡市辅仁中学高一数学3月质检考试卷全卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在中，已知，则角为（

）A． B． C． D．2．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：23．已知中，为边上一点，且，则（

）A． B． C． D．4．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D5．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（

）A．B．C． D．6．在中，是对角线上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则＝（）

A． B． C． D．7．如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（

）

A． B． C． D．8．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（

）A．3 B．6 C．7 D．9二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A． B．C． D．向量，夹角为10．已知是夹角为的单位向量，且，则（

）A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为11．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（

）A．B．若，则有两解C．若为锐角三角形，则b取值范围是D．若D为边上的中点，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，在菱形ABCD中，，，则．13．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则.14．如图，已知的面积为，分别为边，上的点，且，交于点，则的面积为.四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知向量为向量的夹角.(1)求的值；(2)若，求实数的值.16．为直角三角形，斜边上一点，满足.（1）若，求；（2）若，，求.17．已知向量，设.(1)，求当取最小值时实数t的值；(2)若，问：是否存在实数t，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由.18．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．(1)用和表示；(2)求；(3)设，求的取值范围．19．如图，已知为平行四边形．

(1)若，，，求及的值；(2)记平行四边形的面积为，设，，求证：1．B【分析】利用余弦定理的推论即可求解.【详解】由及余弦定理的推论，得，因为，所以.故选：B.2．D【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角形的内角和为运算求解.【详解】∵：：：2：3，且，∴，，，则，故故选：3．A【分析】利用向量的线性运算即可求得.【详解】在中，.因为，所以.所以.故选：A4．A【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量，不共线，且，，，，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.故选：A5．B【分析】根据，得，由余弦定理可求.【详解】因为向量，，因为，所以，即，由余弦定理可得.因为，所以，故选：B.6．C【分析】根据平面向量基本定理，由对应系数相等求解即可.【详解】由题可知，∵点是的中点，∴，∴∴，∴．故选：C．7．D【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解.【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点，所以，又，在中有余弦定理得：，在中，利用余弦定理得：，在中利用同角间的三角函数关系可知：．故选：D.8．B【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，则，又是的外心，所以，所以.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.9．AC【分析】对进行平方运算，可求，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，可判断BC选项.【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确；，故，所以B不正确，，所以，C正确.故选：AC10．ABD【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.【详解】设与的夹角为，对B，因为，B正确；对A，，A正确；对C，，所以，C错误；对D，在方向上的投影为，D正确.故选：ABD11．BCD【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．【详解】因为，所以，，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；若D为边上的中点，则，，又，，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．12．【分析】根据向量加法运算结合菱形的性质及角度，求出模长即可【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．因为，所以，所以为等边三角形．又，，所以．在中，，所以．故答案为:13．【分析】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用向量的夹角公式求解.【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.则，，，，，.由于就是，的夹角..的余弦值为.故答案为：14．4【分析】以，建立一组基底向量，再利用点与点分别共线的性质表示出，建立二元一次方程，再采用间接法，根据求出答案，属于难题【详解】设，以，为一组基底，则.∵点与点分别共线，∴存在实数和，使.又∵，∴解得∴，∴.【点睛】复杂的三角形线段关系问题，借鉴向量法进行求解时，还是需要根据向量基底进行基础运算，如本题中面积问题最终转化成线段比例问题，在处理正面入手不好解决的问题时，可从对立面入手，采用间接法来进行求解15．(1)(2)0或【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求得，代入公式夹角公式即可得结果；（2）分别用坐标表示出，利用模长相等即可解得或.【详解】（1））由可得，所以.（2）由，可得，即，解得或.即实数的值为0或.16．（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理以及的范围，得出的值，再借助即可得解；（2）设，根据已知条件和勾股定理求出，进而得到的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：，得，，，，，.（2）设，，，，从而，由余弦定理，即，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.17．(1)时(2)或【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模；（2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可；【详解】（1）解：当时，，所以所以，所以当时（2）解：依题意，若，则，又，，所以，又因为，所以，，，则有，且，整理得，解得或，所以存在或满足条件．18．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．【详解】（1）由向量的线性运算法则，可得，①，②因为M为线段中点，则，联立①②得：，整理得：．（2）由AM与BD交于点N，得，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．所以，即．（3）由题意，可设，代入中并整理可得．又，故，可得：，