第02讲解一元一次不等式（知识解读达标检测）

第02讲解一元一次不等式【题型1一元一次不等式的定义】【题型2解一元一次不等式】【题型3一元一次不等式的整数解】【题型4一元一次不等式的应用】考点1：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1【题型1一元一次不等式的定义】【典例1】（2023春•未央区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（）①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意；③不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意；④2x+y＜5+y化简后满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意．⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意；⑥x不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意．故选：B．【变式11】（2023春•巴中期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A． B．x2≥4 C．2x+y＜﹣3 D．【答案】D【解答】解：A．不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；C．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；D．不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；故选：D．【变式12】（2023春•东平县期末）下列式子是一元一次不等式的是（）A． B． C．2x﹣y＞4 D．x2﹣1＞0【答案】B【解答】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．故选：B．【变式13】（2023春•万秀区校级期中）若不等式（m+1）xm2＞3是一元一次不等式，则m的值为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【答案】B【解答】解：由题意可知m+1≠0且m2＝1．解m+1≠0得，m≠﹣1；解m2＝1得，m＝±1，故m的值为1．故选：B．考点2：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。（4）合并同类项。（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【题型2解一元一次不等式】【典例2】（2023春•集美区校级期中）解下列不等式并把解集表示在数轴上．（1）4x﹣1＞x+8；（2）．【答案】（1）x＞3，数轴见解析；（2）x＜﹣9，数轴见解析．【解答】解：（1）4x﹣1＞x+8，4x﹣x＞1+8，3x＞9，x＞3，∴解集在数轴上表示为：（2），2x﹣3（x+1）＞6，2x﹣3x﹣3＞6，﹣x＞9，x＜﹣9，∴解集在数轴上表示为：【变式21】（2023秋•沙坪坝区校级期中）解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：（1）﹣x﹣1≤3x﹣5；（2）．【答案】（1）x≥1，数轴表示见解答；（2）x＜﹣，数轴表示见解．【解答】解：（1）﹣x﹣1≤3x﹣5，﹣x﹣3x≤﹣5+1，﹣4x≤﹣4，x≥1，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：（2），5（3+2x）﹣10＜2（1+2x），15+10x﹣10＜2+4x，10x﹣4x＜2+10﹣15，6x＜﹣3，x＜﹣，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：【变式22】（2023春•怀柔区期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】x＜﹣1，数轴见解析．【解答】解：，去分母：2（2x+5）＜x+1+6，去括号：4x+10＜x+1+6，移项：4x﹣x＜1+6﹣10，合并同类项：3x＜﹣3，化系数为1：x＜﹣1，不等式的解集在数轴上表示如图所示：【变式23】（2023秋•肇源县期中）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：（1）4x﹣2＞3（x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＞﹣1，数轴见解析；（2）x≤﹣1，数轴见解析．【解答】解：（1）去括号得，4x﹣2＞3x﹣3，移项得，4x﹣3x＞2﹣3，合并同类项得，x＞﹣1，在数轴上表示为：（2）去分母得，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，去括号得，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，移项得，4x﹣15x≥6+2+3，合并同类项得，﹣11x≥11，x的系数化为1得，x≤﹣1．在数轴上表示为：【题型3一元一次不等式的整数解】【典例3】（2023•永寿县二模）求不等式的正整数解．【答案】1，2．【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（x+4）﹣12，去括号得：3x﹣6≤2x+8﹣12，移项合并得：x≤2，则不等式的正整数解为1，2．【变式31】（2023•秦都区校级二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．【答案】x≥﹣2，该不等式的最小整数解是﹣2．【解答】解：，去分母，得：9x+8﹣2x≥﹣6，移项及合并同类项，得：7x≥﹣14，系数化为1，得：x≥﹣2，∴该不等式的最小整数解是﹣2．【变式32】（2023春•峡江县期末）解一元一次不等式，并请写出该不等式的非正整数解．【答案】x≥﹣1，不等式的非正整数解为﹣1、0．【解答】解：∵，∴2（2x﹣1）﹣6≤3（5x+1），4x﹣2﹣6≤15x+3，4x﹣15x≤3+2+6，﹣11x≤11，∴x≥﹣1，则不等式的非正整数解为﹣1、0．【变式33】（2023•灞桥区校级模拟）解不等式≥3（x﹣1）﹣4，并指出该不等式的非负整数解．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x+1≥6（x﹣1）﹣8，去括号得：x+1≥6x﹣6﹣8，移项合并得：﹣5x≥﹣15，x系数化为1得：x≤3；则不等式的非负整数解为0，1，2，3．考点3：一元一次不等式的应用解有关应用题步骤如下：（1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出不等关系；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列不等式的解集；（6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。【题型4一元一次不等式的应用】【典例4】（2022秋•松北区校级期末）哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．（1）求每副围棋和每副象棋各多少元？（2）学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋？【答案】（1）每副围棋16元，每副象棋10元；（2）哈美佳外校最多可以购买25副围棋．【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副象棋y元，根据题意得，，解得：，答：每副围棋16元，每副象棋10元；（2）设哈美佳外校购买z副围棋，则购买（40﹣z）副象棋，依题意得，16z+10（40﹣z）≤550，解得：z≤25，∵z为正整数，∴z＝25，答：哈美佳外校最多可以购买25副围棋．【变式41】（2023春•南丹县期末）某学校开展了一次防疫知识竞赛，为了奖励表现突出的同学，计划购买甲、乙两种奖品．调查发现，若购买甲种奖品3件，乙种奖品2件，共需费用190元；若购买甲种奖品4件，乙种奖品3件，共需费用270元．（1）甲、乙两种奖品每件的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种奖品共60件，要使总费用不超过2700元，学校最少购买几件甲种奖品？【答案】（1）甲、乙两种奖品每件的价格分别为30元和50元；（2）学校最少购买15件甲种奖品．【解答】解：（1）设甲、乙两种奖品每件的价格分别为x元，y元，由题意得，解得，答：甲、乙两种奖品每件的价格分别为30元和50元；（2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品（60﹣a）件，由题意得30a+50（60﹣a）≤2700，解得：a≥15，∴学校最少购买15件甲种奖品．【变式42】（2023春•明山区校级月考）我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼．7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题：（1）求跳绳和毽子的单价是多少元？（2）若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？【答案】（1）跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；（2）7.9班的跳绳最多买20条．【解答】解：（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；（2）设7.9班购买m条跳绳，则购买（50﹣m）个毽子，根据题意得：19m+7（50﹣m）≤600，解得：m≤，又∵m为正整数，∴m的最大值为20．答：7.9班的跳绳最多买20条．一．选择题（共10小题）1．（2023•喀什地区二模）不等式x+1≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：解不等式x+1≤0得x≤﹣1，在数轴上表示为：．故选：A．2．（2023春•中山区期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由题意得，（x+3）＜0．故选：C．3．（2023春•五莲县期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（）A．100m B．120m C．180m D．144m【答案】B【解答】解：设小明到A站之间的距离为xm，小明的速度为vm/s（v＞0），则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5vm/s，根据题意得：≤，即5x≤720﹣x，解得：x≤120，∴小明到A站之间的距离最大为120m．故选：B．4．（2023春•侯马市期末）若关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【答案】B【解答】解：x+k＝2x﹣1，整理得：x＝k+1，∵关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1．故选：B．5．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（）A．200+4x＜500 B．200+4x≤500 C．200+4x＞500 D．200+4x≥500【答案】A【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，根据题意得到：200+4x＜500．故选：A．6．（2023春•濮阳期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】B【解答】解：＞1﹣，去分母，得x＞6﹣2x+4，（故步骤甲错误）．移项、合并同类项，得x+2x＞6+4（故步骤乙错误）．合并同类项，得3x＞10．化系数为1，得x＞．故选：B．7．（2023春•子洲县校级期末）不等式的负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4），去括号得：2x﹣18+6＜9x+12，移项合并同类项得：﹣7x＜24，不等式两边同除以﹣7得：，∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个，故C正确．故选：C．8．（2023春•芝罘区期末）某种商品的进价为200元，商场的标价是300元，后来由于商品积压，商场准备打折销售，为了保证利润率不低于5%，则该商品最多打几折（）A．9折 B．8折 C．7折 D．6折【答案】C【解答】解：设该商品打x折，由题意得：300×0.1x﹣200≥200×5%，解得：x≥7，∴该商品最多可打7折．故选：C．9．（2023春•渠县校级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）A．5x+2（20﹣x）≥75 B．5x+2（20﹣x）＞75 C．5x﹣2（20﹣x）＞75 D．5x﹣2（20﹣x）≥75【答案】C【解答】解：设小锋答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题，由题意得：5x﹣2×（20﹣x）＞75，故选：C．10．（2023春•巴彦淖尔期末）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3【答案】A【解答】解：由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，解得x＞1．故选：A．二．填空题（共5小题）11．（2022秋•港北区校级期末）不等式5x﹣2≤3x+1的非负整数解为0，1．【答案】0，1．【解答】解：5x﹣2≤3x+1，5x﹣3x≤1+2，2x≤3，x≤，∴该不等式的非负整数解为：0，1，故答案为：0，1．12．（2023春•辽阳期中）一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或A不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格（注：60分及以上成绩为及格），那么小辛至少要做对15道题．【答案】见试题解答内容【解答】解：设小辛要做对x道题，依题意有5x﹣3（20﹣x）≥60，解得：x≥15．故小辛至少要做对15道题．故答案为：15．13．（2023秋•鄞州区期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是a＜1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，∴a﹣1＜0，解得a＜1．故答案为：a＜1．14．（2023春•鼓楼区校级期末）不等式﹣2x＜4的解集是x＞﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：两边同时除以﹣2，得：x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2．15．（2023春•宜都市期末）一罐饮料净重约为300g（不算罐子自身），罐上注有“蛋白质含量≥0.6%”，其中蛋白质的含量至少为1.8克．【答案】见试题解答内容【解答】解：设蛋白质的含量至少应为x克，依题意得：≥0.6%解得x≥1.8．三．解答题（共4小题）16．（2022春•中山市期末）解不等式：﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得，3（x+5）﹣2（2x+3）≥12，去括号得，3x+15﹣4x﹣6≥12，移项得，3x﹣4x≥12﹣15+6，合并得，﹣x≥3，系数化1得，x≤﹣3；不等式的解集在数轴上表示如下：17．（2023春•清江浦区期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是160元/台，B型号家用净水器进价是240元/台，购进两种型号的家用净水器共用去33600元．（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于10400元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润＝售价﹣进价）【答案】（1）A种型号家用净水器购进了60台，B种型号家用净水器购进了100台．（2）200元．【解答】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，由题意得，解得．答：A种型号家用净水器购进了60台，B种型号家用净水器购进了100台．（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，由题意得60a+100×2a≥10400，解得a≥40，160+40＝200（元）．答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．18．（2023•石家庄模拟）为了庆祝中