矩阵的标准型

关于矩阵的标准型§2.1矩阵的Jordan标准型一.Cayley-Hamilton定理

第二章矩阵的Jordan标准型凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第2页,共59页，2024年2月25日，星期天

矩阵的多项式表示定义：

已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。化零多项式第3页,共59页，2024年2月25日，星期天

定理2.1.c(

)=|E–An

n|

则c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–An

n|=

a11

a12…a1n

a21

a22…

a2n…………

an1

an2…

ann=

n+an1

n1+…+a1

+a0

=

ntr(A)

n1+…+(1)n|A|.

第4页,共59页，2024年2月25日，星期天

c(

)=

n

+an1

n1+…+a1

+a0

c(A)=An

+an1An1+…+a1A+a0E

c(A)=O

An

+an1An1+…+a1A=a0E

=A(An1

+an1An2+…+a1E)当A可逆时,a0=(1)n|A|0,

于是A1=

1a0

(An1

+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…第5页,共59页，2024年2月25日，星期天则c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能保证是线性相关的。但是对于矩阵序列I,A,A2,A3…，按顺序取到第n+1个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。则An=-an-1An-1-…-a0E第6页,共59页，2024年2月25日，星期天

例1.已知A=122103112,求A100.解:c(

)=|E–A|=(

+1)2(

1).分别将

=1,1代入上式得100

99=(

100)1=a+b+c,设

100=c(

)g(

)+a2+b+c,1=a

b+c.=[c(

)g(

)+a2+b+c]=c(

)

g(

)+c(

)g(

)+2a+b

将

=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.第7页,共59页，2024年2月25日，星期天

=50A249E

故A100=c(A)g(A)+50A249E

=50即

100=c(

)g(

)+50

249,

308214205

49

0004900049=199

040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.第8页,共59页，2024年2月25日，星期天

A=011010112①c(

)=|E–A|=(

1)3满足c(A)=O

②f(

)=(

1)2=

22

+1满足f(A)=O.c(

)的次数为3f(

)的次数为2③

不存在更低次数的多项式g(

)使得g(A)=O.

A的化零多项式次数最低,首项系数为1

例2.第9页,共59页，2024年2月25日，星期天

二.最小多项式

1.定义:A的次数最低的最高次项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式.2.性质:(1)A的最小多项式|A的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的,记为mA(

)或简记为m(

).(3)则m(

0)=0

c(

0)=0.(4)A~B

mA(

)=mB(

).

但反之未必!第10页,共59页，2024年2月25日，星期天

11000100001000021100010000200002例如:与的最小多项式都是(

1)2(

2),但是它们的特征多项式分别为因而这两个矩阵不相似.(

1)3(

2)和(

1)2(

2)2,第11页,共59页，2024年2月25日，星期天定理第12页,共59页，2024年2月25日，星期天第13页,共59页，2024年2月25日，星期天第14页,共59页，2024年2月25日，星期天第15页,共59页，2024年2月25日，星期天定理第16页,共59页，2024年2月25日，星期天第17页,共59页，2024年2月25日，星期天第18页,共59页，2024年2月25日，星期天例第19页,共59页，2024年2月25日，星期天第20页,共59页，2024年2月25日，星期天第21页,共59页，2024年2月25日，星期天第22页,共59页，2024年2月25日，星期天

推论.设A,B分别为s

n矩阵和n

t矩阵,则r(AB)

r(A)+r(B)

n.引理.设A1,A2,…,As都是n阶方阵,且A1A2

As=O,

…则

r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2

As)

r(A1)+r(A2

As)

n

………

r(A1)+r(A2)+r(A3

As)2n

…

r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多项式与对角化的关系

第23页,共59页，2024年2月25日，星期天

定理3.A相似于对角矩阵

mA(

)没有重根.②对角阵的最小多项式没有重根.因而

r(

iE

A)(s1)n,i=1s证明:(

)①相似的矩阵的最小多项式相同;(

)设mA(

)=(

1)(

2)…(

s),则(

1E

A)(

2E

A)…(

sE

A)=O,故

[nr(

iE

A)]n.i=1s第24页,共59页，2024年2月25日，星期天第25页,共59页，2024年2月25日，星期天第26页,共59页，2024年2月25日，星期天定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

有个线性无关的特征向量。综合第27页,共59页，2024年2月25日，星期天

例3.若n阶方阵A满足A2

3A+2E=O,r(A

E)=r,则行列式|A+3E|=____.解:A2

3A+2E=O

(A

E)(A2E)=O

存在可逆矩阵P使得P1AP=

|A+3E|=|P1|

|A+3E|

|P|

En

r

O

O2Er

秩(A

E)=r

=|P1(A+3E)P|=|P1AP

+3E|=4En

r

O

O5Er

=4n

r5r.

第28页,共59页，2024年2月25日，星期天

例4.求解矩阵方程X2

5X+6E=O,n阶方阵X令r(A3E)=r,解:f(x)=x2

5x+6=(x

3)(x2)为X的零化多项式

存在可逆矩阵P使得P1XP=2ErO

O

3En

r由

X2

5X+6E=O

(A2E)(A3E)=O

f(x)=(x

3)(x2)无重因式，故为最小多项式m(x)矩阵X的特征值为3和2，且X可以相似对角化2ErO

O

3En

r

X=P

P1

第29页,共59页，2024年2月25日，星期天

例5.设m阶方阵J0为证明:J0特征多项式为

c(

)=(-a)m

a

a

a

…11a

…m

m

…O

Em-1O

O证明:J0必不可以对角化。J0-aE

==NNk

不等于O，

Nm=O

第30页,共59页，2024年2月25日，星期天

四.Jordan标准形

0

0

0

…11

0

…m

m

…m阶Jordan块:例如:(0)

010

0

0100

0100

0

注:

010

0

011001101

001

0

=一阶Jordan块是一阶矩阵

第31页,共59页，2024年2月25日，星期天

J1

J2

Js

…Jordan形矩阵:若当块例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩阵.第32页,共59页，2024年2月25日，星期天Jordan标准型定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且第33页,共59页，2024年2月25日，星期天

若A与Jordan形矩阵J相似,则称J为A的Jordan当标准形.注:J1

O

O

J2

O

E

E

O

O

E

E

O

1J2

O

O

J1

=推论.两个复方阵相似它们具有相同的

Jordan标准形.推论.两个复方阵相似，特征值、秩？第34页,共59页，2024年2月25日，星期天Jordan矩阵的结构与几个结论:Jordan块的个数k是线性无关特征向量的个数;矩阵可对角化,当且仅当s=n;(3)相应于一个已知特征值

的Jordan块的个数是该特征值的几何重数

,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数

.特征值的几何重数<代数重数(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。第35页,共59页，2024年2月25日，星期天第36页,共59页，2024年2月25日，星期天推论：则下列命题等价：(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。第37页,共59页，2024年2月25日，星期天推论：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

有个线性无关的特征向量。综合：第38页,共59页，2024年2月25日，星期天

1,

2,…,

s

A

11,…,

1q

,1线性无关

11,…,

1q

,

21,…,

2q

,

…,

s1,…,

sq

线性无关12

s

2

线性无关

21,…,

2q

,

…,

s

线性无关

s1,…,

sq

相似矩阵P的求法第39页,共59页，2024年2月25日，星期天定理5：

l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，且(1)则必存在可逆矩阵S，使得则下面是等价的第40页,共59页，2024年2月25日，星期天

则V上必然存在一个线性变换T，使得亦即中必然存在一组基(个)，使得T在这组基下的矩阵为第41页,共59页，2024年2月25日，星期天

1,

2,…,

s

A

11,…,

1q

,1线性无关

11,…,

1q

,

21,…,

2q

,

…,

s1,…,

sq

线性无关12

s

2

线性无关

21,…,

2q

,

…,

s

线性无关

s1,…,

sq

相似矩阵S的求法第42页,共59页，2024年2月25日，星期天五.Jordan标准型与最小多项式的关系设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，且则A的最小多项式为：第43页,共59页，2024年2月25日，星期天第44页,共59页，2024年2月25日，星期天六.Jordan标准型的确定Jordan标准型的两个关键要素：Jordan块的阶数与块数波尔曼定理:Jordan标准型唯一性原理第45页,共59页，2024年2月25日，星期天例P82例2.3.6,2.3.7第46页,共59页，2024年2月25日，星期天例已知矩阵A的特征多项式为求矩阵A的Jordan标准形第47页,共59页，2024年2月25日，星期天七、方阵A的Jordan标准形的求法求可逆矩阵S和Jordan矩阵JA，使AS=SJA分析方法：在定理5的基础上逆向分析矩阵JA

和S的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan块的确定按照波尔曼定理第48页,共59页，2024年2月25日，星期天Jordan链{

，y2，…，ynj}特征向量广义特征向量链条中的向量合起来构成可逆矩阵S，Jordan块构成JA可逆矩阵S不唯一，JA不考虑次序是唯一的第49页,共59页，2024年2月25日，星期天例6p772.3.3第50页,共59页，2024年2月25日，星期天第51页,共59页，2024年2月25日，星期天第52页,共59页，2024年2月25日，星期天第53页,共59页，2024年2月25日，星期天例9证明：若A的所有特征值是l1,…,ln，则Am的所有特征值是l1m,…,lnm。第54页,共59页，2024年2月25日，星期天第55页,共59页，2024年2月25日，星期天

例10.设A=.1

a

a0

a1+a

b

001(1)求A的特征值和所有可能的Jordan标准形.解:|

E

A|=(

1)3.由此可得A的特征值为

1=

2=

3=1.因此A的所有可能的Jordan标准形如下:100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.第56页,共59页，2024年2月25