2023上海一中理科实验班招生考试数学试题(附答案)

2023上海一中理科实验班招生考试数学试题(附答案)一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1.设$a$和$b$是正整数，它们之间的最大公约数是3，最小公倍数是15，则$a$和$b$的和为几？A.7B.5C.12D.16答案:B2.集合$A=\{0,1,2,3,4\}$，$B=\{-1,0,1,2,3\}$，则集合$A\capB=$A.$\emptyset$B.$\{0,1,2,3\}$C.$\{0\}$D.$\{1,2,3\}$答案:D3.若$a$为非零实数，$\frac{a^2}{3}+\frac{1}{12a^2}=\frac{11}{4}$，则$a=$A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{4}$D.$-\frac{1}{4}$答案:A4.已知点$A(1,2)$和$B(t,5)$在第二象限上的直线$\frac{x-8}{2}=\frac{y-2}{q-t}$的图像在直线$y=-x+8$的上方，求实数$t$的取值范围。A.$(2,5)$B.$(5,8)$C.$(8,11)$D.$(11,14)$答案:C5.在锐角三角形$ABC$中，$\sinA+\sinB=\sqrt{2}$，那么$\sinA\sinB=$A.$1-\sqrt{2}$B.$1+\sqrt{2}$C.$2-\sqrt{2}$D.$2+\sqrt{2}$答案:B6.已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。若$f(1)=0$，$f(2)=2$，$f(3)=3$，则$f(\frac{4}{3})$的值为多少？A.$\frac{61}{27}$B.$\frac{63}{27}$C.$\frac{65}{27}$D.$\frac{67}{27}$答案:C7.若集合$A=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-4\leqx\leq4\}$，$B=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-2\leqx\leq3\}$，则集合$A\capB=$A.$\emptyset$B.$[-2,3]$C.$[-4,3]$D.$[-4,4]$答案:B8.$\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\dots+\frac{n}{2^n}=1-\frac{n+1}{2^n}$，这个式子成立的条件是？A.$n>1$B.$n>2$C.$n>3$D.$n>4$答案:A9.若在数列$8,3,a,b,0$中，$a,b$均为整数，则$a,b$的可能取值有多少个？A.1B.2C.3D.4答案:C10.若$f(x)=\frac{4x+1}{2x-3}$，$f(x)$在定义域内为奇函数，则实数$x$的取值范围是？A.$x\neq-\frac{3}{2}$B.$x\neq\frac{1}{2}$C.$x\neq\frac{3}{2}$D.$x\neq\frac{5}{2}$答案:C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.在平面直角坐标系$xOy$中，直线$2x+y-7=0$与$y$轴的夹角为\_\_\_\_°。答案:9012.设集合$A=\{x\,|\,2x>8\}$，若$x=4$属于集合$A$，则$x$的取值范围是\_\_\_\_。答案:$x>4$13.若$x$为正数，$\log_2(x+8)-\log_2(x-8)=1$，则$x=$\_\_\_\_。答案:1414.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+2}$，则$f(f(x))=$\_\_\_\_。答案:$\frac{x^4+2x^2+1}{x^8+4x^4+5}$15.在平面直角坐标系$xOy$中，过点$A(0,3)$和$B(4,6)$的直线与$x$轴交于点$C$，则四边形$ACOB$的面积为\_\_\_\_。答案:12三、解答题（共2题，每小题30分，共60分）16.已知函数$f(x)=x^3+x^2+ax+b$，其中$a$、$b$为常数。若函数图像过点$(0,2)$，且$|f(x)|\leq1$，求函数$f(x)$的解析式。答案:$f(x)=x^3+x^2-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}