2024年江苏高邮市高二数学3月份检测试卷附答案解析

2024年江苏高邮市高二数学3月份检测试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、单选题（每题5分）1．已知空间直角坐标系中，1，、，点C满足，则C的坐标为A． B． C． D．2．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（

）A． B． C．24 D．123．平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（

）A．平行 B．相交且不垂直 C．相交且垂直 D．不确定4．如图，在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，则＝（）A． B．C． D．5．如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．给出以下命题，其中正确的是（）A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则C．平面､的法向量分别为，，则D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为7．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（

）A． B． C． D．8．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A．20 B．18 C．16 D．11二、多选题（每题6分）9．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（

）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底10．已知正方体的棱长为a，，则（

）A． B． C． D．11．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（

）A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B．A与同学不相邻，共有种站法C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法三．填空题（每题5分）12．由数字1，2，3，4，5可以组成个没有重复数字的五位奇数．13．，则.14．已知点，平面a经过原点O，且垂直于向量，则点A到平面a的距离为.四、解答题15．（1）计算：；（2）若，求正整数.16．已知.(1)求；(2)求与夹角的余弦值；(3)当时，求实数的值.17．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（1）六位奇数；（2）个位数字不是5的六位数；（3）不大于4310的四位偶数.18．如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.(1)求证：是平面的法向量；(2)求与平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值．19．如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面．(1)证明：；(2)求直线到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的正弦值．1．A【分析】设出点的坐标，代入，利用两个向量相等的概念，求得点的坐标.【详解】设，故，根据得，解得，故，所以选A.【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.2．B【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.故选：B3．C【解析】利用两个法向量的数量积等于，即可判断两个平面垂直，进而可得正确选项.【详解】因为，所以平面平面，故选：C.4．B【分析】直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果．【详解】在三棱锥中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足，设，故，所以，点N为棱AP的中点，所以，故.故选：B．5．B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.【详解】根据题意，在中，，所以所以==则时，取得最小值，则的最小值为.故选：B6．D【分析】对于A，利用两向量的共线定理即可判断；对于B，判断方向向量与法向量是否垂直即可；对于C，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可.【详解】对于A，，与不平行.对于B，，与不平行；对于C，，与不垂直；对于D，直线过点，且方向向量为直线的标准方程为过点作与已知直线垂直相交的平面，且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离；方向向量为平面的方程为：即：设垂足，点在平面上，则解得：故选：D.7．D【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决【详解】由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得故选：D8．C【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，故选C．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.9．BD【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD10．BC【分析】由空间向量数量积运算律对选项逐一判断【详解】如图：对于A，因为，所以，故A错误．对于B，，故B正确．对于C，，故C正确．对于D，，故D错误．故选：BC11．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.【详解】对于A，6个人全排列有种方法，A、C、D全排列有种方法，则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，则共有种方法，B正确；对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，D正确.故选：ABD12．【分析】根据特殊位置法，先从1，3，5中任选一个数字作为个位数，再将其余4个数字排到十位，百位，千位，万位上，最后结合分步乘法原理求解即可.【详解】解：根据题意，先排个位数，从1，3，5中任选一个数字作为个位数，有种，再将剩余的四个数字排到十位，百位，千位，万位上，有种，综上，由分步乘法原理，共有个没有重复的五位奇数.故答案为：13．5【分析】由排列数公式变形求解．【详解】因为，所以，，或，又，所以．故答案为：5．14．【分析】利用点到平面的距离为，即可求得结论.【详解】由题意，，，，所以点到平面的距离为.故答案为：.15．（1）1；（2）8.【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.【详解】（1）；（2）∵，∴，又，化简得，解得.16．(1)-10(2)(3)或【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由,转化为数量积为0即可.【详解】（1）；（2）；（3）当时，，得，，或.17．（1）288；（2）504；（3）110.【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．【详解】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0，当个位数是0，有，当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；（3）当千位小于4时，有种，当千位是4，百位小于3时，有种，当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种，当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种，所以不大于4310的四位偶数4有.【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】（1）解：设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系.，又，，所以，即，，又，面，面，所以是平面的法向量.（2）解：，，，又由（1）知平面的法向量，设与所成的角为，所以，因为，则，即与平面所成角的余弦值是.（3）解：在正方体中，面，是面的法向量，又，，由图可知二面角为锐二面角，设为，所以，所以二面角平面角的正弦值为.19．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离即可求出线面距离.（3）利用（2）中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，，即，有，则，即，由平面平面，平面平面