专题03 平行线的判定与性质的综合运用（解析版）

人教版七年级数学下册《第五章相交线》复习专题训练专题训练三：平行线的判定与性质的综合运用知识回顾★★平行公理的推论知识回顾★★平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．★★平行线的判定方法：（1）定义：在同一平面内不相交的两条直线互相平行．（2）定理1：同位角相等，两直线平行．（3）定理2：内错角相等，两直线平行．（4）定理3：同旁内角互补，两直线平行．（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．★★平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等．定理2：两直线平行，内错角相等．定理3：两直线平行，同旁内角互补．类型类型一：平行线的判定◎【典例一】◎（2021秋•丹东期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【考点】平行线的判定；【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）；②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）；③∠1＝∠4无法判断两直线平行；④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）．故选：A．■【变式1】如图，直线AB、CD交直线MN于点E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由．【考点】平行线的判定；对顶角、邻补角；垂线．【分析】要说明AB∥CD，根据“同位角相等，两直线平行”，只要证明∠CFN＝∠AEF即可．【解答】解：结论：AB∥CD．理由：∵HG⊥MN，∴∠HGE＝90°，∵∠AEF＝∠HGE+∠EHG＝90°+27°＝117°，∠CFN＝117°，∴∠CFN＝∠AEF，∴AB∥CD．■【变式2】如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．【考点】平行线的判定；【分析】由EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，可得∠1=∠BAG，∠2=∠AGC，然后由已知和邻补角的性质得出∠BAG=∠AGC，从而得到∠1=∠2，最后根据“内错角相等，两直线平行”即可说明AE∥GF．【解答】解：∵∠BAG+∠AGD=180°（已知），∴∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），∴∠BAG=∠AGC（同角的补角相等），∵EA平分∠BAG，∴∠1=∠BAG（角平分线的性质），∵FG平分∠AGC，∴∠2=∠AGC，∴∠1=∠2（等量代换），∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）.●●方法归纳●以上题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．类型二：平行线的性质类型二：平行线的性质◎【典例二】◎如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝60°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．【考点】平行线的性质；【分析】由平行线的性质可求得∠BCF和∠DCF的值，可求得∠BCD．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠BCF＝∠ABC＝60°，∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝180°﹣∠CDE＝180°﹣140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝60°﹣40°＝20°．■【变式3】【答案】130°．【考点】平行线的性质；【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线的性质先求出∠ECD的度数，再求出∠BCD的度数，最后利用平行线的性质求出∠ABC的度数．【解答】解：∵CD∥EF，∴∠ECD+∠CEF＝180°，∵∠CEF＝105°，∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣105°＝75°，∵∠BCE＝55°，∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝130°，故选：C．■【变式4】如图，AD∥BE，∠ACB=90°，∠ABC=∠CBE．求证：∠BAC=∠CAD．【考点】平行线的性质．平行线的性质【分析】在△ABC中，由∠ACB为直角，得到∠ABC+∠BAC=90°，根据AD与BE平行，得到同旁内角互补，等量代换即可得证．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠CAD+∠CBE=90°，∵∠ABC=∠CBE，∴∠BAC=∠CAD．●方法归纳●方法归纳●平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关类型三：平行线的判定与性质的综合运用类型三：平行线的判定与性质的综合运用◎【典例三】◎（2021春•柳南区校级期中）已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB．（1）求证：CE∥DF；（2）若∠DCE＝126°，求∠DEF的度数．【考点】平行线的判定与性质；【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；（2）由平行线的性质，可得∠CDF＝54°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE＝∠CDF＝27°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；（2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝126°，∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣126°＝54°，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠CDF＝27°，∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝27°．■【变式5】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，已知∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝140°，则∠4的度数等于（）A．40° B．36° C．44° D．100°【考点】平行线的判定与性质；【分析】根据∠1＝40°，∠2＝40°，可得PQ∥MN，从而∠3+∠4＝180°，即可得∠4＝40°．【解答】解：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴PQ∥MN，∴∠3+∠4＝180°，∵∠3＝140°，∴∠4＝40°，故选：A．■【变式6】请把下面证明过程补充完整如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（），∴AD∥EG（），∴∠1＝∠2（），＝∠3（），又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（），∴AD平分∠BAC（）【考点】平行线的判定与性质；【分析】根据垂直的定义得出∠ADC＝∠EGC＝90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）故答案为：已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．●方法归纳●方法归纳●平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.复复习专题突破练基础练基础练1、（2021秋•邓州市期末）直线a、b、c在同一平面内，下面的四个结论：①如果a∥b，a∥c，那么b∥c；②如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；③如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定与性质；平行公理及推论；【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．【解答】解：①若a∥b，a∥c，则b∥c，说法正确，②若a⊥b，b⊥c，则a∥c，说法正确，③若a∥b，b⊥c，则a⊥c，说法正确，④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交，说法错误，∴正确的由3个，故选：C．2、（2021秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（）A．∠B＝∠ADE B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠ACB+∠DEC＝180°【考点】平行线的判定；【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．故选：C．3、（2022春•海淀区校级月考）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝50°，则∠2的大小是（）A．40° B．50° C．70° D．80°【考点】平行线的性质；【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图：由题意得，∠3＝60°，∵∠1＝50°，∴∠4＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠4＝70°，故选：C．4、（2021秋•太康县期末）如图所示，下列判断①若∠1＝∠3，AD∥BC，则BD是∠ABC的平分线；②若AD∥BC，则∠1＝∠2＝∠3；③若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC；④若∠2＝∠3，则AD∥BC，正确的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定与性质；【分析】根据平行线的判定定理及平行线的性质定理，逐个选项分析即可．【解答】解：确；②若AD∥BC，则∠2＝∠3，并不能推出∠1与∠2和∠3的关系，故②错误；③由“同旁内角互补，两直线平行”可知：若∠3+∠4+∠C＝180°，则AD∥BC，故③正确；④由“内错角相等，两直线平行”可知，若∠2＝∠3，则AD∥BC，故④正确；综上，正确的个数是3，故选：C．5、如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=62°，则∠AEG=°．【答案】56．【考点】平行线的性质．【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠1=62°，∵沿EF折叠D到D′，∴∠FEG=∠DEF=62°，∴∠AEG=180°﹣62°﹣62°=56°.故答案为：56．6、如图，已知直线MN与直线AB和CD分别交于点E、F，且∠1＝∠2，G、H分别是EB和FC上两点，连接EH，FG．（1）试说明：AB∥CD；（2）如果∠3＝∠4，∠2＝∠5＝50°，求∠CHE的度数．【考点】平行线的判定与性质；【分析】（1）只要证明∠1＝∠EFC即可．（2）证明EH∥FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠2＝∠EFC，∠1＝∠2，∴∠1＝∠EFC，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠AEH，∵∠3＝∠4，∴∠AEH＝∠4，∴EH∥FG，∴∠CHE＝∠CFG，∵∠2＝∠CFG，∠2＝∠5＝50°，∴∠CFG＝100°，∴∠CHE＝100°．7、如图，直线AB、CD分别与直线MN相交于E、F两点，∠BEM＝64°，∠CFE＝116°，∠BEF的平分线与直线CD相交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠DGE的度数．【考点】平行线的判定与性质；【分析】（1）由邻补角定义得∠GFE的度数，再根据同位角相等，两直线平行可得结论；（2）由平行线的性质得∠CFE的度数，然后根据角平分线定义得∠GEF的度数，最后根据三角形外角性质可得答案．【解答】（1）证明：∵∠CFE＝116°，∴∠GFE＝180°﹣∠CFE＝64°，∴∠BEM＝∠GFE＝64°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∠CFE＝116°，∴∠CFE＝∠BEF＝116°，∵∠BEF的平分线与直线CD相交于点G，∴∠GEF＝58°，∵∠GFE＝64°，∴∠DGE＝∠GEF+∠GFE＝58°+64°＝122°．提升练提升练8、如图，∠C+∠D=180°，∠DAE=3∠EBF，∠EBF=27°，点G是AB上的一点，若∠AGF=102°，∠BAF=34°，下列结论错误的是（）A．∠AFB=81°B．∠E=54°C．AD∥BCD．BE∥FG【答案】D．【考点】平行线的判定．【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答．【解答】解：∵∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；∴∠DAE=∠CFE，∵∠CFE=∠EBF+∠BEF，∠DAE=3∠EBF，∠EBF=27°，∴∠CFE=3∠EBF=81°，∠BEF=54°，故选项B正确，不符合题意；∴∠AFB=∠CFE=81°，故选项A正确，不符合题意；∵∠AGF=102°，∠BAF=34°，∴∠AFG=44°，∵∠E=54°，∴∠AFG≠∠E，∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；故选：D．9、（2021秋•沙坪坝区期末45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线的判定与性质；【分析】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意可得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求∠EFN＝150°；③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF＝75°；④利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断．【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，故①正确；②由题意得∠EFG＝30°，∴EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；③过点F作FH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正确；④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，∵∠MNP＝45°，∴∠AEG＝∠PNM，故④正确．综上所述，正确的有4个．故选：D．10、（2021春•饶平县校级期中）已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．【考点】平行线的判定；【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C＝∠AMN，又∠3＝∠C，于是∠3＝∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴EF∥DM，∴∠2＝∠CDM，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDM，∴MN∥CD，∴∠C＝∠AMN，∵∠3＝∠C，∴∠3＝∠AMN，∴AB∥MN．11、如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠1＝∠F．CE与DF有怎样的位置关系？试说明理由．【考点】平行线的判定与性质；【分析】先根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠BCE＝ACB，加上∠ABC＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BCE，由∠1＝∠F，所以∠BCE＝∠F，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EC∥DF．【解答】解：EC∥DF．理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCE＝ACB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠BCE，∵∠1＝∠F，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥DF．12、已知∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠A的度数为．【答案】30°或110°．【考点】平行线的性质．【分析】由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，又由∠A比∠B的两倍少30°，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵∠A和∠B的两边分别平行，∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°，∵∠A比∠B的两倍少30°，即∠A=2∠B-30°，∴∠B=30°或∠B=70°，可得：∠A=30°或∠A=110°故答案为：30°或110°．13、如图，已知直线EF∥GH，AC⊥BC，BC平分∠DCH．（1）求证：∠ACD=∠DAC；（2）若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．【考点】平行线的性质；垂线．平行线的性质【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BCD=∠BCH，再由AC⊥BC得∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，从而可得∠ACD=∠ACG，再由平行线的性质可得∠ACG=∠DAC，即可得证；（2）由（1）可知：∠ACG+∠BCH=90°，则结合∠ACG=2∠BCH﹣3°，从而可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠DCH，∴∠BCD=∠BCH，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，∴∠ACD=∠ACG，∵EF∥GH，∴∠ACG=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC；（2）解：由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，∴∠ACG=2∠BCH﹣3°，∴2∠BCH﹣3°+∠BCH=90°，解得：∠BCH=31°，∴∠ACG=59°，∴∠DAC=∠ACG=59°．14、一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD=时，CD∥AB．【答案】150°或30°．【考点】平行线的判定．【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；故答案为：150°或30°．培优练培优练15、（2022春•泰兴市校级月考）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【考点】平行线的性质；垂线；【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵AB∥CD，∠ABO＝a°，∴∠ABO＝∠BOD＝a°，∵OE平分∠BOC，