数学-广东省东莞市外国语学校2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试（4月）试题和答案

命题人：潘际栋审题人：吴森林一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=x-，则该函数在x=1处的切线斜率为()2．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种.3．x−25的展开式中x3的系数为()4．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A．0<f,(2)<f,(3)<f(3)-f(2)B．0<f,(3)<f(3)-f(2)<f,(2)C．0<f,(3)<f,(2)<f(3)-f(2)D．0<f(3)-f(2)<f,(2)<f,(3)5．若函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上存在最值，则m的取值范围是()6．已知函数f(x)=，其导函数记为f,(x)，则f,(2024)-f,(-2024)=()7．已知f,(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf,(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是()A．f>2fB．f<2fC．f>f(1)D．f<f(1)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f,(x)，f,(x)在(a,b)上的导函数为f,,(x)，若在(a,b)上f,,(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，以下四个函数在(0,)上是凸函数的是()C．f(x)=-x3+2x-1D．f(x)=-xe-x10．若C，βe-,，且CsinC>βsinβ,则下列结论中不一定成立的是()A．C>βB．C+β>0C．C<βD．C>β)个不同的正数xi，A．n的最大值为5C．的最大值为eD．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．要从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上日班和晚班，有种不同的选法.14．已知函数f(x)=ax-ex，vxe(1,+m),f(x)<alnx+a-ex，则实数a的取值范四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图计算：(1)半径r从a增加到a+d时，圆面积S相对于r的平均变化率；(2)半径r=a时，圆面积S相对于r的瞬时变化率.16．已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果）(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？(2)若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？(1)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数（请用数字表示结果（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；1917分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的nn示f(x)的2阶导数，即为f,(x)的导数，f(n)(x)(n之3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）根据该公式估算sin的值，精确到小数点后两位；的大小，并给出证明；2．A【解析】每封信可以投3个不同的信箱中的其中一个，3．A.【解析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【解析】x−25的展开式的通项TT+1=Cx5−T−2T，所以T3=Cx3−22=40x3，所以x3项的系数为40，4．B【解析】由函数f(x)的图象可知：当x之0时，f(x)单调递增，且增速变缓慢，f(3)_f(2)=，表示AB直线的斜率，根据导数的几何意义可知，0<f,(3)<f(3)_f(2)<f,(2)，则当x>2时，f,(x)>0，当x<2时，f,(x)<0，即f(x)在(_伪,2)上单调递减，在(2,+伪)上单调递增，即f(x)在x=2处取得最值，则有2m_2<2<3+m，解得_1<m<2.6．B【解析】函数f(x)==1+定义域为R，可得f(x)+f(_x)=2，两边同时求导，则有f'(x)_f'(_x)=0所以f,(2024)_f,(_2024)=0.x，7xe1x2x喻1故limex-exxe1x2x喻1x喻1x-lnx-1x喻11-1x9．ABC【解析】对于A，由f(x)=sinx+cosx，得f,(x)=cosx-sinx，则f,,(x)=-sinx-cosx=-(sinx+cosx)，因为xe(0,)，所以对于B，由f(x)=lnx-2x，得f,(x)=-2，则f,,(x)=-，因为xe(0,)，所以f,,(x)=-<0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)=-x3+2x-1，得f,(x)=-3x2+2，则f,,(x)=-6x，因为xe(0,)，所以f,,(x)=-6x<0，所以此函数是凸函数；对于D，由f(x)=-xe-x，得f,(x)=-e-x+xe-x，则f,,(x)=e-x+e-x-xe-x=(2-x)e-x，因为xe(0,)，所以f,,(x)=(2-x)e-x>0，所以此函数不是凸函数，故选：ABC10．ABC【解析】令f(x)=xsinx，xe-,，则f,(x)=sinx+xcosx，∵f(x)的定义域关于原点对称，f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，∴f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，∴f(x)在(|（-,0上单调递减，∵asina>βsinβ,即f(a)>f(β)，∴a>β,故D正确，而ABC不一定成立.0【详解】因为f(x)=2xf,(1)+x2，所以两边同时求导数可得f,(x)=2f,(1)+2x.令x=1，则f,(1)=2f,(1)+2，所以f,(1)=-2，即f(x)=-4x+x2，f,(x)=-4+2x，14.-【解析】=f'(t)牵-1=2t牵t=-（2）在表达式π(2a+d)中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa。（恰为此时圆的周长）两件次品置于第二，四位，有放法数A=2；其余二个位置放二个正品，有放法数A=12（2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为A=2；恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为CAC=16；恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为CAA=72；也可以是前四次全是正品，方法数为A=246783x26，因为(1+x)6展开式中的第r+1项Tr+1=Cxr，所以(1+x)6展开式中含x4,x5,x6项分别为Cx4,Cx5,Cx6，故g(x)中含x6的项为3x2.Cx4+8x.Cx5+6Cx6=99x6，所以g(x)中含x6项的系数为99.2024，20242024①,20232024，20232023.，b牵a+2b>4ln2观察a,b前的系数，则=牵x=，必要性探路，下一步验证等号成立即可，由lnx<ax2+bx中，结合图象可知, 1x 12x(x)递增；(x)递减；111 1,-12n+2k+1)