考研数学试题答案及评分参考

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置(1x0时，与x等价的无穷小量是（2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置(1x0时，与x等价的无穷小量是（A）1（D）1 x（B） xx2f(x)x0处连续，下列命题错误的是f存在，则f(0)（A）若x（B）若limf(xf(x)f(0)xf（C）若f'(0xf(x)f（D）若f'(0xyf(x在区间3,2,2,3(3如图，连续函1x2,0,0,22的上、下半圆周，设F(xf035（A）F(3) F（B）F(3) F44（C）F(3)3F（D）F(3)F441(4)f(x,y连续，则二次积分dxsinxf(x,y)dy等于211（A）0dyarcsinyf(x,（B）0dyarcsinyf(x,arcsinarcsin11（C）0dy（D）0dyf(x,f(x,22(5设某商品的需求函数为Q1602，其中Q1y ln(1ex),渐近线的条数为x(6)(7)设向量组 ,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A(5设某商品的需求函数为Q1602，其中Q1y ln(1ex),渐近线的条数为x(6)(7)设向量组 ,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）12，23，3(B)1+2，2+3，3(D)122,223,3（C）122,2010(8A1，B0A2(B)(C)(D)2次命中目标的概率为（A）3p(1(B)6p(1(C)3p2(1(D)6p2(1(10设随机变量X,YX与Yfx(x),fyy)X,Y的概率密度，则在X的条件概率密度fXYy为（A）fX(B)fY(fX(C)fX(x)fY(f(Y二、空题11-小题，每小4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位xx32(sinxcosx) (1.2 1yy(n)(0)(12，.2xxzyy(13)设f(u,v)是二元可微函数，zf x. y1微分方 ()3满足y (14) 200100,则Axzyy(13)设f(u,v)是二元可微函数，zf x. y1微分方 ()3满足y (14) 200100,则A3的秩 (15)001001(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率 2三、解答题：17－ 小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出字说明、证明过程或演算步骤（17）（本题10分）yy(xylnyxy0yy(x)在点（1，1）（18）（本题11分）xyf(x,y) 1x,yx22计算二重积 f(x,y)d.其xyDD（19）（本题11分）f(x)gx)在a,b上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)f(b＝g(b（Ⅰ）存在(abf()g()（Ⅱ）存在(abf''()g''(（20）（本题10分）1f(x)x23x（21）（本题11分）x1x2x32xax 4xa2xx1x2x32xax 4xa2x23x12x2x3aa有公共解， 的值及所有公共解（22）（本题满分11分）3A的特征值1 232,1(11,1)TA的属于1BA54A3EE3（Ⅰ）验证1BB（23）（本题11分）设二维随机变量(X,Y)2xy,0x1,0yf(x,y)0,（Ⅰ）PX（Ⅱ）ZXY的概率密度fZz（24）（本题11分）X10xf(x;)1,x1,2(1其中参数(01未知，X1X2,...XnX（Ⅰ）求参数的矩估计量2（Ⅱ）4X是否为22006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空16小题，每4分，共24把答案填在题中横nn1 (1)nn，f21，则fxe2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空16小题，每4分，共24把答案填在题中横nn1 (1)nn，f21，则fxefx的某邻域内可导，且(2设函数ff2 ， f4x2y2在点(1,2)处的全微分f(u)可微，且f0z(3设函数21,2 (4)A，E2BBAB2E2.(5设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间PmaxX,Y1 的概率密度为 x x,X,(6x,X n2的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2 二、选择题：714小题，每小题4分，共32.小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(7)yf(xf(x)0,f(x)0xxf(x)x0处对应的增量与微分，若x0，则 0dyy0ydy ydy0dyy0h2f(8设函数xx0处连续，且1，则f00且f0存f01且f0 f00且f0存(Df01且f0若级数an收敛，则级数(9（B）(1)nan收敛.anf00且f0存(Df01且f0若级数an收敛，则级数(9（B）(1)nan收敛.ana收敛n2yP(xyQ(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任(10)Cy1(x)y2Cy1(x)y2y1(x)Cy1(x)y2f(xy)与(xy均为可微函数，且y(xy0，已知(x0y0f(x,y)(11约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是(A)fx(x0y0)0fy(x0y00(B)fx(x0y0)0fy(x0,y0)0(C)fx(x0y0)0，则fy(x0,y00(D)f(x,y)0f(x,)0 设 ,s均为n维列向量A为mn矩阵，下列选项正确的是(12)若,s线性相关，则A1,,线性相关若,s线性相关，则A1,,线性无关若,s线性无关，则A1,A1,,线性相关,As线性无关1BB1列的1若,s线性无关，则110P0，则2列得C(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPT110P0，则2列得C(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPTAP(D)CPAPTN(,2，随机变量Y服从正态分布N(,2 且P1P1111三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算（15）（本题7分）1yyfx,yx0,y01 arctangxfx,ygx（16）（本题满分7分）计算二重积分 y2xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所围成的平面D（17）（本题满分10分）证明：当0abbsinb2cosbbasina2cosa（18）（本题满分8分）xOy坐标平面上连续曲线L过点M1,0，其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0（Ⅰ）L8（Ⅱ）Lyax所围成平面图形的面积为时，确定a3（19）（本题10分）求幂级数。n2n（Ⅰ）L8（Ⅱ）Lyax所围成平面图形的面积为时，确定a3（19）（本题10分）求幂级数。n2n（20）（本题13分）1a,1,1,1T,2,2a,2,2T,3,3,3a,3T4维向量组2344444aTa为何值时,,线性相关？当,,, （21）（本题13分）3A3，向量11,2, T0,是T2Ax0（Ⅰ）A（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ3（Ⅲ）求A及A ，其中E为3阶单位矩阵2（22）（本题13分）X1,1xfx1,0x2X令YX2Fx,y为二维随机变量X,Y)（Ⅰ）求Y的概率密度fYy（Ⅱ）Cov(X,Y)1F 。2（23）（本题13分） 的概率密度X1F 。2（23）（本题13分） 的概率密度X0x,1x 1X1,X2...,Xn为来自总体Xx1x2xn1（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计。2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、空题：本题共6小题，每小题4分，满分24请将答案写在答题纸指定位置(1极限limx x2(2)微分方程xyy0满足初始条件y2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、空题：本题共6小题，每小题4分，满分24请将答案写在答题纸指定位置(1极限limx x2(2)微分方程xyy0满足初始条件y12的特解 zxexyx1ln1y，则(3 设行向量组2,1,1,1,2,1,a,a,3,2,1,a,4,3,2,1线性相关，且1，则a(4) (5从数1234X，再从,X中任取一个数，记为YPY2 (6)设二维随机变量的概率分布为X若随机事件X0与1 ，b Y二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上(7)a取下列哪个值时，函数fx2x39x212xa恰有两个不同的零点cosx2y2dIcosx2y22d(8)设I x2y2d,123DDDDx,y21，I2I2I1I1（A）（D）0,n1,(9), a发散annn 010a1b（A）a2n1（B）a2n（C）a2n1a2n（D）a2n（A）a2n1（B）a2n（C）a2n1a2n（D）a2n1a2n(10)fxxsinxcosx（A） 是极大值，f2 （B） 是极小值，f2 （C） 是极大值，f2 f（D） 是极小值，2 (11)（A）若fx在x在x在x在f内连续，则（B）若x在ff内连续，则（C）若fx在内有界，则x在fx在（D）若内有界，则Aaij A*ATA*A的伴随矩阵，ATA的转置矩阵(12设矩a11,a12a13为三个相等的正数，则a1113（A）3（D）设1,的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1是矩阵(13， 线性无关的充分必要条件是（A）（B）2（C）（D）2(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内三、解答题：本题共9小题94.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题8分）1x1求 x1（16）（本题8三、解答题：本题共9小题94.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题8分）1x1求 x1（16）（本题8分）2222yxu具有二阶连续导数，且gx,yyf x. x y（17）（本题9分）Dx,y0x1,0y1x2y21dD（18）（本题9分） x2nn1在区间1,1S1（19）（本题8分）fx,gx在0,1上的导数连续，且f00,fx0gx0.证明对任0,1a1 fxgxdxfaggx xdx0（20）（本题13分）x12x2bxcx2x3x5x 和x2c1x3 2xax （21）（本题13分）CADB设CT矩阵Pm（Ⅱ）利用（Ⅰ）BCTA1C是否为正定矩阵，并证明你的结论（22）（本题满分13分）Pm（Ⅱ）利用（Ⅰ）BCTA1C是否为正定矩阵，并证明你的结论（22）（本题满分13分）的概率密度为X0x1,0yfx,yX,Y的边缘概率密度 y求（Ⅱ）Z2XY的概率密 z112（Ⅲ）PYX 2（23）（本题满分13分）Xnn2N0,X1,X2设，2记YiXiX,i1, ,n ,nY1,Yn（Ⅱ）求Y1与（Ⅲ）若c2是Y2求常数c1n2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、空题：本题共6小题，每小题4分，满分24请将答案写在答题纸指定位置sincosxb5，则 ，b (1若xax0(2fu,vfxgy,yxgy2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、空题：本题共6小题，每小题4分，满分24请将答案写在答题纸指定位置sincosxb5，则 ，b (1若xax0(2fu,vfxgy,yxgygy2gy0.1x1 222fx1dx (3)fx则11x 2(4)fx22的秩 xxx, 设随机变量X服从参的指数分布，则设总体X服从正态分布N12DX N2,2服从正态分布Xn和Y1,Y21,Yn2X1,X2和Y2XX YY2ijE j n1n2二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上fx(7xx1x21,（C）1,f1xxx(8)设fx在内有定义，且fxgx ，则xgx的第一类间断点gxgx的第二类间断点（A）x0必（B）x0必gx在（C）x0必x0的有关xgx的第一类间断点gxgx的第二类间断点（A）x0必（B）x0必gx在（C）x0必x0的有关xx1(9，x的极值点，但0,0xx（A）x0yf（B）x0不是fx的极值点，但0,0是曲yf（C）x0fx的极值点，且0,0是曲xyfx的极值点，0,0也不是曲线x（D）x0不是y(10若u2n1u2n收敛，则①②若收敛，则③若limun11， u发nun若unvn收敛，则anvn④fx在fa0,fb0，则下列结论中错误的是(11)上连续，且x0a,b，使得fx0fa,b，使得a,b使得a,b，使得x0 （B）至少存在一点fffx0（C）至少存在一点x0（D）至少存在一点f(12nABAaa0Aaa0BB（A）0AABB（D）(13)设n阶矩阵A的伴随矩 Aaa0Aaa0BB（A）0AABB（D）(13)设n阶矩阵A的伴随矩 0，若,,,是非齐次线性方程组Axb Ax0（A）不存在（D）含有三个线性无关的解向量0,1un满足服从正态分布X，(14)设随机变量xPXu，（A）2Px，22三、解答题：本题共9小题94.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题8分） cos2x求22x0 （16）（本题8分）x2y2ydDx24和x12y21D（17）（本题8分）x,gx在上连续，且满足xxftdt gtx，，aabbgtftdtabbxgxdxaxfxdxa（18）（本题满分9分xxftdt gtx，，aabbgtftdtabbxgxdxaxfxdxa（18）（本题满分9分）P0,20Q为需求量设某商品的需求函数为Q1005PEdEd0（Ⅰ） （19）（本题9分）x设级 .求2 24 246（Ⅰ）所满足的一阶微分方程；S的表达式（20）（本题满分13分）设11,2,0T 1,a2,3a2 1,b2,aT31,3,3T，不能由1,2（Ⅰ）线性表示；可由（Ⅱ）并求出表示式；可由（Ⅲ）线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（21）（本题13分）b1Ab（Ⅰ）A（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P1AP为对角矩阵（22）（本题13分）A1,PABPA1,P12设A（22）（本题13分）A1,PABPA1,P12设A,，令43BB不发生XY求：（Ⅰ）二维随机变量的概率分布；XXY（Ⅱ）X与Y（Ⅲ）ZX2Y2的概率分布（23）（本题13分）X xxFx;,1x 其中参数01.X1,X2XnX的简单随机样本（Ⅲ）2时，求未知参数的最大似然估计量2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析xy（1））ff(x)(ex1)(e2x2)…（enx-（2）1) n (n （数学三试题解析xy（1））ff(x)(ex1)(e2x2)…（enx-（2）1) n (n （D）(1)n22f(r2f20（3）） 2y2f(x2y2022f(x2y20242xy2f(x2y2201 2x242 f(x2y201 2x2nsinn）（2312 3（C）1<（D）2<00110 1, 1234c1c2（5）设其中00110 1, 1234c1c2（5）设其中）1（6）A3阶矩阵，P3P-1AP2P=（，，Q=（+，，）Q1） 则11212122（7）设随机变量与Y相互独立，且都服从区间（0，1）（）4141X，X，X（8）1 X1X+X4-2|的分布）2tF（0，1）二、填空题：9~14424分，请将答案写在答题纸指定位置上1lim(tanx)cosxsinx4x,x,yff(x)),f(x)1lim(tanx)cosxsinx4x,x,yff(x)),f(x)（10） limf(x,y)2xy2(yzf(x,满足则 yxyy4x及在第一象限中所围图形的面积为（12） （13）A3阶矩阵，|A|=3，A*A的伴随矩阵，若交换A P(AB)1,P(C)123（14）A,B,C是随机事件，A,C互不相容，C）= 则（15）（10分2e22cos（16）（10分xy（16）（10分xyexD（17）（10分）10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)y(件)x20+2（万元/件）6+y（万元/件求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y（万元50求总产量为（18）（10分1x2cosx（18）（10分1x2cosx,1xx1f(x满足方程f(x)f(x)2f(x)f(x)f(x)及f1）xyf(x f(t2202）10分0a1000a1010分0a1000a1010，bAa001 设（I）求Axb的通解(21)（本题满分10分1010a1aAf(x,x,x)x()x1010a1aAf(x,x,x)x()x x=Qyf化为标准型（22）（10分X,YXY求0124P71301Y012P131313X012P121316（2）cov(XY,（2）cov(XY,Y)与XY（23）（10分设随机变量X和Y1Vmin(X,Y),U=max(X,Y（2）E(UV)2004-2011年试题答案解析可考研教育网2012年研究生入学考试数学三真题解析（word）2012年研究生入学考试数学三真题解析（word）limy1,得ylimy得x由limy1,得x2f(x)ex(e2x2)(ex1)(ex1)(e2xf(0)1(1) (1n)f(x)ex(e2x2)(ex1)(ex1)(e2xf(0)1(1) (1n)(1)n1(n选2f(x2y202原式nsin1~ ,nsinnnn211即322021132 c41成比例, 4，1与4134 线性相关0011,31或1,3,4线性相关，C00 0001000 0Q1AQ000011,31或1,3,4线性相关，C00 0001000 0Q1AQ00QPP1AP1001000101100011210020000100100100 1 00x,y(y) x，y)f(x)xy 1f(xy)dD P{X2Y DXX ~N(0,22)~N12X2~NX 2~N(0,22)342X1XX21~XX1X~X3X4即2tan 2X1XX21~XX1X~X3X4即2tan cosxsinx 1sinxcos4coscosxsine2=.4dyf[f(x)]ff(1)fx1时，f(xf(1)f(0)2.于x2dx(y1)2f(x,y)2xy20(),f(0,1)则f(x,y)12x(y1)f(0,1)2,f(0,1)2dxxy解析：4142S (4xx)dxx 1132 4ln2 f(0,1)2,f(0,1)2dxxy解析：4142S (4xx)dxx 1132 4ln2 4ln22|B||A||BA*||B||A*|3|A|2341P(C)P(AB|C)P(ABC)ACABC，.1P(AB|C)P(AB)4123.2ex22coslim22cos4x22cos2(xsin1lim1cosx.2exD1101211111x)e x2xe2 00e11(x2 11lim1cosx.2exD1101211111x)e x2xe2 00e11(x2 1e1e22x 22.xC(x,y)20xC(x,则C(x,y)20x (4xCy(x,y)(y)6y(y)6y1y2，2y12C(x,y)20x 6y4cC(0,0)10000,c12C(x,y)20x 6y42）xy50y50x(2x50)C(x)20x 6(50x) (50x)21423=36xC(x)3x360,得x24y26,C(24,26)3）50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx(24,26323=36xC(x)3x360,得x24y26,C(24,26)3）50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx(24,263211(x)xcosx .(0)2(x)ln1xsinx1 12ln1x1xsin1 1ln110x0x1时,1，又sinxx1’(x)ln1x01x1x1x0，1,又sinxx.x0为(x在（-1，1）内最小点，而(x)1xcosxx12202,12f(x)f(x)2f(x)0f(x)C1e2xC2exf(x)f(x)2ex得C10,C2f(x)x22yx 0x22 dtxy0xxx22222f(x)f(x)2ex得C10,C2f(x)x22yx 0x22 dtxy0xxx22222x dt4x2x dt2(12x dt2y000y0得xy x y, 时x0时xy