2024年湖北省部分重点中学高考数学第二次联考试卷

第1页（共1页）2024年冲刺高考数学8+3+3选填冲刺训练（一）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4} B．{1，2，4} C．{1，4} D．{﹣1，2，4}2．（5分）已知复数z满足z2-3i=2+3iz，则A．3 B．13 C．7 D．133．（5分）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42π，高为22A．1283π B．32π C．96+16234．（5分）在平面直角坐标系中O为原点，A（1，1），B（2，3），则向量OA→在向量OBA．(101313，15C．(522，5．（5分）若sin(5π12+α)=A．-119169 B．-50169 C．1196．（5分）设A，B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项必成立的是（）A．P（A）＜P（A|B） B．P（A）≤P（A|B） C．P（A）＞P（A|B） D．P（A）≥P（A|B）7．（5分）已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）8．（5分）斜率为13的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于AA．5 B．52 C．102 D二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2 C．若随机变量ξ～N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝0.8，则P（2＜ξ＜6）＝0.6 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关（多选）10．（5分）下列命题正确的是（）A．若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列 B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列 C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列 D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“an＞0(n∈N*)（多选）11．（5分）已知2a＝3b＝6，则下列关系中正确的是（）A．a+b＞4 B．ab＞2 C．a2+b2＜8 D．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2（多选）12．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM＝λAD（0＜λ＜1），点N为平面PAB内一点，NC=A．存在λ使得直线PB与AM所成角为π6B．不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM C．若λ=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为D．三棱锥N﹣ACD外接球体积最小值为5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）(x2-1x)6的展开式中x14．（5分）与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为15．（5分）已知函数f(x)=log2(4x+2x+1+1)-x，若f（2a﹣1）＜f（a16．（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则φ（8）＝；若bn=n2φ(2n)，则

2024年湖北省部分重点中学高考数学第二次联考试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4} B．{1，2，4} C．{1，4} D．{﹣1，2，4}【解答】解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁UA＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁UA）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．（5分）已知复数z满足z2-3i=2+3iz，则A．3 B．13 C．7 D．13【解答】解：由题设z2＝（2﹣3i）（2+3i）＝13，令z＝a+bi，且a，b∈R，则（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝13，所以a2-b2=13故选：B．3．（5分）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为42π，高为22A．1283π B．32π C．96+1623【解答】解：圆锥的底面圆周长为42则底面圆的半径为r=4又圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是πr故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中O为原点，A（1，1），B（2，3），则向量OA→在向量OBA．(101313，15C．(522，【解答】解：由题设OA→向量OA→在向量OB→上的投影向量为故选：B．5．（5分）若sin(5π12+α)=A．-119169 B．-50169 C．119【解答】解：cos(2α+5πcos(2α-故选：A．6．（5分）设A，B为任意两个事件，且A⊂B，P（B）＞0，则下列选项必成立的是（）A．P（A）＜P（A|B） B．P（A）≤P（A|B） C．P（A）＞P（A|B） D．P（A）≥P（A|B）【解答】解：根据题意，因为A⊂B，所以AB＝A，又由P(A|B)=P(AB)P(B)，且P（B）≤所以P（A）＝P（AB）＝P（B）•P（A|B）≤P（A|B），故选：B．7．（5分）已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【解答】解：令f（x）＝ex+sinx﹣ax﹣1，x≥0，则f′（x）＝ex+cosx﹣a，由题意可知：f（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，且f（0）＝0，可得f′（0）＝2﹣a≥0，解得a≤2，若a≤2，令g（x）＝f′（x），x≥0，则g′（x）＝ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0，则g（x）在[0，+∞）上递增，可得g（x）≥g（0）＝2﹣a≥0，即f′（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则f（x）在[0，+∞）上递增，可得f（x）≥f（0）＝0，综上所述：a≤2符合题意，即实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故选：A．8．（5分）斜率为13的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于AA．5 B．52 C．102 D【解答】解：设AB的中点为M，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），双曲线的渐近线方程为x2a2-y得x12a两式作差可得：(x即y1-y2x1-x2•又kAB=13，∴kOM设直线AB的倾斜角为θ，∵|AF2|＝|BF2|，∴AB⊥MF2，则|OM|＝|OF1|＝|OF2|，则OM的斜率为tan2θ=2tanθ得3b2a∴双曲线的离心率e=c故选：B．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。（多选）9．（5分）下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2 C．若随机变量ξ～N（4，σ2），且P（ξ＜6）＝0.8，则P（2＜ξ＜6）＝0.6 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关【解答】解对于A：由10×80%＝8，故第80百分位数为17+202=18.5，故对于B：由方差的性质知：D（η）＝9D（ξ），故B错；对于C：由正态分布性质，随机变量ξ的正态曲线关于ξ＝4对称，所以P(2＜ξ＜对于D：由题设χ2＝4.712＞x0.05＝3.841，结合独立检验的基本思想，在α＝0.05小概率情况下X与Y有关，故D对．故选：CD．（多选）10．（5分）下列命题正确的是（）A．若{an}、{bn}均为等比数列且公比相等，则{an+bn}也是等比数列 B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列 C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列 D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“an＞0(n∈N*)【解答】解：对于A，若a1＝﹣b1且{an}、{bn}公比相等，则a1+b1＝0，显然不满足等比数列，故A错误；对于B，若{an}的公比为q，而S3=a1(1+q+所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6是公比为q3的等比数列，故B正确；对于C，同B分析，Sn=a1(1+q+⋯+若n为偶数，q＝﹣1时，显然各项均为0，不为等比数列，故C错误；对于D，当an＞0(n∈N*)时，则Sn＝Sn﹣1+an＞Sn﹣1且n≥2当{Sn}为递增数列，则Sn＞Sn﹣1⇒Sn﹣1+an＞Sn﹣1且n≥2，显然{an}为﹣1，2，2，2，⋯满足，但an＞0不恒成立，必要性不成立，所以“an＞0(n∈N*)”是“{故选：BD．（多选）11．（5分）已知2a＝3b＝6，则下列关系中正确的是（）A．a+b＞4 B．ab＞2 C．a2+b2＜8 D．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2【解答】解：因为2a＝3b＝6，故a＝log26＞0，b＝log36＞0，故1aA选项，由于a＞0，b＞0，a≠b，故a+b=(a+b)(1a+B选项，因为1a+1b=1，所以ab＝a+b＞4C选项，由A选项知，a+b＞4，故由基本不等式得a2+bD选项，a﹣1＝log23，b﹣1＝log32，且log32≠log23，故(a-1)2故选：ABD．（多选）12．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM＝λAD（0＜λ＜1），点N为平面PAB内一点，NC=A．存在λ使得直线PB与AM所成角为π6B．不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM C．若λ=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为D．三棱锥N﹣ACD外接球体积最小值为5【解答】解：由PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AD＝1，可得AC=2且∠PCA是PC与底面ABCD所成角，即tan∠PCA=PAAC=同理∠PBA是PB与底面ABCD所成角，故∠PBA=由题意，AM在面ABCD内，故直线PB与AM所成角不小于π4PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂面PAB，则BC⊥面PAB，要平面PAB⊥平面PBM，M要在直线BC上，而AM＝λAD（0＜λ＜1），显然不存在，B对；由题设AM=2球与侧面的交线是以P为圆心，62为半径的圆与侧面展开图的交线，如下EMF由tan∠APF=2所以∠FPC=∠BPC+∠FPB=π4，根据对称性有∠FPC＝∠CPE又球与底面ABCD交线是以A为圆心，22为半径的四分之一圆，故长度为2综上，球面与四棱锥P﹣ABCD各面的交线长为2+64由题设，三棱锥N﹣ACD外接球也是棱锥N﹣ABCD外接球，又N为平面PAB内一点，NC=5，且PA⊂面PAB则面PAB⊥面ABCD，BC⊥AB，面PAB∩面ABCD＝AB，BC⊂面ABCD，故BC⊥面PAB，易知N在面PAB的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆（去掉与直线AB的交点），根据圆的对称性，不妨取下图示的四分之一圆弧，则N在该圆弧上，当BN接近与面AB重合时∠BAN趋向π，当BN⊥面ABCD时∠BAN最小且为锐角，sin∠而△ABN的外接圆半径r=BN正方形ABCD的外心为AD，BC交点O，且到面PAB的距离为12所以棱锥N﹣ABCD外接球半径R=r2+仅当∠BAN=π2时rmin＝1，此时Rmin=故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）(x2-1x)6的展开式中x【解答】解：根据二项式的展开式Tr+1=C6r⋅(-1)r⋅x12-3r当r＝3时，x3的系数为-C故答案为：﹣20．14．（5分）与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2的圆的方程为【解答】解：设圆心坐标为（a，b），（a＞0，b＞0），由于所求圆与直线y=33x故|3a-3b|3+9=|3a-b|3+1，化简为a2＝b2，而a＞0，又圆心到原点的距离为2，即a2+b2＝2，解得a＝b＝1，即圆心坐标为（1，1），则半径为|3故圆的方程为(x-故答案为：(x-15．（5分）已知函数f(x)=log2(4x+2x+1+1)-x，若f（2a﹣1）＜f（a+3），则实数【解答】解：由题设f(x)=log2(f(-x)=log2(在（0，+∞）上，令t＝2x+2﹣x+2，且x1＞x2＞0，则t1由2x1＞2x2，1-12x1+x2＞0，故t1而y＝log2t在定义域上递增，故f（x）在（0，+∞）上递增，所以f（2a﹣1）＜f（a+3），可得|2a﹣1|＜|a+3|⇒（2a﹣1）2＜（a+3）2，整理可得3a2﹣10a﹣8＜0，即（3a+2）（a﹣4）＜0，可得-2故答案为：(-16．（5分）欧拉函数φ（n）（n∈N*）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：φ（3）＝2，φ（4）＝2，则φ（8）＝4；若bn=n2φ(2n)，则【解答】解：根据题意，φ（2）＝1，则1～8中与8互质的数有1，3，5，7，共4个数，故φ（8）＝4，在1～2n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共2n﹣1个，即φ（2n）＝2n﹣1，所以bn=n当n≤2时bn+1﹣bn＞0，当n≥3时bn+1﹣bn＜0，即b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞⋯⋯，所以bn的最大值为b3故答案为：4，94四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b（tanA+tanB）＝2ctanB，BC边的中线长为2．（1）求角A；（2）求边a的最小值．【解答】解：（1）因为b（tanA+tanB）＝2ctanB，所以由正弦定理得：sinB(sinA则sinB(sinAcosB+cosAsinB所以sinBsinCcosAcosB因为sinB＞0，sinC＞0，cosB≠0，所以cosA=1又因为0＜A＜π，所以A=π（2）因为BC边的中线长为2，所以|AB两边同时平方可得：c2+b2+2bccosA＝16，即b2+c2＝16﹣bc≥2bc，解得bc≤163所以a2=c所以a的最小值为4318．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1（1）求数列{an}的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意知当n＝1时，a1q＝3a1+2，①，当n＝2时，a1q2联立①②，解得a1＝2，q＝4，所以数列{an}的通项公式an（2）由（1）知an=2×4所以an+1＝an+（n+2﹣1）dn，可得dn设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则dk所以(6×即36×4又因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m+p，所以（k+1）2＝（m+1）（p+1），化简得k2+2k＝mp+m+p，即k2＝mp，又2k＝m+p，所以k＝m＝p与已知矛盾，所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp成等比数列．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为6的等边三角形，CC1＝6，∠ACC1＝60°，D，E分别是线段AC，CC1的中点，平面ABC⊥平面C1CAA1．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，连接AC1，四边形CC1A1A是菱形，则A1C⊥AC1，又D，E分别为AC，CC1的中点，所以DE∥AC1，故A1C⊥DE，又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，则BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CC1A1A，平面ABC∩平面CC1A1A＝AC，BD⊂平面ABC，所以BD⊥平面CC1A1A，又A1C⊂平面CC1A1A，故BD⊥A1C，又A1C⊥DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以A1C⊥平面BDE；（2）解：AC=CCD是AC的中点，则C1D⊥AC，由（1）得BD⊥平面CC1A1A，以D为原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，C1P→所以DB→设平面PBD的一个法向量为n→则n→⋅DB取z＝1，所以n→由（1）得m→=C|cos〈即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为51320．（12分）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）过F1作一条斜率不为O的直线PQ交椭圆Γ于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l：x+4＝0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则|MR|•|NR|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．【解答】解：（1）易知椭圆Γ的右焦点F2（1，0），因为椭圆Γ经过点A(1，所以2a=2解得a＝3，因为c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝8，则椭圆Γ的标准方程x2（2）不妨设直线PQ的方程为x＝ty﹣1，P（x1，y1）Q（x2，y2），联立x=ty-1x29+y28=1，消去x并整理得（8t2+9）此时Δ＞0恒成立，由韦达定理得y1+y易知直线DP的方程为y=y令x＝﹣4，解得yM同理可得yN所以|MR|•|NR|＝|yMyN|＝|y1y2(ty＝|-64-64故|MR|•|NR|为定值，定值为16921．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn．（1）求X2的概率分布列并求E（X2）