高考数学新增分大一轮新高考（鲁京津琼）专用精练阶段强化练（六）

阶段强化练（六）

一、选择题

1.（2019•四川诊断）已知直线/和平面a,若/〃a,P^a,则过点尸且平行于/的直线（）

A.只有一条，不在平面a内

B.只有一条，且在平面a内

C.有无数条，一定在平面a内

D.有无数条，不一定在平面a内

答案B

解析假设过点尸且平行于/的直线有两条与〃，则加〃/且"〃/,由平行公理得加〃”，

这与两条直线加与“相交与点尸相矛盾，故过点P且平行于/的直线只有一条，又因为点P

在平面内，所以过点尸且平行于/的直线只有一条且在平面内.故选B.

2.（2019•化州模拟）设"?，〃为两条不同的直线，a为平面，则下列结论正确的是（）

A.W〃B.mVn,mVa^tn//a

C.m//n,m±a=>«±aD.m//n,m//a=>n//a

答案C

解析对于A,若“_L〃，"?〃a时，可能〃Ua或斜交，故错误；

对于B,mA.n,,"-1.0[=>〃〃0[或??Ua,故错误；

对于C,加正确；

对于D,机〃“，"〃a="〃a或〃Ua,故错误.

故选C.

3.已知/J-平面a,直线"?u平面£.有下面四个命题：

①a〃4今LL机；②a_L0=>/〃加；

③1〃tn=a邛;④/_L/M=>a〃”.

其中正确的命题是（）

A.①②B.③④

C.②④D.①③

答案D

解析V/1a,a〃4，：.l邛,I,机U£,：.lLm,故①正确；ILa,：.mLa,又

*：mUfi,：.a.邛,故③正确.

4.如图所示，在四面体。一/8C中，若AB=BC,AD=CD,£是ZC的中点，则下列命题中

正确的是（）

A.平面N8C_L平面

B.平面48。，平面8。。

C.平面Z8CJ_平面且平面/Z）C_L平面8OE

D.平面力8C_L平面4OC,且平面/OC1.平面BDE

答案C

解析因为Z8=8C,且£是ZC的中点，

所以3E_L4c.同理，DELAC.

又BECDE=E，所以4CL平面BDE.

因为/CU平面/8C,所以平面A8C_L平面5D£

因为/CU平面/CD,所以平面平面8。£

5.（2019•唐山模拟）在长方体NBCD-小囱GOi中，AB=BC=2AAi，则异面直线48与8c

所成角的余弦值为（）

A亚B.-C.追D返

5555

答案B

解析在长方体/8C。一/山IGDI中，

连接4。，可得小。〃囱C,

所以异面直线48与8c所成的角，

即为直线48与直线小。所成的角，

即ND4i8为异面直线小8与8C所成的角，

在长方体力88一小8|。。|中，

设N8=8C=2N4=2,则/山=小。=韶，BD=2\li,

在△小8。中，由余弦定理得

A\B2+AiD2-BD25+5—8

cosZDA\B=1

2A1BA1D2X3x35

故选B.

6.（2019•长春质检）在正方体48CD一小BCQ中，直线/C与平面/8CQ所成角的正弦

值为（）

A.1B.也C.—D,-

222

答案D

解析如图所示，

连接小。，力功交于点O,连接。G,

在正方体中，平面4Di,

：.ABA.A\D,

又小。_L/Di,且/OiCl/8=/,

平面AD\C\B,

，N4Go即为4G与平面ABC\D\所成的角，

在Rt△小G。中，sin/4G0=L

2

所以小G与平面ABCsDy所成角的正弦值为】，

2

故选D.

7.（2019•湖南岳阳一中质检）如图，在长方体4BCZ）一/山IGOI中，AB=AD=0AA\=\,

而对角线48上存在一点P,使得/P+DiP取得最小值，则此最小值为（）

A.2B.3C.1+3D.S

答案D

解析把对角面小C绕/山旋转至

使其与在同一平面上，连接/A,

在△44G中，AA\=\,AiDi=S,

=N4/归+90°=150°,

则AP+DiP的最小值为

ADi^^/12+（A/3）2-2X1X-V3XCOS150°=①

故选D.

8.（2019•湖南五市十校联考）已知£,尸分别是三棱锥尸一N8。的棱NP,8c的中点，AB=6,

PC=6,EF=30则异面直线48与PC所成的角为（）

A.120°B.45°C.30°D.60°

答案D

解析取4c的中点。，连接E。，FD,

因为E,尸分别是三棱锥尸一48c的棱4尸，8c的中点，

所以ED〃PC,FD//AB,

则直线DE与直线所成的角即异面直线与PC所成的角，

又因为48=6,PC=6,EF=30

所以在△DEF中，cosZ£Z）r-----------------------=—,

2DEDF2

即NEDF=120°,所以异面直线与PC所成的角为60°.

9.（2019・淄博期中）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的样卯结构,

它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱

柱体分成三组，经90。柳卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁

班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计）（）

A.28兀B.307tC.60兀D.1207t

答案B

解析由题意知，该球形容器的半径的最小值为

京25+4+1=亭,

,该球形容器的表面积的最小值为4jtxF9占30兀

故选B.

10.（2019•安徽皖南八校联考）已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,/,a,且长为〃

的棱与长为啦的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）

A3口3「也口3

A.—B.—C.—D.—

121266

答案A

解析如图所示，在三棱锥/一8c。中，4D=a,BC=®AB=AC=BD=CD=1,

则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△88看作底面，

则当平面ZBCJL平面BCD时，

该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高//=也，

2

/\BCD是等腰直角三角形，则

综上可得，三棱锥的体积的最大值为［X1x^=也.

32212

故选A.

11.（2019•成都诊断）如图，在矩形Z8CD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,AF=FG=BG

=1，现分别沿ERG”将矩形折叠使得力。与8c重合，则折叠后的几何体的外接球的表

面积为（）

A.24兀B.6兀

答案c

解析由题意可知，在矩形/8CO中，EF//AD,GH//BC,8c=2,AF=FG=BG=1,沿

EF,G/Z将矩形折叠使得/。与8c重合后，所得几何体是底面为等边三角形的三棱柱.

底面等边三角形的外接圆直径2r=一=，所以r=也,

sin6003

三棱柱的高为8c=2,所以外接球的球心与底面的圆心距离为1,

所以三棱柱的外接球半径火=优工1T

所以外接球的表面积为S=4兀相=®.故选c.

3

12.（2019•衡水中学模拟）如图，在正方体中，点E,F分别为棱BBi,CCi

的中点，点。为上底面的中心，过E,F,O三点的平面把正方体分为两部分，其中含4

的部分为不含4的部分为匕，连接4和匕的任一点设小M与平面小8cbDi所

成角为a,贝Isina的最大值为（）

N口2#02也门2#

A.—B.---C.---D.---

2556

答案B

解析连接EF,因为EF//平面ABCD,

所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点。且与EF平行的直线，

过点。作G，〃8c交CD于点G,交力8于“点，则G"〃E/，连接E”,FG,

则平行四边形EFG/7即为截面，则五棱柱为％,三棱柱EBH-FCG为

Vz,

设M点为人的任一点，过"点作底面小5GA的垂线，垂足为N,连接小N,

则即为4〃与平面486n所成的角，

所以NM4iN=a.

因为sina=^上，要使a的正弦值最大，必须MN最大,小〃最小，当点A/与点77重合时

A\M

符合题意.

fWlr

故（Sina）max=ljlMjmax=〃^=”.故选B.

A\H5

二、填空题

13.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为.

答案—

4

解析由题意得，该圆柱底面圆周半径

邛

・••该圆柱的体积为^=71^=71^2j2X1=—.

4

14.（2019・洛阳、许昌质检）在直三棱柱48。一481G中，NACB=90。,AC=2,BC=CCi

=/，P是BG上一动点,则4P+PC的最小值为.

答案V10

解析连接小8,沿8G将△C8G展开与△48G在同一个平面内，

在8G上取一点与小，C构成三角形，

•.•三角形两边和大于第三边，

：.A\P+PC的最小值是4c的连线.

作展开图如图，

由NZCB=90°,AC=2,BC=CCt=\l2,

得ABKAC+B-#,

又AA।CC\—^2,

A\8=yjAA^+AB2='\/2+6=2y/2,8cl=卜2+2=2,A\C\=AC=2,

：.ZA\BCi=45°,NC8Cj=45°,AZAIBC=90°,

：.4（=«4/2+3。=\^豆=限.

15.（2019•河北衡水中学调研）已知直三棱柱N8C一小8cl中，ZABC=120°,AB=2,BC=

CG=1,则异面直线ABy与BCi所成角的余弦值为.

较案

口5

解析如图所示，

设M,N,P分别为48,8所和的中点，

则4囱，8G的夹角为MN和N尸的夹角或其补角，

MN=-AB\^-,

22

NP=-BC\=^,

22

作8c的中点。，则△PQM为直角三角形，

"：PQ=\,MQ=^AC,

△/8C中，由余弦定理得

AOfBYBC2-2AB•BCcosNABC

=4+l-2X2Xlxl2j=7,

：.AC=S,；.M0=¥，

在△MQP中，MP=\lMQ2+PQ2=^-

在△2/欧中，由余弦定理得

MM+N尸一户”

cosZMNP=

ZMN・NP

一遍

ox亚x近5

与8G所成角的余弦值为坐.

16.已知四面体48CD,48=4,NC=4D=6,ZBAC^ZBAD=60°,ZCAD^90°,则该

四面体外接球的半径为.

答案2由

解析如图，

设△4OC的外心是Oi,作5"_L平面ZOC,易知，在/Oi上，再作8ACLZC,垂足为〃，

连接则M”_LNC,AOI=LDC=3&AM=MH=2,AH=2应

2

设三棱锥的外接球的球心为O,半径为凡OOi=d,

因为4，=2/，577=^16-8=2^,

所以在XBOG中，由勾股定理可得R=y/oN+OO*=OOi)2+0〃=

叱2/+或2+2,

即Nd+(3/?=叱2啦+1/)2+2,

解得d=S，

所以R=y(2也+啦y+2=®=2«.

三、解答题

17.(2019•葫芦岛协作校联考)如图，直三棱柱/8C-小81G的所有棱长都是2,44|1.平面

ABC,D,E分别是4C,CG的中点.

⑴求证:/E_L平面4山。;

(2)求三棱锥5一48。的体积.

(1)证明:AB=BC=CA,D是NC的中点，

：.BD±AC,

,.•力力1_1_平面Z8C,平面441cle_1_平面/8C,

又平面力/iCiCC平面/8C=ZC,8。＜=平面/8C,

.•.5D_L平面44CC,J.BDVAE.

又•.•在正方形44CC中，D,E分别是ZC,CG的中点，

：.A\D±AE.

又AiDCBD=D,A\D,8。＜3平面小8。，

.•./E_L平面

⑵解连接/囱交48于O,

为ZS的中点，

...点S到平面小8。的距离等于点N到平面小8。的距离.

,•—BifBD~V.4-.&BD

=VR_.Ar)=-X