微积分（第三版）课件：常微分方程

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分常微分方程第一节常微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶微分方程第四节二阶常系数微分方程常微分方程第一节微分方程的基本概念一、基本概念引例二、微分方程的基本概念常微分方程

导言：为了解决实际问题，经常需要确定反映客观事物内部间联系的函数关系.寻找函数关系的一种常用方法是建立所求函数的导数所满足的关系式这种关系式就是所谓的微分方程.

本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常用微分方程的经典解法和微分方程的应用.第一节微分方程的基本概念一、基本概念引例

例

一曲线过点(1,2),曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.解①③②由条件代入（3）式，得④由条件得①②③④解法概念命名微分方程初始条件方程通解方程特解解即①②③对①式两端积分，得将代入③④，得④⑤

例2

设质量为m的物体,以初速度从地面垂直上抛，若物体只受重力作用，试求物体的运动规律.实例2中的对应概念①②③④实例2概念名称二阶微分方程初始条件方程通解方程特解二、微分方程的基本概念

定义含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.

2.微分方程的解、通解与特解

定义代入方程能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.相应的，不包含任意常数的解为微分方程特解.1.微分方程及微分方程的阶

常数的独立性：若在表达式中则称函数此时常数相互独立.3.微分方程的初值条件及其记法

用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的记法例解常微分方程第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第二节一阶微分方程一阶微分方程的基本形式为或一、可分离变量微分方程形如的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.

方程的主要特征：等式左端为一阶导数，等式右端变量x的函数与变量y的函数之积.可分离变量微分方程的解法（1）分离变量（2）等式两端积分（3）求解积分得通解上式等式左端积分表示对变量y积分,等式右端积分表示对变量x积分.例解例解将方程变形分离变量得例解二、齐次微分方程定义形如的方程称为齐次微分方程.

齐次微分方程的特点：微分方程的右端为齐次函数．（齐次函数是指：若这里t为任意实数，则称为齐次函数）．例如下列方程为齐次微分方程.齐次微分方程的解法对齐次微分方程作变量代换即两边求导得将其代入原方程，得可分离变量的微分方程积分得它的通解为求出积分后，将回代就得到原方程的通解.例求微分方程的通解．解作变量代换即则即分离变量取积分，得求不定积分，得即将回代，得到原方程的通解为例求微分方程的通解．解作变量代换即则即分离变量取积分，得求不定积分，得即将回代，得到原方程的通解为三、一阶线性微分方程形如一阶线性微分方程.

方程的主要特征：等式左端为的线性表达式，等式右端为变量x的函数.的一阶微分方程称为非齐次方程.为一阶线性线性齐次方程.为一阶一阶线性非齐次微分方程的求解步骤一：先求齐次方程的通解.（1）方程变形得（2）方程分离变量得（3）方程两端积分得（4）齐次方程的通解为（C为任意常数）步骤二：求非齐次方程的通解.设为待定.将其对x求导,得是非齐次方程的解其中C(x)将上式积分，得

上式即为线性非齐次微分方程的通解.也称为非齐次线性微分方程通解公式.所以，得非齐次方程的解

概括：这种通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.一阶线性非齐次微分方程的两种求解方法方法一：常数变易法（1）求齐次方程的通解.（2）将齐次方程通解中的常数变易为函数（3）变易后的函数代入非齐次方程中确定（4）函数代入（*）式得非齐次通解.（*）方法一：公式法（1）将给定方程变为标准方程形式（2）确定方程中的（3）将代入方程的通解公式中（4）积分得非齐次线性微分方程通解.例解法1（常数变易法）所以故得原线性非齐次微分方程的通解为解法2公式法将其代入公式通解公式，得通解例解代入通解公式，得通解将例将方程可改写为解对于未知函数x(y为自变量)来说，上式方程为一阶线性非齐次方程其通解公式为这里将其代入通解公式，得所求方程的通解为例解代入通解公式得将常微分方程第三节可降阶的微分方程一、y(n)=f(x)型的微分方程三、型微分方程一、型微分方程

方程特征：方程左侧为未知函数的n阶导数方程右侧为变量x的函数.

方程解法：方程两端直接依次积分

n

次.即原方程方程两端积分一次,得方程两端再积分一次,得方程两端依次积分n次,得含有n个任意常数的通解.第三节可降阶的微分方程例解方程通解

方程特征：方程左侧为未知函数的二阶导数方程右侧为x与（不含y）的函数.

方程解法：方程做变换将其化为一阶微分方程，求解一阶微分方程可得通解.过程如下：二、型微分方程代入原方程，得一阶微分方程（1）做变换（2）求此一阶微分方程，得通解（3）将回代得一阶微分方程（4）求解微分方程微分方程两端积分，得原方程通解例解一阶线性微分方程由通解公式得于是有再积分一次，得原方程的通解为例解此方程为可分离变量方程方程分离变量两端积分，解得化简得将回代得所以将此方程两端积分，得所求特解为三、型微分方程

方程特征：方程左侧为未知函数的二阶导数方程右侧为y与（不含x）的函数.

方程解法：方程做变换将其化为一阶微分方程，求解一阶微分方程可得通解.过程如下：代入原方程，得y的一阶微分方程（1）做变换（2）求此一阶微分方程，得通解（3）将回代得一阶微分方程（4）求解微分方程微分方程两端分离变量方程两端积分，得通解解代入原方程得原方程通解为例常微分方程第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第四节二阶常系数线性微分方程当时，方程形如二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的概念的方程，称为称为二阶线性齐次微分方程.当时，方程称为二阶线性非齐次微分方程./当时，方程形如称为二阶常系数线性微分方程.常系数线性齐次微分方程.当时，方程二阶常系数线性非齐次微分方程./的方程称为二阶称为二阶常系数线性微分方程的概念因为为方程的解，所以一、二阶常系数线性微分方程解的结构

定理设y1(x),y2(x)是方程的两个解,则也是该方程的解,其中C1,C2是任意常数.证1.二阶常系数线性齐次微分方程通解结构所以是方程的解.

此定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合,仍是方程的解.

问题：满足何条件线性组合为二阶线性齐次微分方程的通解？

定义设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2)，使得对于该区间内的一切x，有成立，则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关，否则称y1(x)与y2(x)线性无关.为了回答此问题,在此给出线性相关与无关概念.

定理如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则就是方程的通解.

此定理表明要求二阶常系数线性齐次微分方程通解只需求其两个线性无关的特解y1(x)与y2(x),作线性组合即可.

例验证为二阶常系数线性齐次微分方程通解.解将代入方程易证满足方程.由

证由与分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构

定理设是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解.方程的通解，得

证由与分别为非齐次方程的特解和齐次2.二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构

定理设是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解.方程的通解，得所以为非齐次方程的解，且含有两个独立的任意常数，故为通解.

此定理说明：二阶常系数线性非齐次方程通解可以表达成其特解和相应齐次方程通解之和的形式.

定理设分别是二阶常系数线性非齐次微分方程的特解，则是微分方程的特解，其中p，q是常数.证明由题设知二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法求方程

分析：欲求方程的解，考虑到方程左端为未知函数及其导数的线性组合形式，不妨设方程具有指数形式的解通解.将代入方程整理，得（称为特征方程）特征方程特征根的讨论解特征方程的根为于是都是方程的解，且即

线性无关.方程通解为为其两个相等实根所以为方程的一个特解.为了找到方程的另一个线性无关的特解.不妨取u=x，可得方程的另一个特解为线性无关的两个特解所以，方程的通解为因为即方程的通解为此时方程的有两个复数形式特解.现确定两个实函数特解.由欧拉公式上式相加减，得这里为方程的两个特解.即为线性无关特解，故得方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程通解两个不相等实根两个相等的实根一对共轭复根的通解特征根1.写出特征方程3.根据两个特征根的不同情况，由通解公式写出微分方程的通解.求方程通解步骤2.求出特征方程的两个根两个不相等实根两个相等的实根一对复根的通解特征根例求下列微分方程的通解

解（1）特征方程为（2）特征方程为

例

求方程

y

-4y

+4y=0

的满足初始条件

y(0)=1，y(0)=4的特解.解

该方程的特征方程为

r2

-4r

+4=0，它有重根

r=2.所以通解为将

y

(0)=4,C1=1代入式，解得

C2=2将

y(0)=1，式解得

C1=1因此，所求特解为y=

(1+2x)e2x.常微分方程第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为它所对应的齐次方程为二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构

定理设是方程的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解.三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法其中是常数为m次多项式设二阶常系数线性非齐次方程1.若即微分方程为

考虑到方程右端为指数函数与多项式积的形式，不妨设其特解为①对求导数得整理，得②的特解讨论方程(1)若不是特征方程的根，即.由式可知应为m次多项式，可设方程特解为②确定待定系数得多项式相应可得方程的特解.(2)设是特征方程的单根，则且由式可知应为m+1次多项式,设方程特解为②(3)设是特征方程的重根，则且由式可知应为m+2次多项式,设方程特解为②

待定系数的确定：

方法2：将代入式，比较等式两端多项式同次幂的系数,得到含有未知系数的(m+1)个方程，解方程组确定未知系数.②

方法1：将代入式，比较等式两端多项式同次幂的系数,得到含有未知系数的(m+1)个方程，解方程组确定未知系数.①的特解概括方程对于微分方程方程的特解可设为(2)当是单特征根时，取k=1(3)当是重特征根时，取k=2.(1)当不是特征根时，取k=0k的取法：例求方程解求导得例解故得对应齐次方程的通解为解得因是特征方程的重根,取k=2.设特解为将代入式，即②得例解(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再求所给方程的一个特解y*.设所求特解为（3）确定满足初始条件的特解.二阶常系数线性非齐次微分方程为此时方程的特解形式其中a，b为待定系数，k的取法如下：(1)当不是特征根时，取k=0(2)当是单特征根时，取k=1k=二阶常系数线性非齐次微分方程为此时方程的特解形式其中a，b为待定系数，k的取法如下：(1)当不是特征根时，取k=0(2)当是单特征根时